第 1章 三 角 形专题提优6 添加辅助线构造全等三角形的方法 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第 1章 三 角 形 专题提优6 添加辅助线构造全等三角形的方法 类型一利用“倍长中线法”构造全等三角形 一般地，遇到以下两种情况，我们可以考虑倍长法： ①题目中出现中线，则可延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应顶点构造全等三角形； ②题目中出现中点，则可延长以中点为端点的线段，使所延长部分与原线段相等，然后连接相应顶点构造全等三角形. 倍长法构造出的全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形绕中点旋转180°得到. 1.阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图①,在△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围. 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点 E，使DE=AD,再连接BE,把AB,AC,2AD 集中在△ABE 中.利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是 . (2)问题解决： 如图②,在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,DE⊥DF于点 D,DE 交AB 于点 E,DF 交AC于点 F,连接EF,求证:BE+CF>EF. 2.如图,CE,CB分别是△ABC 与△ADC 的中线,且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE. 类型二 利用“截长补短法”构造全等三角形 截长法：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，构造全等三角形. 补短法：将某条线段延长，使之与特定线段相等，构造全等三角形. 这两种方法构造出的全等三角形，一般其中一个三角形可由另一个三角形通过翻折得到. 3. 如图,五边形 ABCDE 中,AB =AE,DA 平分∠CDE,∠B+∠E=180°,求证:BC+DE=CD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.(1)如图①,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,过点A 作AH⊥BC于 H,求证: (2)在如图②和图③的两张图中，在△ABC中,AB=AC,且∠BAC=90°,在同一平面内有一点 P,满足 PC=1,PB=6,且∠BPC= 90°,请分别求出两图中点A 到 BP 的距离. 类型三 利用“角平分线”构造全等三角形 因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，所以在处理角平分线的问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： ①在角的两边上实施截长或补短，构造SAS型全等； ②在角平分线上一点作角两边的垂线段，构造AAS型全等； ③当垂线段与角平分线垂直时，延长垂线段，构造ASA 型全等. 5.(2025·毕节校级月考)如图，已知 ∠PAB 的平分线与 的平分线相交于点E,CE 的延长线交 AP 于点 D.求证:AD+BC=AB. 6.(2024·北京期末)如图,动点 C 与线段AB构成△ABC,其边长满足AB=9,CA=2a+2,CB=2a - 3. 点 D 在 ∠ACB 的平分线上, 且∠ADC=90°. (1)a的取值范围是 ； (2)求△ABD 的面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7.感知:如图①,AD 平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°.易知:DB=DC.(不需证明) 探究: 如图②,AD 平分∠BAC, ∠ABD +∠ACD=180°,∠ABD<90°.求证:DB=DC. 应用:如图③,在四边形ABDC 中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC,DE⊥AB 于E,求证:AB-AC=2BE. 类型四 利用“平行线法”构造全等三角形 此方法一般是过图形上的某一点作特定线段的平行线，从而构造全等三角形. 作平行线构造的全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形通过平移、旋转或翻折得到. 8.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC 交 BC 于点 P,BQ 平分∠ABC 交AC于点 Q,求证:AB+BP=BQ+AQ. 类型五 利用“翻折与旋转”构造全等三角形 9.如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,点 D,E在边BC上,∠CAE=∠B,E是CD的中点,且AD平分∠BAE,试问:BD 与AC 相等吗?请说说你的理由. 10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,点 F 是DC上一点,∠EAF=45°. (1)如图①,若BE=DF=1,求EF 的长. (2)如图②,求证:BE+DF=EF. (3)如图③,点 E 为 CB 延长线上一点,点 F为 DC 延长线上一点,∠EAF=45°.请直接写出线段BE,DF,EF 的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题提优6 添加辅助线构造 全等三角形的方法 1.(1)2<AD<10 解析:∵AD 是BC边上的中线,∴BD=CD.在△BDE和△CDA 中,(BCDBCEBC,CDA(SABE)∴BASC,∴△DECAC=8.在△ABE中,由三角形的三边关系,得AB-BE<AE<AB+BE,∴12-8<AE<12+8,即4<AE<20,∴2<AD<10.故答案为2<AD<10.(2)如图,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,同(1)得△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF.∵ DE⊥DF,DM=DF,易得EM=EF.在△BME 中,由三角形的三边关系,得BE+BM>EM,∴BE+CF>EF. 2. 如图,过点B作BF∥AC,交CE的延长线于点 F.∵ CE是△ABC的中线,BF∥AC,∴AE=BE,∠BAC=∠ABF,∠ACE=∠F.在△ACE 和△BFE中,(∠ACCE∠EBF,ACC△ACE≌△ABFE(AAS),AC△ACE≌△ACE和F, AC=BF,∴CF=2CE.∵ ∠ACB=∠ABC,作 AG⊥BC 于点 G,易证△ACG≌△ABG,∴AC=AB.又CB是△ADC的中线,∴AC=AB=BD=BF.∵∠DBC=∠BAC+∠ACB=∠ABF+∠ABC,∴∠DBC=∠FBC.在△DBC 和△FBC 中,(∠EBECS∠FBC,∴ △DBC≌△FBC(SAS),∴CD=CF=2CE. 3.如图所示,在CD上截取JD=DE,连接JA,过点A作AI⊥CD 于 I,AH⊥BC 于 H,∴ ∠AIJ=∠AHB = 90°. ∵ DA 平 分 ∠CDE, B<∴ ∠ADC=∠ADE.在△AJD 与△AED 中, (12ABCC∠ADE,∴△AD≌△AED(SAS), ∴AE=AJ,∠AJD=∠E.又AB =AE,∴ AB=AJ.∵∠B+∠E =180°,∠AJD+∠AJC = 180°,∴ ∠B = ∠AJC. 在 △AJI 与 △ABH 中, ∴ △AJI≌△ABH(AAS),∴ AI = AH, BH = IJ.在 Rt△AIC与Rt△AHC中, ∵ . Rt△AIC≌Rt△AHC(HL),∴ HC=IC,∴BC+DE=BH+HC+DE=IJ+CI+JD=CD,即BC+DE=CD. 4.(1)∵ AH⊥BC,∠BAC=90°,∴ ∠AHC=90°=∠BAC,∴∠BAH+∠CAH=90°,∠BAH+∠B=90°,∴∠CAH=∠B.在△ABH 和△CAH 中 ∴△ABH≌△CAH(AAS),∴ BH=AH,AH=CH, (2)如图①,过点A作AH⊥BP 于点 H,连接AP,在BP 上取一点 D使得BD=PC,∴DP=BP-BD=6-1=5.设AC 与 BP 交于点 E.∵∠BAC=∠BPC = 90°且 ∠AEB = ∠PEC, ∴ ∠ABD = ∠ACP.又∵AB=AC,BD=CP,∴△ADB≌△APC(SAS),∴AD=AP,∠BAD=∠PAC,∴ ∠DAP=∠DAE+∠PAC=∠BAD+∠DAE=∠BAC=90°. 如图②，过点A作AH⊥BP 于点H，连接AP，在PB 的延长线上取一点D 使得BD=PC,∴DP=BP+BD=6+1=7.∵ ∠BAC=∠BPC=90°,∴∠ABP+∠ACP=180°.∵∠ABP+∠ABD=180°,∴ ∠ABD=∠ACP.又∵AB=AC,BD=CP,∴△ADB≌△APC(SAS),∴AD=AP,∠BAD=∠CAP,∴ ∠DAP=∠DAB+∠BAP =∠CAP+∠BAP=∠BAC=90°. 5.在AB上截取AF=AD,连接EF.∵AE平分∠PAB,∴∠DAE=∠FAE.在△DAE 和△FAE 中,(∠DAEE∠FAE,∴ △DAE≌△FAE(SAS),∴∠AFE =∠ADE.∵ AD∥BC,∴ ∠ADE+∠C =180°.∵ ∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠EBF=∠EBC.在△BEF 和△BEC 中,(10060BE∠EAC,∴△BEF≌△BEC(AAS), ∴BC=BF,∴AD+BC=AF+BF=AB. 解析:∵在△ABC中,AC+BC>AB,∴2a+2+2a-3>9,解得a> .∵AC+AB>BC,∴2a+2+9>2a-3,恒成立.∵ BC+AB>AC,∴2a-3+9>2a+2,恒成立,. (2)如图,延长 AD,CB 交于点 E,∵ CD 为∠ACB 的平分线,∴ ∠ACD = ∠ECD.在△ACD 和△ECD中 ∴△ACD≌△ECD (ASA),∴ AC = EC =2a+2,AD=ED.∵ CB=2a-3,∴BE=2a+2-(2a-3)=5.∵AD=ED,∴S△ABD : S△ABE=1:2.当BE⊥AB时,△ABE的面积取最大值,即 △ABD的面积的最大值为 7.探究:作DE⊥AB于E,DF⊥AC,交AC的延长线于F,如图①所示.在△DFA 和 △DEA 中, ∴△DFA≌ △DEA(AAS),∴ DF=DE.∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠ABD=∠FCD.在△DFC和△DEB 中, △DFC≌△DEB(AAS),∴DB=DC. 应用:连接AD,作DF⊥AC,交AC的延长线于 F,如图②所示. ∵∠ACD=135°,∴∠FCD=180°-∠ACD=45°.∵∠B=45°,∴∠FCD=∠B.在 △DFC 和 △DEB 中, ∴△DFC≌△DEB(AAS),∴ DF =DE,CF = BE.在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中, . Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴AF=AE,∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,∴AB-AC=2BE. 8.如图,过点 P 作 BQ 的平行线交AC 于点 D.∵ BQ 平分∠ABC 且 40°,∴∠CBQ=∠ACB.过点 Q 作 QF⊥BC 于点 F,易证△BQF≌△CQF,∴BQ=CQ,∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC ①. ∵PD∥BQ,∴∠CPD=∠CBQ=40°,∴∠CPD=∠ACB=40°,易得PD=CD.又∠ADP =∠CPD+∠ACB =40°+40°=80°,且∠ABC = 80°,∴∠ABC=∠ADP.∵ AP 平分∠BAC,∴ ∠BAP=∠CAP.在△ABP 与△ADP中, △ABP≌△ADP(AAS),∴ AB=AD,BP=PD,∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC ②.由①②可得,AB+BP=BQ+AQ. 9. BD=AC.理由:如图,由于AD平分∠BAE,所以可将△ABD 沿AD所在直线翻折到△AFD的位置,则△ABD≌△AFD,∴∠F=∠B,BD=FD.又∠CAE=∠B,∴∠CAE=∠F.又∠AEC=∠FED,且E 是 CD的中点,∴△ACE≌△FDE,∴DF=AC,∴BD=AC. B 10.(1)如图①,将△ADF 绕着点A 按顺时针方向旋转90°,得△ABH,∴DF=BE=BH=1.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC=CD,∠ABC=∠ADF=∠C=90°.由旋转可得AF=AH,∠DAF=∠BAH,又∵∠EAF=45°,∴ ∠DAF+∠BAE=45°=∠BAH+∠BAE=∠HAE=∠EAF.又∵AE=AE,∴ △AEF≌△AEH(SAS),∴HE=EF=2. (2)如图②,将△ADF绕着点A 按顺时针方向旋转90°,得△ABF',则∠ABF'=∠D,AF=AF',BF'=DF,∠BAF'=∠DAF.∵ 四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠ABC=90°,∴∠ABF'=90°,∴∠F'BC=180°,∴F',B,E在同一直线上.∵∠EAF=45°,∴∠DAF+∠BAE=45°=∠F'AB+∠BAE=∠F'AE=∠EAF.又∵AE=AE,∴△AF'E≌△AFE(SAS),∴ EF=EF'=BE+BF'=BE+DF,即 BE+DF=EF. (3)EF=DF-BE. 解析:如图③,将△ABE绕着点 A 按逆时针方向旋转90°，∵四边形ABCD 是正方形,∴AB与AD 重合,点 E 落在CD上的点 H 处,得△ADH,∴ △ADH≌△ABE,∴∠DAH=∠BAE,DH=BE,AE=AH.∵∠EAF= 45°, ∴∠BAE+ ∠BAF = 45°=∠DAH+∠BAF,∴∠FAH= 90°-∠DAH-∠BAF=45°=∠EAF.又∵AF=AF,AE=AH,∴△AEF≌△AHF(SAS),∴EF=FH,∴EF=FH=DF-DH=DF-BE. 学科网（北京）股份有限公司 $$