21 圆中的计算与证明-【鹰击道道清】2025年天津中考数学冲关模拟分类

21 圆中的 g第一部分通关“中考真题”) 1.(2018·天津)已知AB是⊙O的直径，弦 CD与AB相交，∠BAC=38° (1)如图①，若D为AB的中点，求∠ABC 和∠ABD的大小： (2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的 延长线交于点P.若DP∥AC,求∠OCD的 大小 0 D D 图① 图② 。7 21圆中的计算与证明父C8 名 计算与证明 2.(2019·天津)已知PA,PB分别与⊙O相 切于点A,B,∠APB=80°，C为⊙O上 一点。 (1)如图①，求∠ACB的大小： (2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC 相交于点D.若AB=AD,求∠EAC的 大小. 0 图① 图② 1· 3) 鹰击道道清中考冲关模拟分类 车 3.(2020·天津)在⊙O中，弦CD与直径AB 相交于点P,∠ABC=63°. (1)如图①，若∠APC=100°，求∠BAD和 ∠CDB的大小： (2)如图②@，若CD⊥AB,过点D作⊙O的 切线，与AB的延长线相交于点E,求∠E 的大小 图① 图② ·7 数学 居 4.(2021·天津)已知△ABC内接于⊙O,AB= AC,∠BAC=42°，点D是⊙O上一点. (1)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD, 求∠DBC和∠ACD的大小； (2)如图②，若CD∥BA,连接AD,过点D 作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E, 求∠E的大小 图① 图② 2· 名 5.(2022·天津)已知AB为⊙O的直径， AB=6,C为⊙O上一点，连接CA,CB. (1)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB 的大小和AC的长： (2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且 OD LCB,垂足为E,过点D作⊙O的切线，与 AC的延长线相交于点F,求FD的长 0 图① 图② 。7 21圆中的计算与证明父心 串 6.(2023·天津)在⊙O中，半径O℃垂直于弦 AB,垂足为D,∠AOC=60°，E为弦AB所 对的优弧上一点。 (1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小； (2)如图②，CE与AB相交于点F,EF= EB,过点E作⊙O的切线，与CO的延长线 相交于点G.若OA=3,求EG的长 D/F B C 图① 图② 3· 少鹰击道道清中考冲关模拟分类 车 7.(2024·天津)已知在△AOB中，∠ABO= 30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切 于点C (1)如图①，若AB∥MN,直径CE与AB相 交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小； (2)如图②，若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为 G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段 OF的长， C 图① 图② ·7 数学 居 C 第二部分详练“模拟原题” A组 1.(2024·滨海一模)在△ABC中，AB=AC, O为AB上一点，⊙O与BC相交于点D. (1)如图①，AB为⊙O的直径，若∠BAC= 50°，⊙O与AC相交于点E,求∠EBD和 ∠BED的大小： (2)如图②，⊙O经过点B,与AB相交于点 E,与AC相切于点F,过点E作弦EG∥ AC,连接BG,OD,BG与OD相交于点H. 若EG=4,求OH的长. 0 H B D 图① 图② 4· 名 2.(2024·部分区二模)已知AB是⊙O的直 径，AD,DE是⊙O的弦 (1)如图①，若E为AB的中点，∠DAB= 28°，求∠ABD和∠DAE的大小； (2)如图②，过点D作⊙O的切线交AB的 延长线于点C,连接CE.若DE是⊙O的直 径，AD=DC,CB=2,求CE的长 图① 图② 。7 © 21圆中的计算与证明父C 串 3.(2024·红桥三模)在△ABC中，∠C=90°， 以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆 与BC相切于点D,分别交AB,AC于点 E,F. (1)如图①，连接AD,若∠CAD=25°，求 ∠B的大小； (2)如图②，若点F为AD的中点，⊙O的半 径为2，求AB的长. 图① 图② 5· 鹰击道道清中考冲关模拟分类 车 4.(2024·河北一模)在⊙O中，点A,B,P在 圆上，∠AOB=150°. (1)如图①，P为弦AB所对的优弧上一点， 半径OC经过弦AB的中点M,PB=AB, 求∠AOC和∠ABP的大小； (2)如图②，P为弦AB所对的劣弧上一点， AP=OB,过点B作⊙O的切线，与AO的 延长线相交于点D.若DB=√6，求PB 的长 C 图① 图② ·7 数学 居 5.(2024·红桥二模)以AB为直径的⊙O分 别与△ABC的边AC,BC相交于点D,E, AE平分∠CAB. (1)如图①，连接BD,若∠C=64°，求 ∠DBA的大小： (2)如图②，过点E作⊙O的切线，与AB的 延长线相交于点F,与AC相交于点G.若 ∠F=30°，CG=1,求AE的长 G D D 0 图① 图② 6· 臣 B组 6.(2024·南开二模)已知⊙0的半径为5，在 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8,点A 在⊙O上 (1)如图①，△ABC的顶点C在⊙O上， AB,BC分别交⊙O于D,E两点，连接AE, DE.求∠DEB的大小和DE的长； (2)如图②，△ABC的顶点C在⊙O外，且 BC边与⊙O相切于点M,AC边与⊙O相交 于点N,连接AO,BO,求AN和OB的长. 0 图① 图② 。7 21圆中的计算与证明父C 串 7.(2024·滨海二模)在⊙O中，AB是⊙O的 直径，弦CD垂直于AB,垂足为E,过点C 作⊙O的切线交BA的延长线于点F, (1)如图①，若∠B=25°，求∠F的大小： (2)如图②，若∠B=30°，AB=4,M是AD 的中点，连接CM,求CM的长. D 图① 图② 7 ) 少鹰击道道清中考冲关模拟分类 车 8.(2024·河西一模)在⊙O中，直径BD垂直 于弦AC,垂足为E,连接AB,BC,CD,DA. (1)如图①，若∠ABC=110°，求∠BAE和 ∠CAD的大小； (2)如图②，过点C作⊙O的切线交AB的 延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆 半径的长 B C C 图① 图② ·7 数学 居 9.(2024·和平二模)已知AB是半圆O的直 径，C是BD的中点， (1)如图①，若∠BAD=40°，求∠ABC和 ∠ADC的大小： (2)如图②，过点C作半圆O的切线CM,过 点O作OE⊥CD与CM相交于点E.若 CD∥AB,AB=4,求CE的长. D 0 0 图① 图② 8 10.（2024·和平三模)已知圆内接四边形 ABCD,BD平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB. (1)如图①，求∠BAD的大小： (2)如图②，过点C作圆的切线与AB的延 长线相交于点F.若CF∥AD,AF=3,求 圆半径的长 B C C 图① 图② 。7 21圆中的计算与证明父C心 串 11.(2024·河北二模)在⊙O中，AB是⊙0的 直径，BC=BD,弦CD交OB于点M, ∠CDB=22.5°. (1)如图①，求∠ACD和∠ODB的大小： (2)如图②，过点C作⊙O的切线CN,过 点A作AH⊥CN于点H.若AB=8,求 CH的长. H 图① 图② 9· 3) 少鹰击道道清中考冲关模拟分类 车 12.(2024·河东一模)已知点A,B,C在⊙O上. (1)如图①，过点A作⊙O的切线EF,交 BC的延长线于点E,D是BC的中点，连 接DO并延长，交BC于点G,交⊙O于点 H,交切线EF于点F,连接BA,BH.若 ∠ABH=24°，求∠E的大小； (2)如图②，若∠AOC+∠B=135°，⊙O的 半径为5，BC=8,求AB的长. G D 图① 图② ·8 数学 居 C组 13.(2024·河西二模)在⊙O中，延长直径AB 至点C,以AC为一边的等腰三角形 △CAD,CA=CD,底边DA与⊙O交于点 E,直线EF是⊙O的切线，交CD于点F. (1)如图①，当∠C=40°时，求∠A和 ∠EFD的大小： (2)如图②，当∠C=60°且直线FB恰与 ⊙O相切.若OA=3,求FD的长 E 图① 图② 0B组 5.解：(1)40,25： (2)3,3,3; (3)估计暑期该校七年级学生读书的总册数为 1200册. 6.解：(1)50,24： (2)这组数据的平均数为8.34，众数为9，中位数 是8.5： (3)读书时间不少于9小时的学生大约有1500人. 7.解：(1)40,15； (2)这组数据的平均数是8.3，众数是9，中位数 是8： (3)该校800名初中学生中，得分不低于9分的学 生人数约为380. 8.解：(1)20,25； (2)平均数是1.61m,众数是1.65m,中位数是 1.60m: (3)能. 第三部分精研“同类好题” 1.解：(1)40,20： (2):元=14X5+8X6+10×7+4×8+4×9 40 6.4, .这组数据的平均数为6.4： ,这组数据中，5出现了14次，出现次数最多， .这组数据的众数为5： :将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于 中间位置的两个数是6和6， 有生=6，∴这组数据的中位数为6： (3)1200×(10%+10%)=240(人). 答：估计参加社会实践活动时间大于7天的学生 人数有240人， 2.解：(1)50,32； (2)z=0×(10×8+20×12+30×16+40× 10+50×4)=28: 每周零花钱30元的人数最多，故众数是30： 第25和第26个数都是30，故中位数是30. (3)1000×28=28000(元). 答：全校学生一周的零花钱约为28000元. 21圆中的计算与证明 第一部分通关“中考真题” 1.解：(1)，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠BAC+∠ABC=90° 又∠BAC=38°， .∠ABC=90°-38°=52 D为AB的中点，∴AD=BD, ∴∠ACD=∠BCD=2∠ACB=45, ∠ABD=∠ACD=45 (2)如图，连接OD, DP切⊙O于点D,OD⊥DP, 即∠ODP=90° ,DP∥AC,∠BAC=38°，.∠P=∠BAC=38 ,∠AOD是△ODP的外角， ∠AOD=∠ODP+∠P=128°， “∠ACD=2∠A0D=6A. 又OA=OC,.∠AC0=∠A=38°， ,.∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°. 2.解：(1)如图①，连接OA,OB, ,PA,PB是⊙O的切线， .∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100. 由圆周角定理，得∠ACB=号∠AOB=50 9 图① 图② (2)如图②，连接CE, ,AE为⊙O的直径，∴∠ACE=90°. ,∠ACB=50°，.∠BCE=90°-50°=40°， .∠BAE=∠BCE=40. ,AB=AD,.∠ABD=∠ADB=70°， ∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=20° 3.解：(1)：∠APC是△PBC的一个外角， ∴.∠C=∠APC-∠ABC=100°-63°=37 由圆周角定理，得∠BAD=∠C=37°，∠ADC= ∠ABC=63°. ,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90, ∴.∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-63°=27 (2)如图，连接OD, CD⊥AB,∴∠CPB=90°， ∴∠PCB=90°-∠ABC=90°-63°=27° ,DE是⊙O的切线， .DE⊥OD,.∠ODE=90 :∠BOD=2∠PCB=54°， ∴.∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36° 4.解：()：AB=AC,∠ABC=∠ACB=7180°- ∠BAC=号X(180°-429=69 BD为直径，∠BCD=90. :∠D=∠BAC=42°， ∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°， ∴.∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69° 48°=21° (2)如图，连接OD, :CD∥AB, ∴.∠ACD=∠BAC=42 :四边形ABCD为⊙O的内接 四边形， .∠B+∠ADC=180°， .∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111 ∴.∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180° 42°-111°=27°， .∠COD=2∠CAD=54. DE为切线，∴.OD⊥DE, ∴.∠ODE=90°， ∴∠E=90°-∠D0E=90°-54°=36°. 5.解：(1)，AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°. 16 :C为AB的中点，∴AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA=45°， ∴.AC=AB·cos∠CAB=3√2. (2)DF是⊙O的切线，∴.OD⊥DF. OD⊥BC,∠FCB=90°， .四边形FCED为矩形，.FD=EC. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=6, .BC=AB2-AC=4√2. ODLBC,EC-BC-2FD-2 6.解：(1)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB, .AC=BC,∠AOC=∠BOC ,∠AOC=60°，∴.∠AOB=2∠AOC=120°. :∠CEB=2∠B0C-2∠A0C, .∠CEB=30. (2)如图，连接OE, 由(1)得∠CEB=30° ,在△BEF中，EF=EB, ∴.∠EBF=∠EFB=75°， ∴.∠AOE=2∠EBA=150° 又∠A0G=180°-∠A0C=120°， ∴.∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°. GE与⊙O相切于点E, ∴.OE⊥GE,即∠OEG=90. 在R△0BG中，a∠G0E-8是，0E=0A=3, ∴.EG=3×tan30°=√5. 7.解：(1)AB为⊙O的弦， ∴.OA=OB,·∠A=∠ABO ·在△AOB中，∠A+∠ABO+∠AOB=180°， 又∠AB0=30°， ∴.∠AOB=180°-2∠ABO=120. ,直线MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O的直径， .CE⊥MN,即∠ECM=90°. 又AB∥MN, ∴.∠CDB=∠ECM=90. 在Rt△ODB中，∠BOE=90°-∠ABO=60°. :∠BCE=∠BOB, ∴.∠BCE=30. (2)如图，连接OC. 直线MN与⊙O相切于点C, ∴.∠OCM=90. :OB∥MN, .∠OCM=∠COB=90 CG⊥AB,∠FGB=90. 在Rt△FGB中，由∠ABO=30°， 得∠BFG=90°-∠ABO=60°. ∴.∠CFO=∠BFG=60° 在R△COF中，tan∠CF0-8,0C=OA=3, ..OF-= OC tan∠CFOtan60-=3. 第二部分详练“模拟原题” A组 1.解：(1)，AB为⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°， ·∠ABE=90°-∠BAC=40°. .AB=AC, ∴∠ABC-∠ACB=2X180'-50)=65, .∠EBD=∠ABC-∠ABE=65°-40°=25 ,四边形ABDE是圆内接四边形， .∠AED=180°-∠ABC=180°-65=115°， .∠BED=∠AED-∠AEB=115°-90°=25° (2)如图，连接OF,OF与EG相交于点M. .AB=AC, .∠ABC=∠ACB. .OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB, ∠ODB=∠ACB. .OD∥AC ,AC与⊙O相切于点F, .AC⊥OF,即∠OFC=90°， ∴.∠DOF=90° .EG∥AC,∴.OF⊥EG ∴.∠OMG=90°，EM=GM=2. :BE为⊙O的直径， .∠BGE=90°， .四边形OHGM为矩形， ∴.OH=GM=2. 17 2.解：(1)AB是⊙0的直径， .∠ADB=90 ∠DAB=28, .∠ABD=90°-∠DAB=62. E为AB的中点， .'.AE=EB, ∴∠ADE=∠EDB=2∠ADB=45, ∴.∠EAB=∠EDB=45, ∴∠DAE=∠DAB+∠EAB=73° (2),CD是⊙O的切线，DE是⊙O的直径， ∴.∠EDC=90°. .AD=CD, ∴.∠A=∠DCA. .OA=OD, ∴.∠A=∠ADO, .∠DOC=2∠A, .∠DOC=2∠DCA. ∠DOC+∠DCA=3∠DCA=90°， .∠DCA=30°， ∴0D=20c .OD=OB, 0B-20c. ∴.OB=BC=2, ∴.OD=2,OC=4, ∴.DC=OC-OD=2√3. ,DE=2OD=4,∠CDE=90°， ∴CE=√DE+DC=2√7. 3.解：(1)如图①，连接OD, ,BC切⊙O于点D, .∠ODB=90 ∠C=90°， .AC∥OD, .∠CAD=∠ADO. .OA=OD, .∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°， ∴.∠DOB=∠CAO=∠CAD+∠DAO=50. ∠ODB=90°， .∠B=90°-∠DOB=90°-50°=40°. (2)如图②，连接OF,OD, 由(1)得AC∥OD, ∴.∠OFA=∠FOD. :点F为AD的中点， ∴∠AOF=∠FOD, ∴.∠OFA=∠AOF, ∴.AF=OA .OA=OF, ∴，△AOF为等边三角形， ∴∠FAO=60°，∴.∠DOB=60°， .∠B=30° 在Rt△ODB中，OD=2, ∴.OB=4, '.AB=AO+OB=2+4=6. 图① 图② 4.解：(1)半径OC经过弦AB的中点M, ..AC=BC, LA0C=∠B0C=2∠A0B=75, ∠APB=号∠AOB=75. 又PB=AB, ∴.∠PAB=∠APB=75°， ∴∠ABP=180°-∠PAB-∠APB=30° (2):∠A0B=150°，∴∠D0B=30° :DB切⊙O于点B,∠OBD=90°， ..OB= tan30=3v2. DB .AP=OB, ∴.AP=OB=OP=OA, .△OAP为等边三角形，.∠AOP=60°， .∠POB=180°-∠AOP-∠BOD=180°-60 30°=90° 由勾股定理，得PB=√PO十OB=√2OB= 5.解：(1)，AB为⊙0的直径， .∠AEB=∠ADB=90°， ∴.∠CEA=90° ∠C=64°， ∴.∠CAE=90°-64°=26°. ,AE平分∠CAB, ∴.∠CAB=2∠CAE=52°， ∴.∠DBA=90°-52°=38. (2)如图，连接OE. ,过点E作⊙O的切线， ∴.∠OEF=90. ∠F=30°， ∴.∠EOF=60. .OE=0A, ∴.∠OAE=∠OEA= 30° ,OE=OB,∠EOB=60°，∴.∠OBE=60. :AE平分∠CAB, ∴.∠CAB=2∠OAE=60°， ∴.△ABC是等边三角形， ∴.易得∠AGF=90°，∠C=60°， ∴.∠CEG=30°. CG=1,.CE=2. ,∠AEB=90°，△ABC是等边三角形， .BE=2, ·AE=BE tan30=2V3. B组 6.解：(1)∠ACB=90°，AC=BC=8, ∴.∠CAB=∠B=45 :点C在⊙O上，且∠ACB=90°， ∴.AE为直径，即AE=10. 在Rt△AEC中，∠ACB=90°，AE=10,AC=8, 由勾股定理，得CE-√AE一AC=√10-8=6， .EB=BC-CE=8-6=2. ,四边形ADEC内接于圆，且∠ACB=90°， ∴.∠ADE=90°， ∴.∠EDB=90°，∠DEB=90°-∠B=45°， DE=EB·s∠B=2X号-E (2)如图，连接OM,过点O作OH⊥AC于点H. BC切⊙O于点M,且OM为半径， ·18· ∴.OM⊥BC于点M, 即∠OMC=90. ,∠C=∠OHC=∠OMC 90°， .四边形OHCM为矩形， ∴.OM=CH=5,OH=CM, .AH=AC-CH=8-5=3, OH⊥AC,且AN为弦， .AH=HN=3,即AN=6. 在Rt△AOH中，由勾股定理，得 OH=√AO-AH=√5-3=4， .OH=CM=4,.MB=BC-CM=8-4=4. 在Rt△OBM中，由勾股定理，得 OB=√OM+MB=√5+4=√4I. 7.解：(1)如图①，连接OC, ,弦CD垂直于AB,AB经过圆心， ∴.AC=AD, ∴.∠C0E=2∠B=50°. ,CF是⊙O的切线， ∴.∠OCF=90°， .∠F=90°-50°=40° 图① 图② (2)如图②，连接OD,过点M作MH⊥CD,垂足 为H, AB=4, ..OB=OD=0A=2, .∠B=∠ODB=30°， ∴.∠E0D-30°+30°=60° 在Rt△BDA中，BD=AB·cos30°=2√3， ,CD⊥AB, DE-7BD-3. 在Rt△OED中，由勾股定理，得OE= √OD2-DE=W22-(3)2=1, .AE=2-1=1. ,MH⊥CD,CD⊥AB, 19 .MH∥AE, .△DHM∽△DEA, 腮-删- DH=号MH=合 ,弦CD垂直于AB,AB经过圆心， .CE=DE=√3，∴.CD=2√3， CH=CD-DH=23-5=33 2 2 在Rt△HMC中，由勾股定理，得 CM=√CH+HMr=√7. 8.解：(1)：直径BD⊥AC于点E, ∴.AD=CD, ∴∠ABD-=∠CBD=∠ABC-55 .∠BAE=90°-∠ABD=90°-55°=35 ,BD是直径， ∠BAD=90°， .∠CAD=90°-∠BAE=90°-35°=55. (2)如图，连接OC, :直径BD⊥AC于点E, ∴AE=CE, 即BD垂直平分AC, ..DA=DC. 又，AC=AD, ∴，△ACD是等边三角形， .∠ADC=∠CAD=60°， .∠FBC=∠ADC=60. .CD=CD, ∴.∠CBD=∠CAD=60°. 又OB=OC, ∴.△BOC是等边三角形， '.BC=OC,∠BCO=60. ,FC切⊙O于点C, ∴.∠FCO=90°， ∠FCB=90°-∠BC0=90°-60°=30°， .∠F=180°-∠FBC-∠FCB=180-60°-30°= 90°， ,.BC=2BF=4,,.OC=BC=4, 即⊙O的半径为4， 9.解：(1)，AB是半圆的直径， ∴.∠ACB=90. ,C是BD的中点， ..BC=CD, ∠DAC=∠CAB=∠BAD=20 ∴.∠ABC=90°-∠CAB=70°. ,四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ADC=180°-∠ABC=110. (2)如图，连接OC,OD D ,过点C作半圆O的切线CM, .OC⊥CM, .∠OCE=90° 由(1)可知BC=CD, ∴.∠DOC=∠COB. DC∥AB,∴.∠COB=∠OCD. OD=OC,.∠ODC=∠OCD, ∴.∠ODC=∠OCD=∠DOC. .∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， ∴.∠ODC=∠OCD=∠DOC=60. OE⊥CD,OD=OC, .∠DOF=∠COF=30° AB=4,.OC=2. 在Rt△OCE中，∠COE=30°，tan∠COE= CE OC CE=0C·tan∠C0E-2Xtan30°=2y 3 10.解：(1)，BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. ,∠BAC=∠BDC,∠BAC=∠ADB, .∠ADB=∠BDC 又，BD=BD,∴△BAD≌△BCD, .∠BAD=∠BCD ,四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠BAD=∠BCD=90. (2)∠BAD=90°， BD是圆的直径. 如图，设BD的中点为O,点O即为圆心，连接 CO并延长与AD相交于点H. ,CF是⊙O的切线， .OC⊥FC, .∠OCF=90. 'CF∥AD, .∠OCF=∠CHD=90°， ∴.OH⊥AD, ..AC=CD. ∴.AC=CD 由(1)得△BAD≌△BCD, ∴.AD=CD,.AD=CD=AC, .△ADC是等边三角形， .∠ADC=60° .∠ADB=∠BDC=30° ∴在Rt△OHD中，OH=2OD, ,∠OCF=∠OHA=∠BAD=90°， .四边形AFCH是矩形， .AF=CH=3. :CH=0c+0H=20c=3, .OC=2,即圆半径的长为2. 11.解：(1)如图①，连接OC, .BC=BD, .∠COB=∠DOB,OC=OD, ∴.OM⊥CD. ∠CDB=22.5°， ∠CAB=∠CDB=22.5°， 图① .∠ACD=90°-∠CAB=67.5°， ∴.∠ABD=∠ACD=67.5. OB=OD, ∠ODB=∠ABD=67.5 (2)如图②，连接OC, ,CN切⊙O于点C, .OC⊥HN, ∠OCH=∠OCN=90. :AH⊥CN于点H, .∠AHC=90°， 图② 20· ∴.∠AHC=∠OCN=90°， .AH∥OC. ∠CDB=22.5°，∴∠BOC=45°， .∠HAO=∠BOC=45. 过点O作OP⊥AH于点P, ∴.△OPA是等腰直角三角形. :A0=2AB=4, P0-9A0=号×4=2E ,∠OCH=∠CHP=∠HPO=90°， .四边形CHPO为矩形， ∴.CH=PO=22. 12.解：(1)如图①，连接OA, EF为⊙O的切线，A为 切点， .OA⊥EF,∠FAO=90° ∠ABH=24°， .∠FOA=2∠ABH=48°， ∠F=42 图① :D是BC的中点， ∴DO⊥BC,∠FGE-90°， ∴.在Rt△FGE中，∠E=48 (2)如图②，连接AC,过点C作CM⊥AB,垂足 为M, :∠AOC+∠B=135°， ∠AOC=2∠B, .3∠B=135°， .∠B=45°，∠AOC=90. ∴.△AOC,△BCM是等腰直角 图② 三角形， .OA=OC=5,BC-8, ∴.AC=√2OA=5√2，BM=CM=4√2. 在Rt△ACM中，AM=√AC-CM=3√2， .AB=AM+BM=3√2+4√2=7√2. C组 13.解：(1)如图①，连接OE, ,直线EF是⊙O的切线， .∠OEF=90. ,CA=CD,∠C=40°，△ACD是等腰三角形， 21 ∠A=∠D=70 OA=OE, ∴.△OEA是等腰三角形， .∠A=∠OEA=70°， ∴∠OEA=∠D, ∴.OE∥CD, ∴.∠EFD=∠OEF=90° (2)如图②，连接OE,OF ∠C=60°，CA=CD, ∴△ACD是等边三角形， ∠A=∠D=60° .OA=OE=3, ∴.△AOE是等边三角形， ∴.∠AEO=∠AOE=60. :直线EF,BF是⊙O的切线， .∠OEF=∠OBF=90°， .OE⊥EF,OB⊥BF 又OB=OE,.FO平分∠BFE, ∠OFE=∠OFB. :∠BOF+∠BFO=∠EOF+∠EFO=90°， ∠B0F=∠EOF=180°-∠AOE=60, 2 ,在Rt△EOF中，EF=OE·tan∠EOF=3X tan60°=3√5. ∠AEO=∠D=60°，.OE∥CD, .∠EFD=∠OEF=90°， .在Rt△DEF中，FD= EF3√3 tan∠Dtan6o =3. 0 E 图① 图② 4.解：(1)如图①，连接OD与AB相交于点H. 四边形ADBC是圆内接四 边形，∠ADB=114°， .∠ACB=180°-∠ADB= 66 M :MD为⊙O的切线， 图① ∴.OD⊥DM, ∴.∠ODM=90. MD∥AB, .∠OHA=∠ODM=90°， .OD⊥AB, ∴AD=BD, ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=33. (2)如图②，过点B作BN⊥CD,连接OD. .∠CNB=∠BND=90. AB∥MD, ∴.∠MDO=∠DOB=90°， ∴∠DCB= 2∠D0B=45. :∠A=30°， 图② ∴∠CDB=∠A=30°. ,AB=4, ..OD=0B=2. 在Rt△ODB中，DB=√OD+OB=2√2. 在Rt△DBN中，∠CDB=30°， cos∠BDN= -停，BN=BD-i, ∴DN=BD·co/BDN=-2Ex号-E. 在Rt△CBN中，∠DCB=45°， an∠BCN=8=l, BN tanZBCN=2, ∴.CN= .CD=CN+DN=√2+√6. 15.解：(1)如图①，连接OC,OD. ,C是BD的中点， ∴BC=CD, D .∠BOC=∠COD. :CD∥AB, .∠BOC=∠OCD, .∠OCD=∠COD, 图① ..CD=OD, ..OC=OD=CD, ·△OCD为等边三角形， .∠COD=∠OCD=60°， 22 ∴.易得∠BOC=∠AOD=60. 又，OA=OD,OB=OC, ∴△OAD,△OBC都为等边三角形， ∴.∠A=∠B=60°， ∠E=60. (2)如图②，连接OD,BD,过点 B作BH⊥CD于点H. ,直线1为⊙O的切线， .OD⊥l. D L∥AB,.OD⊥AB, 图② .∠BOD=90°， ∴∠BCD=号∠BOD=45,BD=VEOB=EX 7AB=2x号X10=5vE, △BCH为等腰直角三角形， ÷CH=BH=马BC=×6=3V2. 2 2 在Rt△BDH中， DH=√BD-BH=√/(5√2)2-(3√2)2= 42, .CD=CH+DH=3√2+4√2=7√2. 6.解：(1)如图，连接OE,OE与DF交于点H, ,CD为⊙O的直径， ∴∠DFC=90° DF∥AB, ∠B=∠DFC-90. :AB与⊙O相切于点E,且OE为半径， ∴.OE⊥AB,即∠BEH=90°， .∠EOA=90°-∠A=90°-26°=64°. DE=DE, ∠EFD=g∠E0D=32 (2)如图，连接OE,与DF交于点H,设HF=m, ⊙O的半径为R. 由(1)可知∠B=∠BFD=∠BEO=90°， ,四边形EHFB为矩形， .∠EHF=∠DHO=90°，且EB=HF=m. ,OE⊥DF于点H,且OE为半径， ∴.DF=2DH=2HF=2m. :AB∥DF,且EF∥DG, ∴四边形DFEG为平行四边形， .GE=DF=2m. 又，BF=CF,且AB∥DF, ..AB=2DF=4m,AD=CD=2R, .AG=m=√6，AO=3R. 在Rt△AEO中，AE=3m=3√6，AE+EO AO, .(3√6)+R=(3R)2, 解得R=3 2 即00的半径为89 第三部分精研“同类好题” 1.解：(1)如图①，连接OA,则OA=OB. 又，C为AB的中点， .OC⊥AB. 在Rt△OBC中，∠BOC=90°-∠B=30°， OC=OB·sin60°=3 21 (2)如图②，连接OF,则OF=1. ,DE为切线，∴.∠OFD=90 BD=3BO=3,.DO=2, 在Rt△OFD中，coS∠FOD= 2 ∠FOD=60°=∠B, .OF∥EB, .∠FOC=∠OCB=90°. 在Rt△OFC中，由勾股定理，得 FC=VOr+OC-√1+()'- 图① 图② 2.解：(1)如图①，连接OB, ,四边形ABCO是平行四边形，OA=OC, .四边形ABCO是菱形，△AOB是等边三角形， ∠A=60°，AB=3. (2)如图②，连接OD,AD, ,DE是⊙O的切线，∴.OD⊥DE. 过点O作OH⊥AB于点H,∴AH=名AB=2. ,D为BC的中点，∴∠BAD=∠DAC 又，∠OAD=∠ODA,.∠ODA=∠BAD, .OD∥AE,AE⊥DE. :∠OHE=∠ODE=∠E=90, .四边形ODEH是矩形. 在Rt△AHO中，AO=3, ∴.OH=√OA-AH=√5， ∴.DE=OH=5. 图① 图② 3.解：(1)∠ABC=45°，∠C=60°， .∠BAC=75 ,四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴.∠BDE=180°-∠BAC=105°. AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， ∴.∠ADE=∠BDE-∠ADB=15. (2)如图，连接OA,OD, ∠ABC=45°，∠AOD 04 2∠ABC, ∠AOD=90. ,⊙0的半径为2， ∴.OA=OD=2, ∴.AD=√OA2+OD=22. 23· ⊙O与AC相切，.OA⊥AC,∴.∠OAC=90° :OA=OD,.∠OAD=∠ODA=45°， ∴.∠DAC=∠OAC-∠OAD=45°， ∴.∠ADC=180°-∠DAC-∠C=75°. 4.解：(1)如图①，连接OF, ,O是圆心，G是弦BF的中点， .OG⊥BF, ∴.∠OGB=∠OGC=90° .BF=OB,OF=OB, ∴.OF=BF=OB, ∴，△OFB是等边三角形， ∠B=60°， ∴.∠G0B=90°-60°=30 (2)如图②，连接OE ∠C=90°，∠B=60°，AC=3√5，.BC=3. BF=2CF,∴BF=2, ∴.OB=BF=2,∴.OM=OE=2. :E是切点，∴OE⊥AC, ∴.∠AE0=90° :∠C=90°，.E0∥CG, '∠EOM=∠CGO=90°， ∴.在Rt△EOM中， EM=√EO+OM=2√2. 围① 图② 5.解：(1)如图①连接OB ,四边形OABC是平行四边形，OA=OC, ∴.四边形OABC是菱形， ∴.OA=AB=OB, ∴.△AOB是等边三角形，∴.∠OAB=60 IEF⊥AB, .∠OHA=90°， .∠A0H=30° 又EF=6,∴.OE=OA=3, 0H=0A·cos30=3. 2 又：AE=AE, ÷∠AFE=7∠A0E=2×30=15 (2)如图②，延长AB交PC于点Q, 四边形OABC是平行四边形，.OC∥AQ, ∴.∠OCP=∠AQP PC与⊙O相切， .OC⊥PC, .∠OCP=90°， ∴.∠AQP=90° :EF是直径，EF⊥AB, ∴AE=BE, .∠BAE=∠AFE=15°， ∴.∠APC=90°-15°=75. B 图① 图② 6.解：(1)如图①，连接OC, ,AB与⊙O相切于点C,.OC⊥AB. :∠DFC=90°，.OC∥DF :∠D=34°，∴.∠EOC=2∠D=68°， ∴.∠DEO=∠EOC=68. (2)如图②，连接OC,CE, ,CE=CE,∴.∠COE=2∠CGE ∠DOE-2∠CGE,∠COE-∠DOE. ,AB为⊙O的切线，C为切点， ∴.OC⊥AB,.∠OCB=90. DF⊥AB,∠DFB=90°， ∴.∠OCB=∠DFB=90°， ∴.OC∥DF,∴.∠COE=∠OED, ∴.∠DOE=∠OED, ..OD=DE. OD=OE, ∴△ODE是等边三角形，∴∠DOE=60°， ∴.∠CGE=30° ⊙O的半径为5，.EG=10. :EG是⊙O的直径，∴.∠GCE=90°.