《1.1三角形中的线段和角（第二课时）》讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.1三角形中的线段和角（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义。 2.能够准确识别和绘制三角形的高、中线和角平分线。 3.掌握三角形的高、中线和角平分线的基本特征及简单应用。 ) ( 二．重点难点 1.重点：三角形的高、中线和角平分线的定义、识别与绘制。 2.难点：三角形的高、中线和角平分线的特征及应用，尤其是钝角三角形高的位置理解 。 ) ( 三． 课前预习 1.在三角形中，连接一个顶点与它的对边______的线段，叫作三角形的中线。 2. 若AD是 △ ABC的中线，那么BD = DC =______BC 。 3. 一个三角形有______条中线，它们相交于三角形______一点。 4. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与______之间的线段叫作三角形的角平分线 。 5. 若AD是 △ ABC的角平分线，则 ∠ BAD = ∠ DAC =______ ∠ BAC 。 6. 一个三角形有______条角平分线，它们相交于三角形______一点。 7、 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作______，顶点与______之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 8. 锐角三角形的三条高都在三角形______；直角三角形有两条高是三角形的______，另一条高在三角形______；钝角三角形有两条高在三角形______ ，一条高在三角形______。 9. 三角形的三条高所在直线相交于______点。 ) 四．课堂探秘 （一）三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如在△ABC中，过点A作对边BC所在直线的垂线，垂足为F，则线段AF就是△ABC的高 。 注意：“垂线”是一条直线,“三角形的高”是一条线段. 2. 画法： （1）一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上，比如要作△ABC中BC边上的高，就把三角尺的一条直角边与BC边重合。 （2）二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点，即让三角尺的另一条直角边经过点A。 （3）三画：沿着经过顶点的这条直角边画出垂线段AD 。 注意:标明垂直的记号和垂足的字母. 【活动探究】三角形的３条高有交点吗？若有，交点在哪里？分别画出图中各个三角形的3条高。 【结论】 三角形的高线共有3条．锐角三角形的3条高交于三角形内一点．直角三角形的3条高交于直角顶点．钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． （二）三角形的中线 1. 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。比如在△ABC中，若D是BC边的中点，连接AD，则线段AD就是△ABC的中线。 如图，线段AD就是△ABC的一条中线,也称AD为边BC上的中线 注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 2. 画法：先找到三角形一边的中点（可以用测量的方法确定中点位置），然后连接该中点与这条边所对的顶点，所得到的线段就是中线。 3. 性质： （1）三角形的中线是一条线段 。 （2）三角形有三条中线，且三条中线都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 （3）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，即若AD是△ABC的中线，则S△ABD = S△ACD 。这是因为这两个小三角形等底（BD = CD ）同高（都是从A点到BC边的距离），根据三角形面积公式S = ×底×高，所以面积相等。 （4）三角形的中线分三角形的周长差等于对应另两边的差，即若AD是△ABC的中线，则（AB + BD + AD） - （AC + CD + AD） = AB - AC （因为BD = CD ） 。 （三）三角形的角平分线 1. 定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E ，则线段AE就是△ABC的角平分线。 2. 画法： (1)用量角器量出三角形一个内角的度数，然后将这个角度平分。 (2)以这个角的顶点为端点，在平分线上取一点，连接该点与这个角的对边，得到的线段就是角平分线。 3. 性质： (1)三角形的角平分线是一条线段。 (2)三角形有三条角平分线，且三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 (3)三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比，即若AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD = BD：CD 。 例1.下列各图中,正确画出△ABC中AC边上的高的是(　　) A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④ 例2．如图AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　） A．5 B．6 C．7 D．8 例3.下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 例4．(1)已知：如图(a)，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是______． (2)如图(b)，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D.若∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°. ①∠CAE＝________°(用含x的代数式表示)； ②∠F的度数是________． 五．课堂检测 1．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　） A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE 2．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若S△ABC＝24cm2，则图中阴影部分面积为（　　） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．10cm2 3．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 5.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC = 80°，则∠BAD = （ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 6.下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条高都在三角形内部 B. 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C. 三角形的角平分线是射线 D. 三角形的三条中线相交于一点 7.在△ABC中，∠ABC = 80°，∠ACB = 40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数。 8.如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：(1)AD的长．(2)△ABE的面积．(3)△ACE和△ABE的周长的差． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.三角形的中线 （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边______的线段，叫做三角形的中线。 （2）若AD是△ABC的中线，则BD = DC=BC；同时，△ ABD与△ACD的面积（因为这两个三角形等底同高，根据三角形面积公式S = ah ，底BD = DC，高都是点A到BC的距离）。 （3）一个三角形共有______条中线，且三条中线都在三角形的______部，三条中线相交于______点，这个交点叫做三角形的______ 。 2.三角形的角平分线 （1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与______之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC = ______ 。 （3）三角形的角平分线是一条______（填“射线”“直线”或“线段”）；一个三角形有______条角平分线，它们都在三角形______部，并且相交于______点 。 3.三角形的高 （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作______，顶点与______之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 （2）锐角三角形的三条高都在三角形的______部；直角三角形有两条高与两条______重合，另一条高在三角形的______部；钝角三角形有两条高在三角形的______部，一条高在三角形的______部。 （3）三角形的三条高所在的直线相交于______点。锐角三角形三条高的交点在三角形______；直角三角形三条高的交点是______；钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形______。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE⊥BC于点E，若∠BAC＝108°，∠C＝56°，则∠DAE的度数是(　　) A．10° B．15° C．20° D．30° 3．如图所示，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S阴影等于(　　) A．2 cm2 B．1 cm2 C. cm2 D. cm2 4.如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　） A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 5．如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若S△ABC＝12，则S△ABD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是(　　) A．50°　 B．60°　 C．70°　 D．80° 7.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠C的度数是(　　) A．100°　 B．105°　 C．110°　 D．115° 8.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(　　) A．15°　 B．30°　 C．45°　 D．60° 9.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是( ) A．120° B．130° C．75° D．150° 10.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 二．填空题 11．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　　． 12.如图，在△ ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S△ ABC=4，S△ BEF=_____. 13.如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为________. 14．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 15.如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度． 16．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____． 17、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=___50°_____ 18．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为　 　． 19．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，那么BC＝　 　． 20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 三．解答题 21如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD＝54°，∠DBC＝18°.求∠A，∠C的度数． 22.已知在△ABC中，AB＝AC, AB边上的中线CD把这个三角形的周长分成12 cm和15 cm两部分，求△ABC的三边长． 23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°. (1)求∠DAC的度数． (2)求∠E的度数． 24．将一副三角板拼成如图10所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求∠DFC的度数； (2)试说明CF∥AB. 25.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 作图:请作出AC边上的高BG. 探究: (1)请你通过观察、测量找到DE、DF、BG之间的数量关系:　　　　　　.  (2)为了说明DE、DF、BG之间的数量关系,小嘉是这样做的: 连接AD, 则S△ADC=　　　　,S△ABD=　　　　,  ∴S△ABC=　　　　　　　　　　,  S△ABC还可以表示为　　　　.  …… 请你帮小嘉完成上述填空. 拓展:当点D在如图2的位置时,(1)中DE、DF、BG之间的数量关系是否仍然成立?补全图形并说明理由. 　 26．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB. (1)若∠A＝60°，求∠BOC的度数； (2)若∠A＝100°，求∠BOC的度数； (3)若∠A＝120°，求∠BOC的度数； (4)由(1)(2)(3)，你发现了什么规律？请用一个等式将这个规律表示出来． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.1三角形中的线段和角（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义。 2.能够准确识别和绘制三角形的高、中线和角平分线。 3.掌握三角形的高、中线和角平分线的基本特征及简单应用。 ) ( 二．重点难点 1.重点：三角形的高、中线和角平分线的定义、识别与绘制。 2.难点：三角形的高、中线和角平分线的特征及应用，尤其是钝角三角形高的位置理解 。 ) ( 三． 课前预习 1.在三角形中，连接一个顶点与它的对边______的线段，叫作三角形的中线。 【 答案 】 ：中点 2. 若AD是 △ ABC的中线，那么BD = DC =______BC 。 【 答案 】 ： 3. 一个三角形有______条中线，它们相交于三角形______一点。 【 答案 】 ：三；内 4. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与______之间的线段叫作三角形的角平分线 。 【 答案 】 ：交点 5. 若AD是 △ ABC的角平分线，则 ∠ BAD = ∠ DAC =______ ∠ BAC 。 【 答案 】 ： 6. 一个三角形有______条角平分线，它们相交于三角形______一点。 【 答案 】 ：三；内 7、 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作______，顶点与______之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 【 答案 】 ：垂线；垂足 8. 锐角三角形的三条高都在三角形______；直角三角形有两条高是三角形的______，另一条高在三角形______；钝角三角形有两条高在三角形______ ，一条高在三角形______。 【 答案 】 ：内部；直角边；内部；外部；内部 9. 三角形的三条高所在直线相交于______点。 【 答案 】 ：一 ) 四．课堂探秘 （一）三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如在△ABC中，过点A作对边BC所在直线的垂线，垂足为F，则线段AF就是△ABC的高 。 注意：“垂线”是一条直线,“三角形的高”是一条线段. 2. 画法： （1）一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上，比如要作△ABC中BC边上的高，就把三角尺的一条直角边与BC边重合。 （2）二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点，即让三角尺的另一条直角边经过点A。 （3）三画：沿着经过顶点的这条直角边画出垂线段AD 。 注意:标明垂直的记号和垂足的字母. 【活动探究】三角形的３条高有交点吗？若有，交点在哪里？分别画出图中各个三角形的3条高。 【结论】 三角形的高线共有3条．锐角三角形的3条高交于三角形内一点．直角三角形的3条高交于直角顶点．钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． （二）三角形的中线 1. 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。比如在△ABC中，若D是BC边的中点，连接AD，则线段AD就是△ABC的中线。 如图，线段AD就是△ABC的一条中线,也称AD为边BC上的中线 注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 2. 画法：先找到三角形一边的中点（可以用测量的方法确定中点位置），然后连接该中点与这条边所对的顶点，所得到的线段就是中线。 3. 性质： （1）三角形的中线是一条线段 。 （2）三角形有三条中线，且三条中线都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 （3）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，即若AD是△ABC的中线，则S△ABD = S△ACD 。这是因为这两个小三角形等底（BD = CD ）同高（都是从A点到BC边的距离），根据三角形面积公式S = ×底×高，所以面积相等。 （4）三角形的中线分三角形的周长差等于对应另两边的差，即若AD是△ABC的中线，则（AB + BD + AD） - （AC + CD + AD） = AB - AC （因为BD = CD ） 。 （三）三角形的角平分线 1. 定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E ，则线段AE就是△ABC的角平分线。 2. 画法： (1)用量角器量出三角形一个内角的度数，然后将这个角度平分。 (2)以这个角的顶点为端点，在平分线上取一点，连接该点与这个角的对边，得到的线段就是角平分线。 3. 性质： (1)三角形的角平分线是一条线段。 (2)三角形有三条角平分线，且三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 (3)三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比，即若AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD = BD：CD 。 例1.下列各图中,正确画出△ABC中AC边上的高的是(　　) A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④ 【答案】 D　 【解析】根据三角形高线的定义知,AC边上的高是过点B向AC边作的垂线段,纵观各图形,①②③都不符合高线的定义,④符合高线的定义.故选D. 例2．如图AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】∵BD＝5，CD＝9，∴BC＝BD+CD＝14，∵AE是△ABC的中线，∴CE＝BE＝BC＝7，故选：C． 例3.下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 【答案】D 【解析】A、三角形的角平分线是一条线段，错误；B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，错误；C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，错误；D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；故选：D． 例4．(1)已知：如图(a)，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是______． (2)如图(b)，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D.若∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°. ①∠CAE＝________°(用含x的代数式表示)； ②∠F的度数是________． 【答案】(1)10° (2)①(72－x) ②18°　 【解析】(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝100°. ∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝40°，∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－40°＝10°. (2)①∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE.∵∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°，∴∠CAE＝×[180°－x°－(x＋36)°]＝(72－x)°.②∵∠FED＝∠AEC＝180°－∠CAE－∠C＝180°－(72－x)°－(x＋36)°＝72°，FD⊥BC，∴∠F＝180°－∠FDE－∠FED＝180°－90°－72°＝18°. 五．课堂检测 1．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　） A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE 【答案】D 【解析】选项A因为AD是△ABC的中线，根据中线的定义，中线将对边分成相等的两部分，所以BD = CD，那么BC = BD + CD = 2CD，该选项正确。选项B由于AE是△ABC的角平分线，依据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，所以∠BAE=∠EAC = 1/2∠BAC，该选项正确。选项C因为AF是△ABC的高，按照高的定义，从顶点A向BC边所在直线作垂线，垂足为F，所以∠AFB = 90°，该选项正确。选项D仅知道AE是角平分线，角平分线的性质是将角平分，并没有AE = CE的性质，所以该选项错误。选项A、B、C的表述均符合三角形中线、角平分线和高的性质，而选项D不符合，所以本题答案是D。 2．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若S△ABC＝24cm2，则图中阴影部分面积为（　　） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．10cm2 【答案】C 【解析】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∵AD是BC边上的中线，∴在△ABC和△GBC中S△ABD=S△ACD，S△GBD=S△GCD，S△ABG=S△ACG，同理，S△CAF=S△CBF，S△GAF=S△GBF，S△CAG=S△CBG， S△BCE=S△BAE，S△GCE=S△GAE，S△BGA=S△BCA，∴S△GBD=S△GCD=S△GAF=S△GBF=S△GCE=S△GAE， ∵S△ABC＝24cm2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝8（cm2），故选：C． 3．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【答案】D　 【解析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的定义，可知BD是△ABC的角平分线，CE是△BCD的角平分线，所以选项A，B正确；因为∠3＝∠4＝∠ACB，所以选项C正确；CE不是△ABC的角平分线，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，所以选项D错误．故选D. 5.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC = 80°，则∠BAD = （ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】：B 【解析】：由于AD是∠BAC的平分线，根据角平分线定义，角平分线将角分成两个相等的角，所以∠BAD =∠BAC = ×80° = 40° 。 6.下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条高都在三角形内部 B. 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C. 三角形的角平分线是射线 D. 三角形的三条中线相交于一点 【答案】：D 【解析】：A选项，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，直角三角形有两条高是直角边，一条高在三角形内部，故A错误；B选项，三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，不是直线，故B错误；C选项，三角形的角平分线是线段，不是射线，故C错误；D选项，三角形的三条中线相交于三角形内一点，这是三角形中线的性质，故D正确。 7.在△ABC中，∠ABC = 80°，∠ACB = 40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数。 【答案】：80° 【解析】：因为BD是∠ABC的平分线，∠ABC = 80°，所以∠ABD = ∠ABC = ×80° = 40°。在△BDC中，根据三角形内角和为180°，∠BDC + ∠DBC + ∠ACB = 180°，已知∠DBC = ∠ABD = 40°，∠ACB = 40°，所以∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠ACB = 180° - 40° - 40° = 80°。 8.如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：(1)AD的长．(2)△ABE的面积．(3)△ACE和△ABE的周长的差． 解：(1)∵∠CAB＝90°，AD是边BC上的高，∴AB·AC＝BC·AD，∴AD＝＝4.8(cm)， 即AD的长度为4.8 cm. (2)∵AE是边BC上的中线，∴BE＝EC＝BC＝×10＝5(cm)，又AD＝4.8(cm)，∴S△ABE＝BE·AD＝×5×4.8＝12(cm2).即△ABE的面积是12 cm2. (3)∵AE为边BC上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.三角形的中线 （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边______的线段，叫做三角形的中线。 【答案】：中点 （2）若AD是△ABC的中线，则BD = DC=BC；同时，△ ABD与△ACD的面积（因为这两个三角形等底同高，根据三角形面积公式S = ah ，底BD = DC，高都是点A到BC的距离）。 【答案】：BC；相等 （3）一个三角形共有______条中线，且三条中线都在三角形的______部，三条中线相交于______点，这个交点叫做三角形的______ 。 【答案】：三；内；一；重心 2.三角形的角平分线 （1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与______之间的线段叫做三角形的角平分线。 【答案】：交点 （2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC = ______ 。 【答案】：∠BAC （3）三角形的角平分线是一条______（填“射线”“直线”或“线段”）；一个三角形有______条角平分线，它们都在三角形______部，并且相交于______点 。 【答案】：线段；三；内；一 3.三角形的高 （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作______，顶点与______之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 【答案】：垂线；垂足 （2）锐角三角形的三条高都在三角形的______部；直角三角形有两条高与两条______重合，另一条高在三角形的______部；钝角三角形有两条高在三角形的______部，一条高在三角形的______部。 【答案】：内；直角边；内；外；内 （3）三角形的三条高所在的直线相交于______点。锐角三角形三条高的交点在三角形______；直角三角形三条高的交点是______；钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形______。 【答案】：一；内；直角顶点；外 （二）强化训练 一．选择题 1.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D． 2．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE⊥BC于点E，若∠BAC＝108°，∠C＝56°，则∠DAE的度数是(　　) A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】 C　 【解析】因为AE⊥BC，∠C＝56°，所以∠CAE＝90°－56°＝34°.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝108°，所以∠CAD＝∠BAC＝×108°＝54°.所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝54°－34°＝20°.故选C. 3．如图所示，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S阴影等于(　　) A．2 cm2 B．1 cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】B　 【解析】因为D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，所以S△BDE＝S△ABD＝×S△ABC＝×4＝1(cm2)，S△CDE＝S△ACD＝×S△ABC＝×4＝1(cm2)，S△BEF＝S△BEC.因为S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2 cm2，所以S△BEF＝S△BEC＝1 cm2. 4.如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　） A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 【答案】C 【解析】：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE， 由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选：C． 5．如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若S△ABC＝12，则S△ABD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】连接CD∵EC＝2BE，点F是AC的中点，∴S△ABD=S△BCD，S△DCE=2S△DBE，S△ADC=2S△ADB，设S△BDE=x，则S△DCE=2x，S△ABD=3x，S△ADC=6x，∵S△ABC＝12，∴S△ABD=3，故选：B 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是(　　) A．50°　 B．60°　 C．70°　 D．80° 【答案】C 【解析】：∵∠B＝30°，∠ADC＝70°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝70°－30°＝40°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－30°－80°＝70°. 7.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠C的度数是(　　) A．100°　 B．105°　 C．110°　 D．115° 【答案】B 【解析】：∵∠A＝45°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝15°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD＝30°，∴∠C＝180°－∠ABC－∠A＝180°－30°－45°＝105°. 8.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(　　) A．15°　 B．30°　 C．45°　 D．60° 【答案】B 【解析】：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM＝∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM＝∠ACM，则∠BEC＝∠ECM－∠EBM＝×(∠ACM－∠ABC)＝∠A＝30°. 9.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是( ) A．120° B．130° C．75° D．150° 【答案】A 【解析】：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴，，∴ ∴∠BOC=180°（∠ABC+∠ACB）=180°=120°．故选：A. 10.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【解析】如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D． 二．填空题 11．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　　． 【答案】1 【解析】∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4， ∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1． 12.如图，在△ ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S△ ABC=4，S△ BEF=_____. 【答案】1 【解析】：点是的中点，，，点是的中点，，，， 点是的中点，，，． 13.如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为________. 【答案】65° 【解析】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°. 14．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 【答案】40° 【解析】∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，而∠BOC=110°，∴90°+∠A=110° ∴∠A=40°．故答案为40°． 15.如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度． 【答案】10 【解析】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10° 16．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____． 【答案】67° 【解析】∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA， ∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°． 17、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=___50°_____ 【答案】50° 【解析】∵AE平分∠BAC， ∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°， Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．故答案为50°． 18．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为　 　． 【答案】7cm． 【解析】∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm，∴BD＝15﹣6﹣5＝4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC＝2BD=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC＝21﹣6﹣8＝7cm．故AC长为7cm，故答案为：7cm． 19．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，那么BC＝　 　． 【答案】5 【解析】：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AC＝2AE＝4，AB＝2AF＝6，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣4﹣6＝5，故答案为：5． 20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 【答案】8 【解析】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，∵△ADC的周长比△ABD的周长多3，∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，即AC﹣AB＝3，又∵AB与AC的和为13， ∴，解得，故答案为：8． 三．解答题 21如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD＝54°，∠DBC＝18°.求∠A，∠C的度数． 解：∵在△ABC中，BD⊥AC，∠ABD＝54°，∴∠BDA＝90°，∴∠A＝180°－∠BDA－∠ABD＝180°－90°－54°＝36°，∵∠ABD＝54°，∠DBC＝18°，∴∠ABC＝72°，∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝72°，即∠A＝36°，∠C＝72°. 22.已知在△ABC中，AB＝AC, AB边上的中线CD把这个三角形的周长分成12 cm和15 cm两部分，求△ABC的三边长． 解：如图，设AD＝x cm，BC＝y cm，则AC＝AB＝2x cm.由题意，得 或解得或当x＝4，y＝11时，8＋8>11，可以构成三角形；当x＝5，y＝7时，10＋7>10，可以构成三角形．故△ABC的三边长分别是8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm. 23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°. (1)求∠DAC的度数． (2)求∠E的度数． 解：(1)∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝30°. (2)∵∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝35°＋30°＝65°，∵∠EPD＝90°，∴∠E的度数为：90°－65°＝25°. 24．将一副三角板拼成如图10所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求∠DFC的度数； (2)试说明CF∥AB. 解：(1)因为∠D＝30°，∠DCF＝45°，所以∠DFC＝180°－30°－45°＝105°. (2)因为CF平分∠DCE，所以∠DCF＝∠ECF＝∠DCE.因为∠DCE＝90°，所以∠DCF＝45°. 因为∠BAC＝45°，所以∠DCF＝∠BAC.所以CF∥AB. 25.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 作图:请作出AC边上的高BG. 探究: (1)请你通过观察、测量找到DE、DF、BG之间的数量关系:　　　　　　.  (2)为了说明DE、DF、BG之间的数量关系,小嘉是这样做的: 连接AD, 则S△ADC=　　　　,S△ABD=　　　　,  ∴S△ABC=　　　　　　　　　　,  S△ABC还可以表示为　　　　.  …… 请你帮小嘉完成上述填空. 拓展:当点D在如图2的位置时,(1)中DE、DF、BG之间的数量关系是否仍然成立?补全图形并说明理由. 　 解：作图:如图所示: 探究:(1)BG=DE+DF. （2）如图,连接AD.∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,AB=AC, ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=AC·(DE+DF). ∵BG⊥AC,∴S△ABC=AC·BG,∴BG=DE+DF. 故答案为AC·DF;AB·DE;AC·DF+AB·DE;AC·BG. 拓展:结论仍然成立,即BG=DE+DF. 如图: 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC,∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=AB·DE+AC·DF=AC·(DE+DF),∵BG⊥AC,∴S△ABC=AC·BG,∴BG=DE+DF. 26．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB. (1)若∠A＝60°，求∠BOC的度数； (2)若∠A＝100°，求∠BOC的度数； (3)若∠A＝120°，求∠BOC的度数； (4)由(1)(2)(3)，你发现了什么规律？请用一个等式将这个规律表示出来． 解：(1)因为BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°， 所以∠CBO＋∠BCO＝(180°－∠A)＝(180°－60°)＝60°. 所以∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－60°＝120°. (2)同理，若∠A＝100°，则∠BOC＝180°－×(180°－∠A)＝90°＋∠A＝140°. (3)同理，若∠A＝120°，则∠BOC＝180°－×(180°－∠A)＝90°＋∠A＝150°. (4)由(1)(2)(3)，发现∠BOC＝180°－×(180°－∠A)＝90°＋∠A. 学科网（北京）股份有限公司 $$