专题01三角形中的线段和角（暑假预习讲义）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册.

专题01三角形中的线段和角 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材) ✺学习目标： 1.概念理解：掌握三角形的基本概念与分类，熟记三角形三边关系、内角和性质；精准掌握三角形高、中线、角平分线的标准定义。 2.灵活运用：能准确辨别、规范画出不同三角形的高、中线、角平分线；会用三边关系判断线段能否构成三角形、求解边长取值范围；能利用内角和、外角性质、三种线段性质完成边长、角度、面积的基础计算。 3.精准区分：清晰区分三角形高、中线、角平分线的概念、功能与位置差异；掌握不同类型三角形高线的位置区别。 4.几何思维：建立“识图—找条件—用性质—推结论”的基础几何思维，为后续全等三角形的判定与综合证明筑牢基础。 ✺题型归纳： 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.构成三角形的条件 题型4.确定第三边的取值范围 题型5.三角形三边关系的应用 题型6.大（小）边对大（小）角定理 题型7.根据三角形中线求长度 题型8.根据三角形中线求面积 题型9.重心的概念 题型10.三角形角平分线的定义 题型11.画三角形的高 题型12.与三角形的高有关的计算问题 题型13.利用网格求三角形面积 题型14.垂心 ✺知识◆清单 一、三角形定义、分类、三边关系 1.定义：由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形，记作△ABC。 2.三角形分类 分类依据 类型 核心特征 按角分类 锐角三角形 三个内角均为锐角（小于90°） 直角三角形 有一个内角为90°，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角为钝角（大于90°小于180°） 按边分类 不等边三角形 三条边长全部不相等 等腰三角形 有两条边相等（等边三角形是特殊等腰三角形） 等边三角形 三条边相等，三个内角均为60° 3.三角形三边关系（必考） 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 依据：两点之间，线段最短. 在△ABC中，a+b>c, a+c>b, b+c>a ； |a-b|<c, |a-c|<b, |b-c|<a 快速判断：只需验证：较短两边之和>最长边，即可构成三角形。 边长取值范围：已知两边为a、b(a>b)，第三边x满足：a-b < x < a+b 应用：判断三条线段能否组成三角形 方法：选两条较短的线段之和，若和大于第三条线段的长度，则能构成三角形。 二、三角形内角核心知识点 1. 内角和定理 文字表述：三角形三个内角和为180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.三角形内角和定理证明方法（平行线辅助线法） 3.三角形内角与边的关系（大边对大角）如下图 （1）.大边对大角：同一个三角形中，较长的边所对的内角更大； 在△ABC中，BC>AC, ∠A>∠B> （2）.大角对大边：同一个三角形中，较大的内角所对的边更长。 在△ABC中，∠B>∠C,AC>AB 4.. 三大基础应用 （1）已知两个内角，直接求第三个角； （2）已知三角比例、倍数关系，列方程求角度； （3）通过内角大小判断三角形形状。 三、三角形的三种重要线段（核心重点） 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。如下图，从△ABC的顶点A向线段BC作垂线，AD就是BC边上的高. 几何语言：（1）∵AD是△ABC中BC边上的高；∴∠ADB=∠ADC=90°。 （2） ∵∠ADB=90°，∴AD是△ABC的高 数量：任意三角形有 3 条高，三条高一定交于同一点，这个交点叫垂心。 本质：AD是一条线段（不是直线、射线）。 核心性质：高与对应底边互相垂直，夹角为90°。 位置规律： 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，一条高在内部； 钝角三角形：钝角对边的高在内部，另外两条高在三角形外部。 重要结论：三角形三条高所在直线交于一点，这点叫做三角形的垂心。 易错点：钝角三角形作高需先延长对边，高不一定都在图形内部。 2.三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何语言：(1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD. (2)∵BD=CD,∴AD是三角形的中线. 数量：任意三角形有3 条中线，三条中线一定交于同一点，这个交点叫重心。 位置规律：任意三角形三条中线均在内部，交于重心。 面积核心性质（考试最高频） 一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形。 原理：△ ABD与△ADC同高、等底（BD=DC），由面积公式S=ah得：== 拓展：三条中线将大三角形分成6 个面积完全相等的小三角形。 3.三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。（如下图） 几何语言：（1）∵ AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC。 （2） ∵∠BAD=∠CAD,∴AD是角平分线. 数量：任意三角形有 3 条角平分线，三条角平分线一定交于同一点，这个交点叫内心。 本质：三角形角平分线是一条线段。 核心性质：平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角。 位置规律：任意三角形三条角平分线均在内部，交于一点。 四、三种线段对比汇总表 对比项目 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义核心 顶点到对边的垂线段 顶点连接对边中点的线段 平分内角的顶点与对边交点线段 核心作用 构造直角、求高、求面积、垂直证明 平分边长、等分三角形面积 等分内角、用于角度等量代换 位置特点 随三角形类型变化（内、边、外） 始终在三角形内部 始终在三角形内部 交点名称 垂心 重心 内心 五、本章高频易错汇总 1.忽略三角形三边取值范围的两边之差要求； 2.误以为三角形的高一定在图形内部，忽略钝角三角形的外部高； 3.混淆三角形角平分线（线段）与角的平分线（射线）； 4.三边取值范围只记两边之和，遗漏两边之差小于第三边； 5.只有中线能等分三角形面积，高线、角平分线不具备等分面积的性质。 ✺题型◆精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 3．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 题型2.三角形的个数问题 1．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 2．在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到__________个三角形． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的性质，掌握“从边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个边形分割成个三角形”是解题关键．从边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个边形分割成个三角形，由此解答即可． 【详解】详解：在八边形内任取一点，连接该点与八边形的各顶点，这些连接线段将八边形分割成若干个三角形．每个三角形由该内点及八边形的两个相邻顶点组成，且每条边对应一个三角形，因此三角形的个数等于八边形的边数．八边形有8条边，故可得到8个三角形． 故答案为：8． 3．如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【详解】（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：． （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：． 题型3.构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论. 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 2．已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据等腰三角形两腰相等的性质，分第三边长为和两种情况讨论，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行验证，进而确定第三边的长度． 【详解】解：若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形； 若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形． 故第三边长为或． 故答案为：或． 3．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 题型4.确定第三边的取值范围 1．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 2．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 3．若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得， ∴第三边的取值范围是． 故答案为：． 题型5.三角形三边关系的应用 1．7条长度均为整数厘米的线段：，满足，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（    ） A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米 【答案】B 【详解】解：由任意3条线段都不能构成三角形和满足可知，从第三条线段起，任意一条线段的长度不小于其前面两条线段的长度之和，即（） ∵厘米， ∴各项需取可能的最小值，则厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米， ∵厘米，若有任意一项大于其最小值，则厘米，不符合题意， ∴能取的值是13厘米． 2．已知的周长是偶数，其中有两边长是3和7，且的第三边长为偶数，则此三角形的周长是______． 【答案】16或18 【分析】本题考查了三角形三边关系． 根据三角形三边关系，第三边取值范围为大于两边差且小于两边和，再结合第三边为偶数的条件，确定第三边的具体值，最后计算周长． 【详解】解：设第三边长为， 由三角形三边关系得， 即． ∵为偶数， ∴或． 当时，周长为； 当时，周长为； 故答案为：16或18． 3．已知、、分别是的三边长，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可． 【详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 题型6.大（小）边对大（小）角定理 1．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 2．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）． 题型7.根据三角形中线求长度 1．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 2．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 3．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 题型8.根据三角形中线求面积 1．如图，，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据，得，，得点D是的中点，进而，故． 【详解】解：， ，，点D是的中点， ， ． 2．如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 【答案】18 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为3，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 3．如图，是的中线，，若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了由三角形中线求三角形面积，根据三角形中线求出的面积，再利用已知可得，从而得到． 【详解】解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 题型9.重心的概念 1．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 2．如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是明确三角形三条中线的交点（重心）与中线的关系，即过重心的线段为的中线． 先根据“点O是的三条中线的交点”，可知线段是的一条中线；再依据三角形中线的定义——连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可判断点D是边的中点；最后根据中点的性质，得出与的数量关系． 【详解】解：∵点O是的三条中线的交点，且A、O、D在同一条直线上，D在边上， ∴是的中线． 又∵三角形中线的定义为连接三角形一个顶点和它对边中点的线段， ∴点D是的中点． ∵中点将线段分为两条相等的线段， ∴． 故答案为：． 3．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 题型10.三角形角平分线的定义 1．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B．三角形的中线是射线 C．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 根据三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心，故选项错误； B．三角形的中线是线段，故选项错误； C．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形的边上，故选项错误； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项正确． 故选：D． 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则__________________，若，则__________________度． 【答案】 12 36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 3．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 【答案】，，， ，，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，平分（已知） ∴，， ∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，，，，，，，同位角相等，两直线平行． 题型11.画三角形的高 1．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 2．下面四个图形中，线段是的高的图是______．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和三角形的中线的性质，熟知三角形的高的定义和三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 题型12.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 2．如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质．根据已知可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵为的中线，为的中线，的面积为， ∴ 设边上的高为 ∴ 解得： 故答案为：． 3．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 题型13.利用网格求三角形面积 1．如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，根据图中各部分之间的面积关系正确列式计算是解题的关键． 用整个网格的面积减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：． 2．如图，． （1）在中，边上的高是___________； （2）在中，边上的高是___________； （3）在中，边上的高是___________； （4）若，则的面积为___________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的高线定义，求三角形的面积， 根据三角形高线的定义解答（1）（2）（3）；利用三角形面积公式直接求（4）面积即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴边上的高是， 故答案为：； （2）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （3）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （4）∵， ∴的面积为， 故答案为． 3．如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出． (2)的面积为______． (3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)或 【分析】（1）根据平移方式即可作图； （2）利用割补法求解即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：设P点坐标为， ∵以为顶点的三角形的面积为， ∴， ∴， 解得：或， 即P点坐标为或． 题型14.垂心 1．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 2．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 【答案】90° 【分析】根据三角形高的定义和三角形的垂心定义以及三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点， ∴点O为三角形ABC的垂心， ∵连接AO并延长交BC于点F． ∴AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查的是垂线的概念，掌握三角形三条边上的高线相交于一点是解决本题的关键． 3．如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查轴对称和垂心的性质， （1）根据对称的做法找到点A关于线段的对称点，连接、即可； （2）根据高线交点即为垂心，在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边即可． 【详解】（1）解：作A关于的对称点，连接、，如图， （2）解：，理由如下： F是高线交点（垂心），在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 2．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 3．一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三角形三边关系得：，即， ∴衣架底部横杆的长可能为 ． 4．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 二、填空题 5．在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 7．如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 【答案】 13 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：作， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为130，， ∴， 解得， 故中边上的高为13． 8．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 三、解答题 9．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】先证明，再根据平行的性质和等量代换证明，再根据证明，即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 10．如图，已知在边长为的方格纸中，点都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移___________个单位，再向___________平移___________个单位得到三角形． (3)画出在上的高． (4)写出的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)，右； (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据点是点的对应点，画出，顺次连接即可； （2）根据上题的图形确定方向及距离； （3）根据正方形对角线互相垂直即可画出； （4）利用填补法求面积即可； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：由图可知，先向上平移个单位，再向右平移个单位得到； （3）解：如图所示：连接交于点， 则，即为所求； （4）解：. 11．读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，线段即为所求， (3)60；；两直线平行，内错角相等；60 (4) 【分析】（1）用推平行线法作直线即可； （2）用三角板作垂线即可； （3）根据平行线的性质求解即可； （4）根据等面积法表示出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：若，则度，理由如下： 直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ． （4）解：∵， ∴，是直线与之间的距离， ∵，， ∴， 设点A到的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为． 12．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标为 ； (2)求的面积为 ； 【答案】(1)如图所示，即为所求，点的坐标为． (2)4 【分析】（1）根据轴对称图形的作法画图即可，然后读出点的坐标； （2）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据图象得，点的坐标为； （2）的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的线段和角 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材) ✺学习目标： 1.概念理解：掌握三角形的基本概念与分类，熟记三角形三边关系、内角和性质；精准掌握三角形高、中线、角平分线的标准定义。 2.灵活运用：能准确辨别、规范画出不同三角形的高、中线、角平分线；会用三边关系判断线段能否构成三角形、求解边长取值范围；能利用内角和、外角性质、三种线段性质完成边长、角度、面积的基础计算。 3.精准区分：清晰区分三角形高、中线、角平分线的概念、功能与位置差异；掌握不同类型三角形高线的位置区别。 4.几何思维：建立“识图—找条件—用性质—推结论”的基础几何思维，为后续全等三角形的判定与综合证明筑牢基础。 ✺题型归纳： 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.构成三角形的条件 题型4.确定第三边的取值范围 题型5.三角形三边关系的应用 题型6.大（小）边对大（小）角定理 题型7.根据三角形中线求长度 题型8.根据三角形中线求面积 题型9.重心的概念 题型10.三角形角平分线的定义 题型11.画三角形的高 题型12.与三角形的高有关的计算问题 题型13.利用网格求三角形面积 题型14.垂心 ✺知识◆清单 一、三角形定义、分类、三边关系 1.定义：由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形，记作△ABC。 2.三角形分类 分类依据 类型 核心特征 按角分类 锐角三角形 三个内角均为锐角（小于90°） 直角三角形 有一个内角为90°，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角为钝角（大于90°小于180°） 按边分类 不等边三角形 三条边长全部不相等 等腰三角形 有两条边相等（等边三角形是特殊等腰三角形） 等边三角形 三条边相等，三个内角均为60° 3.三角形三边关系（必考） 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 依据：两点之间，线段最短. 在△ABC中，a+b>c, a+c>b, b+c>a ； |a-b|<c, |a-c|<b, |b-c|<a 快速判断：只需验证：较短两边之和>最长边，即可构成三角形。 边长取值范围：已知两边为a、b(a>b)，第三边x满足：a-b < x < a+b 应用：判断三条线段能否组成三角形 方法：选两条较短的线段之和，若和大于第三条线段的长度，则能构成三角形。 二、三角形内角核心知识点 1. 内角和定理 文字表述：三角形三个内角和为180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.三角形内角和定理证明方法（平行线辅助线法） 3.三角形内角与边的关系（大边对大角）如下图 （1）.大边对大角：同一个三角形中，较长的边所对的内角更大； 在△ABC中，BC>AC, ∠A>∠B> （2）.大角对大边：同一个三角形中，较大的内角所对的边更长。 在△ABC中，∠B>∠C,AC>AB 4. 三大基础应用 （1）已知两个内角，直接求第三个角； （2）已知三角比例、倍数关系，列方程求角度； （3）通过内角大小判断三角形形状。 三、三角形的三种重要线段（核心重点） 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。如下图，从△ABC的顶点A向线段BC作垂线，AD就是BC边上的高. 几何语言：（1）∵AD是△ABC中BC边上的高；∴∠ADB=∠ADC=90°。 （2） ∵∠ADB=90°，∴AD是△ABC的高 数量：任意三角形有 3 条高，三条高一定交于同一点，这个交点叫垂心。 本质：AD是一条线段（不是直线、射线）。 核心性质：高与对应底边互相垂直，夹角为90°。 位置规律： 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，一条高在内部； 钝角三角形：钝角对边的高在内部，另外两条高在三角形外部。 重要结论：三角形三条高所在直线交于一点，这点叫做三角形的垂心。 易错点：钝角三角形作高需先延长对边，高不一定都在图形内部。 2.三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何语言：(1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD. (2)∵BD=CD,∴AD是三角形的中线. 数量：任意三角形有3 条中线，三条中线一定交于同一点，这个交点叫重心。 位置规律：任意三角形三条中线均在内部，交于重心。 面积核心性质（考试最高频） 一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形。 原理：△ ABD与△ADC同高、等底（BD=DC），由面积公式S=ah得：== 拓展：三条中线将大三角形分成6 个面积完全相等的小三角形。 3.三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。（如下图） 几何语言：（1）∵ AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC。 （3） ∵∠BAD=∠CAD,∴AD是角平分线. 数量：任意三角形有 3 条角平分线，三条角平分线一定交于同一点，这个交点叫内心。 本质：三角形角平分线是一条线段。 核心性质：平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角。 位置规律：任意三角形三条角平分线均在内部，交于一点。 四、三种线段对比汇总表 对比项目 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义核心 顶点到对边的垂线段 顶点连接对边中点的线段 平分内角的顶点与对边交点线段 核心作用 构造直角、求高、求面积、垂直证明 平分边长、等分三角形面积 等分内角、用于角度等量代换 位置特点 随三角形类型变化（内、边、外） 始终在三角形内部 始终在三角形内部 交点名称 垂心 重心 内心 五、本章高频易错汇总 1.忽略三角形三边取值范围的两边之差要求； 2.误以为三角形的高一定在图形内部，忽略钝角三角形的外部高； 3.混淆三角形角平分线（线段）与角的平分线（射线）； 4.三边取值范围只记两边之和，遗漏两边之差小于第三边； 5.只有中线能等分三角形面积，高线、角平分线不具备等分面积的性质。 ✺题型◆精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．在中，若，则，其依据是___________． 3．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 题型2.三角形的个数问题 1．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 2．在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到__________个三角形． 3．如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 题型3.构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 3．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 题型4.确定第三边的取值范围 1．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 3．若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 题型5.三角形三边关系的应用 1．7条长度均为整数厘米的线段：，满足，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（    ） A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米 2．已知的周长是偶数，其中有两边长是3和7，且的第三边长为偶数，则此三角形的周长是______． 3．已知、、分别是的三边长，化简：． 题型6.大（小）边对大（小）角定理 1．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 3．如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 题型7.根据三角形中线求长度 1．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 2．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 3．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 题型8.根据三角形中线求面积 1．如图，，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 3．如图，是的中线，，若，求的面积． 题型9.重心的概念 1．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 2．如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 3．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 题型10.三角形角平分线的定义 1．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B．三角形的中线是射线 C．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则__________________，若，则__________________度． 3．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 题型11.画三角形的高 1．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 2．下面四个图形中，线段是的高的图是______．（填序号） 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 题型12.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______． 3．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 题型13.利用网格求三角形面积 1．如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 2．如图，． （1）在中，边上的高是___________； （2）在中，边上的高是___________； （3）在中，边上的高是___________； （4）若，则的面积为___________． 3．如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出． (2)的面积为______． (3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______． 题型14.垂心 1．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 2．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 3．如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 2．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 3．一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 二、填空题 5．在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 6．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 7．如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 8．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 三、解答题 9．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 10．如图，已知在边长为的方格纸中，点都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移___________个单位，再向___________平移___________个单位得到三角形． (3)画出在上的高． (4)写出的面积为___________． 11．读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 12．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标为 ； (2)求的面积为 ； 学科网（北京）股份有限公司 $