1.2.3直线与平面的夹角（第一课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学教案聚焦直线与平面的夹角概念及性质，以握笔写字、地球仪地轴等生活情境导入，先梳理垂直、平行等特殊情况，再通过斜线射影构建概念，形成递进式学习支架。 资料以情境创设激活数学眼光，通过“尝试与发现”小组探究斜线与平面所成角性质，推导cosθ=cosθ₁cosθ₂关系，培养逻辑推理与数学思维。典例精析结合三角函数运算，多媒体辅助直观呈现，助力学生提升空间观念，为教师提供素养导向的清晰教学流程。

课题 1.2.3直线与平面的夹角（第一课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第二部分第三节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解直线与平面的夹角的概念。 2.掌握直线与平面所成角的性质，会进行简单应用。 教学重、难点： 1.重点：理解直线与平面的夹角的定义,并能用向量语言表述直线与平面的夹角。 2.难点：利用向量方法解决直线与平面的夹角问题。 核心素养 1.通过直线与平面的夹角的学习，培养逻辑推理等核心素养。 2.借助直线与平面的夹角的性质及其应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 创设 问题 情境 创设问题情境：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象。握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度。地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度。 教师讲解：怎样来刻画直线与平面所成的角呢？这一小节我们要学习的就是空间中直线与平面所成的角. 首先来看两种特殊情况： ①若l⊥α，则直线与这个平面所成的角为90°； ②若l1//l2，或l⊂α，则直线与平面所成的角为0°. 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：直线与平面的夹角 尝试与发现：如图所示，平面α内任意直线k与斜线l所成角大小相同吗？能否用上述角定义为直线l与平面α所成的角？ 师生活动： （1）学生分析问题，发现当k的位置不同时，k与l所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线l与平面α所成的角. （2）教师引导学生注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. （3）教师讲解：如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. 下面我们来讨论斜线与平面所成角的性质 尝试与发现：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA'=θ1，∠A'OM=θ2，∠AOM=θ. (1)由图可知θ1与θ之间有什么样的大小关系？ (2)直线AM与OM之间有什么位置关系？ (3)θ1，θ2，θ三者之间有怎样的等量关系？ 师生活动： 教师适当提示，让学生小组合作展开交流，说出自己的想法，并找同学回答 预设答案： （1） θ1≤θ （2） ∵AA'⊥α，∴△AA'O，△AA'M都是直角三角形， 且A'M是AM在平面α内的射影. 又∵A'M⊥OM，由三垂线定理可知AM⊥OM， ∴△AMO也是直角三角形. （3）如果设OA=1,则在Rt△AA'O中， OA'=OAcosθ1=cosθ1， 因此在Rt△OMA'中， OM=OA'cosθ2=cosθ1cos θ2； 另一方面，在Rt△AMO中，有 OM=OAcosθ=cosθ. 因此cosθ=cosθ1cosθ2 教师追问：根据等量关系cosθ=cosθ1cosθ2，判断θ1和θ的大小关系是怎样的？ 预设答案： ∵0≤cosθ2≤1，cosθ=cosθ1cosθ2， ∴cosθ<cosθ1， 又∵θ1和θ都是锐角， ∴θ1≤ θ. 教师讲解：平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。 引进了平面的斜线与平面所成的角之后，空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角。 通过对问题的探究，学生掌握斜线与平面所成角的概念，为后续的学习做铺垫 通过探究、思考直线与平面的夹角的性质，提高学生解决问题、分析问题的能力。 典例 精析 例1: 如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB=∠PAC，求证：斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC. 【师生活动】 学生自主思考，得出答案，教师出示解题过程。 【解析】 证明：设点P在平面α内的射影为点M，则AM为AP在平面α内的射影. 所以 cos∠PAB=cos∠PAMcos∠BAM, cos∠PAC=cos∠PAMcos∠CAM, 由∠PAB=∠PAC可得 cos∠BAM=cos∠CAM, 因此∠BAM=∠CAM，即AM平分∠BAC. 例2：如图所示，平面α外一点P在α内的射影为O，过P作平面α的斜线段PB，PC，且B，C均为斜足，设PB，PC与平面α所成角分别为θ1，θ2. （1）若PB=PC，θ1，θ2之间有什么大小关系？（2）若OB=OC，θ1，θ2之间有什么大小条件. 【师生活动】 学生自主思考，得出答案，教师出示解题过程。 【解析】 （1）∵PO⊥α，∴△POB与△POC都是直角三角形， ∴PO=PBsinθ1=PCsinθ2. 又∵θ1，θ2都是锐角， ∴当PB=PC时，θ1=θ2； （2）同理得 PO=OBtanθ1=OCtanθ2, ∴当OB=OC时，θ1=θ2. 归纳总结：经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. 例3：当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A'B'时，线段A'B'和AB大小之间有什么关系？ 【师生活动】 学生自主思考，得出答案，教师出示解题过程。 【解析】 当0°<θ<90°时，A'B'=ABcosθ 当θ=0°时，A'B'=AB 满足A'B'=ABcosθ 当θ=90°时，A'与B'重合，满足A'B'=ABcosθ 所以 A'B'=ABcosθ 通过例题讲解，让学生理解怎样用线面角的性质解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计： 一、引入 以现实场景引出直线与平面的夹角 二、知识精讲 知识点一 斜线与平面所成角的概念 知识点二 线面角的性质 知识点三 直线与平面所成角的概念 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂反思 七、课堂小结 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够准确理解和运用直线与平面的夹角的性质，达到本节课的教学目的。 通过本节课的教学，我认为在以下几个方面做得比较好：（1）在教学过程中，充分使用课件，教材等教学资源，有效地支持学生的学习；（2）成功创设了情境，激发了学生的学习兴趣;（3）通过小组合作和自主探究，培养了学生的合作意识和探究能力;板书设计清晰明了，有助于学生理解和记忆知识。 但是在这节课中，讲完例题后应该及时给学生提供足够的练习机会，这样可以帮助学生巩固所学的概念和技能，这是本节课中不太好的地方。 针对以上问题，我将在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养，优化练习题目的设置，并注重知识的拓展和延伸，以提高学生的数学素养和综合能力。在以后的教学中，我需要进一步改进和优化教学策略，以提高学生的学习效果和兴趣。及时收集和分析学生的学习反馈，并将其作为改进教学的重要依据。同时，也要与其他教师进行讨论和交流，分享教学经验和有效的教学方法，促进共同进步。 学科网（北京）股份有限公司 $