1.2.4二面角（第二课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该教案聚焦用空间向量求二面角这一核心知识点，通过师生共同回顾二面角定义、平面角等旧知，结合填空与讨论梳理知识脉络，搭建从几何定义到向量方法的学习支架，为新知探究奠定基础。 该资料以核心素养为导向，采用启发法与练习法，通过“复习-探究-例题-练习”递进流程，培养逻辑思维与空间想象。如例题引导学生按“建系-求法向量-算夹角-判断锐钝”步骤解题，落实数学运算能力。含详细教学过程与反思，助力教师高效教学，帮助学生掌握方法并发展核心素养。

课题 1.2.4 二面角（第二课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第二部分第四节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系. 2.会用平面的法向量求两个平面的夹角. 教学重、难点： 1.重点：会用法向量求平面与平面所成的角. 2.难点：实际解决问题时，正确建立坐标系和计算求解 核心素养 1.逻辑思维: 在求解二面角的过程中，学生需要根据题目中的条件，选择合适的向量，运用向量的运算和定理，推导出二面角的大小. 2.空间想象：学生需要在脑海中构建几何图形，并将其与向量进行对应和联系。这种空间想象力的培养有助于学生更好地理解立体几何的概念和性质. 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 【师生共同回顾二面角的相关知识】 教师提问：在之前的学习中，我们都学习过哪些二面角的知识？接下来找同学回答。 学生回答：之前学习了二面角的定义、二面角的平面角、二面角的范围、二面角与两个平面的夹角的区别、二面角与面积之间的联系。 教师提问：说的非常全面，能具体展开说说吗？大家前后桌讨论一下，结束后我们一起总结。 师生共同总结，学生完成填空： 一、二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做二面角的 ，如图中的. 预设答案：两个半平面；棱；面 二、二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的 .二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的 . 特别地，平面角是直角的二面角称为 预设答案：平面角；平面角的大小；直二面角 三、二面角的范围 二面角的范围： 两个平面所成的角： 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于 且不大于 的角的大小. 预设答案：；； 四、二面角与两个平面的夹角的区别 ①概念的不同．二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面的夹角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于且不大于的角称为两个平面的夹角． ②范围的不同．二面角θ的范围：，两个平面的夹角θ的范围： 五、二面角与面积之间的联系 已知平面内一个多边形的面积为，它在平面α内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则 预设答案： 复习上节课二面角的概念和范围的数学定义等知识点。 通过旧知引入本节新课，建立知识间的联系，为本节课的学习做铺垫。 探究新知 知识点：用空间向量求二面角的大小 （1）思考：如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？ 师生活动：学生自主思考，教师进行讲解； 两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补； 如图(1)，，此时相等； 如图(2)，，此时互补. （2）平面的法向量与平面夹角之间的关系 设分别是平面的一个法向量，与所成的角的大小为. 教师提问：θ＝ 或 θ＝ 预设答案：；π－〈n1，n2〉 【注意】 (1) 若求两个平面的夹角，直接利用公式 (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 通过观察两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角的关系，引出使用空间向量求解二面角的方法。 例题典析 例3、 如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 【师生活动】 学生独立思考，教师给予提示，出示解题过程 例4、 如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. 【师生活动】 学生独立思考，根据求解二面角的方法完成本题，教师给予提示，出示解题过程 【技巧点拨】 · 使用空间向量法求解二面角的一般步骤： · 建立坐标系：根据问题中的条件，选择合适的坐标系来描述几何图形。 · 求出相关向量：找到两个平面的法向量 · 计算法向量的夹角：利用向量的点积公式，计算两个法向量的夹角。 · 判断二面角的大小：根据法向量的方向和二面角的定义，确定二面角是锐角还是钝角。 · 给出答案：根据计算结果，明确二面角的度数或其他相关信息。 注意：空间向量法可以用于解决各种立体几何问题，包括求二面角。在实际应用中，需要仔细分析问题，选择合适的方法和步骤。 通过例题讲解，让学生掌握求解二面角的方法，并熟练应用其解决问题。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、标题：二面角（第二课时） 二、平面的法向量与平面夹角之间的关系 设分别是平面的一个法向量，与所成的角的大小为. θ＝或θ＝π－〈n1，n2〉 【注意】 （1） 若求两个平面的夹角，直接利用公式 （2）若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够理解和掌握使用空间向量求解二面角的方法，达到本节课的教学目的。 空间向量的教学作为高中数学的重要组成部分，对于学生未来的成长和发展具有非常重要的影响，空间向量的教学不仅能够锻炼学生的逻辑思维能力， 同时，也能够较好的培养学生的数学核心素养。这就需要数学教师重视培养学生对于空间向量方面的逻辑思维能力，同时，也需要重视培养学生的创新意识以及独立思考的能力，进一步激发学生对高中数学的学习兴趣。 整节课，我是这样设计的。本着以“学生为主，教师为辅”的这一原则。利用学生的求知欲和好胜心强的这一特点，循序渐进，引导学生来归纳推导及应用。让学生采用两种不同的方法解题，体会异同，最终让学生在知识上有所掌握、在能力和意识上有所收获。 这节课的主题是用代数的方法解几何问题，即用空间向量求解二面角，后来处理小结时间不够，这和我设置的容量大有直接关系，我想不如直接删掉一道题，空出时间让学生自己谈谈心得体会,自己找找解题规律应该会更好。 在以后的教学中，我需要可进一步改进和优化教学策略，以提高学生的学习效果和兴趣。及时收集和分析学生的学习反馈，并将其作为改进教学的重要依据。同时，也要与其他教师进行讨论和交流，分享教学经验和有效的教学方法，促进共同进步。 学科网（北京）股份有限公司 $