1.3 一元二次方程的根与系数的关系 预习讲义 2025-2026学年 苏科版九年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版九年级上册 第一章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 （预习讲义） 学习目标 1. 理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的推导过程。 2. 掌握一元二次方程 （）的两根之和与两根之积与系数 、、 之间的关系。 3. 能运用根与系数的关系解决简单的问题，如已知方程的一个根求另一个根及未知系数（需注意检验判别式），或已知两根构造一元二次方程。 知识点梳理 一、 基本概念回顾 1. 一元二次方程的一般形式： ，其中 、、 是常数，且 。 2. 一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（或解）。 3. 一元二次方程根的判别式： 。 · 当 时，方程有两个不相等的实数根。 · 当 时，方程有两个相等的实数根。 · 当 时，方程没有实数根。 二、 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1. 内容： 对于一元二次方程 （），如果方程有两个实数根 和 ，那么： · 两根之和： · 两根之积： 2. 推导过程（利用求根公式）： 对于一元二次方程 （），当 0 时，方程的两个实数根为： · 两根之和： · 两根之积： 3. 注意事项： · 根与系数的关系（韦达定理）成立的前提条件是： 1. 方程是一元二次方程，即二次项系数 。 2. 方程有实数根，即判别式 。 · 公式中的 和 是方程的两个根，无论这两个根是相等的实数根还是不相等的实数根，关系都成立。 三、 根与系数关系的简单应用（本小节范围内） 1. 已知一元二次方程的一个根，求另一个根及未知系数（在系数含参时）： 若已知方程 的一个根为 ，则可利用 求出另一个根 ；或利用 求出另一个根 0（ 时）。若方程中含有待定系数，也可借此求出系数的值（注意求出系数后需代入判别式检验，确保方程有实数根）。 2. 已知一元二次方程的两个根，构造这个一元二次方程： 若已知两个数 和 ，则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1时）可以表示为：。 若二次项系数不为1，可表示为：（）。 知识点总结 1. 核心定理（韦达定理）： 对于一元二次方程 （，且 ），若其两根为 0、，则有： 2. 成立条件： 方程必须是有实数根的一元二次方程（ 且 ）。 3. 主要作用： 揭示了一元二次方程的根与系数之间的代数式关系，为不解方程研究根的性质或已知根求方程提供了便利。 4. 关键提醒： 在使用根与系数的关系时，务必确保方程是一元二次方程且有实数根。 巩固练习 一、选择题 1．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 2．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6．则此方程正确的解为（　　） A． B．， C．， D．此方程无解 3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则 m 的值为(　　). A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在 4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为(　　). A．6 B．5 C．4 D．3 5．等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 6．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（　　） A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0 7．有两个一元二次方程M： 其中a·c≠0，a≠c，-下列四个结论中，错误的是(　　). A．如果方程M 有两个相等的实数根，那么方程N 也有两个相等的实数根 B．如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N 的一个根 D．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1 二、填空题 8．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　． 9．写出一个以和4为根的一元二次方程　 　． 10．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为　 　． 11．已知，是方程的两个根，则　 　． 12．（1）设α，β是方程. 的两个根，则 　 　。 （2）已知x1，x2是方程 的两个实数根，那么 的值为　 　. 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 15．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 参考答案 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．A 7．D 8．11 9． 10．4 11． 12．（1）4 （2） 13．（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）解：∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 14．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴的周长为． 15．解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴的值为-2． 学科网（北京）股份有限公司 $$