专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类讲义-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（46题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 （二）根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 策略方法 1.符号“∈”与“⊆”区别 ①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N. ②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 2.判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 3.对子集概念的三角度理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. 4.求集合子集、真子集的步骤 5.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 6.与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ∅，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n).若B⊆C⊆A，则C的个数为；若B⊆CA，则C的个数为；若BC⊆A，则C的个数为；若BCA，则C的个数为.　 7.根据子集、真子集的个数求参数​ 首先，明确子集、真子集个数与集合元素个数的关系：若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。据此可由已知的子集或真子集个数反推集合元素个数n。​ 其次，根据集合元素个数的要求，分析集合的构成。若集合由方程的根组成，需分方程是一次还是二次等情况讨论，结合判别式等确定参数取值；若集合含不等式等，需根据元素个数列出关于参数的不等式，求解参数范围。​ 最后，对求出的参数值或范围进行验证，确保集合元素个数符合由子集、真子集个数推出的结果，保证逻辑一致性。 8.空集的概念及判断 0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 9.空集的性质及应用解题策略：​ 首先，明确空集定义：不含任何元素的集合。若集合为空集，需结合其表达式（方程、不等式等）分析元素不存在的条件。​ 对于方程构成的集合，若为一元二次方程，空集意味着方程无实根。分一次方程（参数系数为 0）和二次方程（参数系数非 0）讨论：一次方程需方程不成立；二次方程需判别式小于 0。​ 对于不等式构成的集合，空集表示不等式无解。同样分一次不等式（参数系数为 0 时，不等式不成立）和二次不等式（参数系数非 0 时，结合二次函数图像，开口方向与判别式判断无解条件）。​ 含分式、根式等的方程，空集可能因解为增根或无意义导致，需先化简方程，再分析解的有效性，确定参数使解不存在。​ 最后，对求得的参数范围或值验证，确保集合确实为空集，避免遗漏特殊情况（如参数为 0 时的一次式情形）。 10.判断两个集合是否相等解题策略​ 首先，明确集合相等的核心：两集合元素完全相同，包括元素的种类、个数及具体内容，与元素顺序无关。 其次，判断集合元素类型是否一致。若一个是数集、一个是点集（如含坐标形式），直接判定不相等；若类型相同，再深入分析元素。​ 然后，化简集合，明确元素具体内容。对于描述法表示的集合，需转化为直观形式（如列举法），比较元素是否完全一致。例如，含方程解集的集合，需求解方程得到元素后再对比。​ 最后，注意特殊情况：空集只与空集相等；单元素集需元素完全相同；多元素集需所有元素一一对应相等，不可有遗漏或差异。 11.根据两个集合相等求参数 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解. 12.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　 13.利用集合关系求参数的关注点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 14.空集是任何集合的子集 因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 考点一 集合间关系的判断 1．（25-26高一·全国·单元测试）给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【解析】是有理数，所以，①正确；是实数，所以，②错误； 中含有元素0，所以不是空集，③错误；自然数集真包含于整数集，所以，④正确．综上，正确结论的个数为2． 故选：B. 2．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项. 【解析】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 3．（25-26高一·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【解析】因为， 所以. 故选：C 4．（25-26高一·全国·课后作业）用“”，“”，“⫋”，“⫌”或“=”填空    （1）5                      （2）            （3）Z N                    （4）Z Q （5）              （6） 【答案】 = ⫌ ⫋ ⫌ = 【分析】根据元素和集合，集合与集合之间的关系进行填空即可 【解析】（1）；（2）；（3）⫌；（4）⫋； （5）⫌；（6） 故答案为：，=，⫌，⫋，⫌，= 5．（2025高一·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【解析】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 考点二 求集合的子集、真子集 6．（2025高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 7．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【解析】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 8．（2025高一·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【解析】因为，则， 所以. 故选：D. 9．（2025高一·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【解析】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 10．（2025高三·江西南昌·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的定义求得其元素，再求子集的个数即可. 【解析】，根据集合的定义，故可得，则其子集个数有个. 故选：C. 考点三 判断集合子集、真子集的个数 11．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【解析】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 12．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解. 【解析】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2， 所以可能为，共4个． 故答案为：4 13．（25-26高三·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【解析】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 14．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【解析】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 故选：C. 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 16．（2025高一·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知； （2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果. 【解析】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 17．（2025高一·青海西宁·阶段练习）若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 【答案】或或 【分析】根据集合子集的个数，确定集合中元素的个数，再分类讨论求的值. 【解析】因为集合有且只有2个子集，所以集合中有且只有1个元素， 即方程有且只有1解. 若，则原方程可化为：，有且只有1解，符合题意； 若，由或. 故答案为：或或. 18．（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则 . 【答案】或/或 【分析】分析可知集合中有且只有一个元素，可得出关于的等式，即可得解. 【解析】因为集合只有个子集，则集合中有且只有一个元素， 所以，，整理可得，其中，解得或. 故答案为：或. 19．（2025高一·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【解析】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 20．（2025高一·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【解析】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 考点五 空集的概念及判断 21．（25-26高一·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集、空集、元素属于等概念的定义来逐一判断选项即可. 【解析】是一个以空集为元素的集合，集合中不一定包含元素，不一定成立，故A错误； 集合是只含有一个元素的集合，因为空集是所有非空集合的真子集，则成立，故B正确； 空集是集合，0是元素，不能相等，故C错误； 因为空集中不含任何元素，，故D错误． 故选：. 22．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 【答案】BC 【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集与元素个数关系及空集关系定义逐项判断即可得. 【解析】对A：菱形不一定是正方形，A错误； 对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确； 对C：集合的真子集为，共7个，C正确； 对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误． 故选：BC. 23．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【解析】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 24．（2025高一·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【解析】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 25．（2025高一·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知集合，结合元素与集合、集合与集合关系判断各项正误. 【解析】由题设、、，只有C正确. 故选：C 考点六 空集的性质及应用 26．（2025高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【解析】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 27．（2025高一·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 28．（2025高一·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【解析】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 29．（2025高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 30．（2025高三·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【解析】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 31．（2025高一·湖南岳阳·专题练习）下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【解析】对于A，由，得，∴且，故A不正确； 对于B，，∴，故B不正确； 对于C，集合是数集，是点集，∴，故C正确； 对于D，∴，故D不正确. 故选：C. 32．（25-26高一·全国·课前预习）用“”“ ”或“=”填空： （1） ；（2） ． 【答案】  【分析】根据元素与集合以及集合与集合间的关系即可填空. 【解析】（1）；（2）. 故答案为：；. 33．（25-26高一·全国·假期作业）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】错误 【分析】利用相等集合的定义判断即可. 【解析】集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：错误 34．（2025高二·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 35．（2025高一·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【解析】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. （二）根据两个集合相等求参数 36．（25-26高一·全国·课后作业）设为实数，，若与相等，则 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等结合互异性求解即可. 【解析】集合中的元素必须满足互异性，且两集合相等，所以，且，故． 故答案为：0. 37．（25-26高一·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【解析】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 38．（25-26高一·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【解析】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 39．（2025高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【解析】∵集合， ∴ ∴. 故答案为：. 40．（2025高一·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【解析】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 考点八 由集合间的包含关系求参数 41．【多选】（2025高一·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【解析】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 42．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值. 【解析】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 43．（25-26高一·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】BD 【分析】分别讨论情况下的集合的元素，然后结合子集的定义求出的可能取值. 【解析】当时，集合，满足，B正确； 当时，集合，要使，则或． 当时，，此时，集合不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时，集合，满足题意，D正确， 所以的值可以为0或1． 故选：BD. 44．（2025高一·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得或，求出即可. 【解析】已知集合，集合．若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且. 故选：D. 45．【多选】（2025高一·山东日照·阶段练习）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【解析】，因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，， 综上，或或. 故选：ABC 46．（2025高一·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【解析】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（46题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 （二）根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 策略方法 1.符号“∈”与“⊆”区别 ①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N. ②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 2.判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 3.对子集概念的三角度理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. 4.求集合子集、真子集的步骤 5.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 6.与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ∅，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n).若B⊆C⊆A，则C的个数为；若B⊆CA，则C的个数为；若BC⊆A，则C的个数为；若BCA，则C的个数为.　 7.根据子集、真子集的个数求参数​ 首先，明确子集、真子集个数与集合元素个数的关系：若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。据此可由已知的子集或真子集个数反推集合元素个数n。​ 其次，根据集合元素个数的要求，分析集合的构成。若集合由方程的根组成，需分方程是一次还是二次等情况讨论，结合判别式等确定参数取值；若集合含不等式等，需根据元素个数列出关于参数的不等式，求解参数范围。​ 最后，对求出的参数值或范围进行验证，确保集合元素个数符合由子集、真子集个数推出的结果，保证逻辑一致性。 8.空集的概念及判断 0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 9.空集的性质及应用解题策略：​ 首先，明确空集定义：不含任何元素的集合。若集合为空集，需结合其表达式（方程、不等式等）分析元素不存在的条件。​ 对于方程构成的集合，若为一元二次方程，空集意味着方程无实根。分一次方程（参数系数为 0）和二次方程（参数系数非 0）讨论：一次方程需方程不成立；二次方程需判别式小于 0。​ 对于不等式构成的集合，空集表示不等式无解。同样分一次不等式（参数系数为 0 时，不等式不成立）和二次不等式（参数系数非 0 时，结合二次函数图像，开口方向与判别式判断无解条件）。​ 含分式、根式等的方程，空集可能因解为增根或无意义导致，需先化简方程，再分析解的有效性，确定参数使解不存在。​ 最后，对求得的参数范围或值验证，确保集合确实为空集，避免遗漏特殊情况（如参数为 0 时的一次式情形）。 10.判断两个集合是否相等解题策略​ 首先，明确集合相等的核心：两集合元素完全相同，包括元素的种类、个数及具体内容，与元素顺序无关。 其次，判断集合元素类型是否一致。若一个是数集、一个是点集（如含坐标形式），直接判定不相等；若类型相同，再深入分析元素。​ 然后，化简集合，明确元素具体内容。对于描述法表示的集合，需转化为直观形式（如列举法），比较元素是否完全一致。例如，含方程解集的集合，需求解方程得到元素后再对比。​ 最后，注意特殊情况：空集只与空集相等；单元素集需元素完全相同；多元素集需所有元素一一对应相等，不可有遗漏或差异。 11.根据两个集合相等求参数 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解. 12.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　 13.利用集合关系求参数的关注点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 14.空集是任何集合的子集 因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 考点一 集合间关系的判断 1．（25-26高一·全国·单元测试）给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·课后作业）用“”，“”，“⫋”，“⫌”或“=”填空    （1）5                      （2）            （3）Z N                    （4）Z Q （5）              （6） 5．（2025高一·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 考点二 求集合的子集、真子集 6．（2025高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 7．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 8．（2025高一·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高一·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 10．（2025高三·江西南昌·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 考点三 判断集合子集、真子集的个数 11．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 13．（25-26高三·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 14．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 16．（2025高一·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 17．（2025高一·青海西宁·阶段练习）若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 18．（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则 . 19．（2025高一·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 20．（2025高一·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 考点五 空集的概念及判断 21．（25-26高一·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 22．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 23．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025高一·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 25．（2025高一·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点六 空集的性质及应用 26．（2025高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 27．（2025高一·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 28．（2025高一·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 29．（2025高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 30．（2025高三·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 31．（2025高一·湖南岳阳·专题练习）下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 32．（25-26高一·全国·课前预习）用“”“ ”或“=”填空： （1） ；（2） ． 33．（25-26高一·全国·假期作业）集合与集合表示同一集合．( ) 34．（2025高二·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 35．（2025高一·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， （二）根据两个集合相等求参数 36．（25-26高一·全国·课后作业）设为实数，，若与相等，则 ． 37．（25-26高一·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 38．（25-26高一·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 39．（2025高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 40．（2025高一·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 考点八 由集合间的包含关系求参数 41．【多选】（2025高一·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 42．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 43．（25-26高一·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 44．（2025高一·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 45．【多选】（2025高一·山东日照·阶段练习）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 46．（2025高一·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. $$