24-3 坐标系中的旋转-【鹰击道道清】2025年天津中考数学冲关模拟分类

6 24-3 坐标系中的旋转父C⊙ 24-3 坐标系中的旋转 g第一部分通关“中考真题”) 2.(2018·天津)在平面直角坐标系中，四边形 1.(2016·天津)在平面直角坐标系中，O为原 AOBC是矩形，点O(0,0),点A(5,0), 点，点A(4,0),点B(0,3),把△ABO绕点 点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩 B逆时针旋转，得△A'BO',点A,O旋转后 形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对 的对应点分别为A',O,记旋转角为a 应点分别为D,E,F (1)如图①，若a=90°，求AA'的长； (1)如图①，当点D落在BC边上时，求点D (2)如图②，若α=120°，求点O的坐标： 的坐标； (3)在(2)的条件下，边OA上的一点P旋转 (2)如图②，当点D落在线段BE上时，AD 后的对应点为P',当OP+BP'取得最小值 与BC交于点H 时，求点P的坐标（直接写出结果即可）. ①求证：△ADB≌△AOB; ②求点H的坐标 (3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为 △KDE的面积，求S的取值范围（直接写 出结果即可) 图① 图② 图① 图② ·127· 鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 中中居 C 第二部分详练“模拟原题” ) B组 A组 2.(2024·红桥三模)在平面直角坐标系中，点 1.(2023·河东一模)将两个三角形△AOB, A(2,0),点B(2,2),将△OAB绕点B顺时 △DCB放置在平面直角坐标系中，点O(0, 针旋转，得△OA'B,点A,O旋转后的对应 点分别为A',O,记旋转角为a 0),点A(0,6),点B(6√3,0)，点C,D分别 在边OB,AB上，且满足BC=CD=OA. (1)如图①，求点D的坐标： (2)以点B为中心，顺时针旋转△DCB,得 A 到△FEB,点C,D的对应点分别为点E,F 图① 图② ①如图②，连接AE,则在旋转过程中，当 (1)填空：如图①，当a=45时，点O的坐标 AE⊥BF时，求线段AE的长： 为 ,点A'的坐标为 ②如图③，连接AF,点M为AF的中点，则 (2)如图②，当a=60°时，求点A'的坐标； 在旋转过程中，当点M到线段CD的距离 (3)如图③，连接OA',设线段OA'的中点为 取得最大值时，直接写出点M的坐标. M,连接OM,求线段OM的最小值（直接 写出结果即可). 图① 图② A 图③ B 图③ ·128· 6 24-3 坐标系中的旋转父C 岳岳名 3.(2023·河北一模)将一个直角三角形纸片 C组 OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0), 4.(2024·和平一模)在平面直角坐标系中，O 点A(2,0),点B(2,23),∠OAB=90°.以 为原点，点A(2,0),点B(0,2),把△ABO 点A为中心顺时针旋转△AOB,得到 绕点B逆时针旋转，得△A'BO',点A,O旋 △ACD,点O,B的对应点分别是C,D,记 转后的对应点分别为A',O,记旋转角为a, 旋转角为a(0°≤a≤180). 连接AO. (1)如图①，当点C落在OB边上时，求点C 的坐标； (2)如图②，连接OC,BD,点E,F分别是线 段OC,BD的中点，连接AE,AF,EF,若线 0 段OC的长为t,试用含t的式子表示线段 图① 图② AE的长度，并写出t的取值范围： (1)如图①，若a=90°，求AO的长； (3)在(2)的条件下，若△AEF的面积是S, (2)如图②，若a=60°，求AO的长： 当60°≤a≤120°时，求S的取值范围（直接 (3)若点P为线段AO的中点，求A'P长的 写出结果即可) 取值范围（直接写出结果即可）. 图① 图② ·129· 少鹰击道道清中考冲关模拟分类数学 居 5.(2023·南开二模)四边形OABC在平面直 Cg第三部分精研“同类好题”) 角坐标系中，已知点A(一8,4)，B,C两点分 1.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象 别在y轴、x轴正半轴上，且AB=BC=OA. 限，点B在x轴正半轴上，△AOB是边长为 (1)如图①，求点B和点C的坐标； 4的等边三角形，点C,D分别在边OB和 (2)如图②，点P为线段BC上一点，把线段 AB上，△CDB是边长为2的等边三角形. PB绕点P顺时针旋转90得到线段PD. 现将△CDB绕点B顺时针旋转，得到 ①连接OD,设点P的横坐标为m,△BOD △EFB,旋转角为a,点C,D的对应点分别 的面积为S,求S与m的函数关系式，并直 是点E和点F, 接写出自变量m的取值范围； (1)如图①，连接OE,当a=30°时，求OE; ②如图③，连接AP,点E在AP的延长线 (2)如图②，连接AE,AF,在旋转过程中，当 上，且∠DPE=2∠DBE,若点P的横坐标 点F落到x轴（点F在点B的右侧）上时， 等于3，请直接写出四边形BPED的面积以 求△AEF的面积； 及点E的坐标 (3)如图③，连接OE,AF,若点G,H分别是 OE,AF的中点，连接BG,GH,BH,得 △BGH,△BGH是什么三角形？请说明理 由：若△BGH的面积是S,请直接写出S的 0 0 取值范围， 图① 图② 图① 图② 图③ 图③ ·130· 】 24-3坐标系中的旋转父园 岳岳名 2.在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩 3.已知△ABO和△CDO,点O(0,0), 形，点O(0,0),点A(4,0),点C(0,3).连接 点A(6,0),点B(0,6),点C(2,0),点D(0, AC,将△OAC绕点C逆时针旋转，得 2).将△COD绕点O顺时针旋转，得 △OA'C,点O,A的对应点分别为O',A', △COD',点C旋转后的对应点为点C', 记旋转角为a(0°<a<90). 点D旋转后的对应点为点D',记旋转角 (1)如图①，当a=30时，求点0的坐标； 为a. (2)如图②，当点A'落在CB的延长线上时， (1)如图①，若a=45°时，求点D的坐标； 求OA'与AB的交点D的坐标； (2)如图②，若a=60°时，连接BD',求BD (3)当点A'落在AB的延长线上时，求OA' 的长； 与BC的交点E的坐标（直接写出结果 (3)连接BD',AC,设BD',AC所在的直 即可) 线相交于点P,求△ABP面积的最小值 (直接写出结果即可)。 B A D 0 图① 图② 图① 图② ·131·(2)①：四边形AOCB是矩形，∴.OA∥BC, ∴.∠CPO=∠POD. 由折叠可得， ∠CPO=∠DPO,PM=PC=t,OM=OC=2, .∠POD=∠DPO,OD=PD 设OD=PD=x,则DM=t-x. 在Rt△DOM中，由勾股定理，得 OD:-MD:=MO, x-(1-x)2=4,x=+4 2 六重叠部分Sm=20D:0C-名.去X2 2t 2+4(2<<6, 2t s=+4(2<6). 2t ②}s4 3.1)解：A(5,号)， 0A=√)'+（号T=4. OB=5,.B(5,0), AB=√6-9)+(T=3. (2)解：①，OA=4,AB=3,OB=5, ∴.OA2+AB2=OB2, .∠OAB=90. .OC=BC, AC-0C-BC-号， ∴S影0=2SAe=S60a=2X3X4=6, ②证明：.∠OAB=90°，OC=BC, :AC-7OB-BC, ∴.△ABC是等腰三角形. ③解：0D=子 24一3坐标系中的旋转 第一部分通关“中考真题” 1.解：(1)点A(4,0),B(0,3), ∴.OA=4,OB=3, .AB=√32+4=5. △ABO绕点B逆时针旋转90°，得△ABO', .BA=BA',∠ABA'=90°， .△ABA'为等腰直角三角形， .AA'=√2BA=5N2. (2)作OH⊥y轴于点H,如图. ,△ABO绕点B逆时针旋转 120°，得△AB0', ∴.BO=BO=3, ∠0B0=120°， .∠HBO=60. 在Rt△BHO中， :∠BOH=90°-∠HBO=30°， BH-2B0-是， OH-3BH-33 ， 0H=0B+BH=3+号-号， ∴点0的坐标为(35，号》。 ap(,3. 2.(1)解：点A(5,0),B(0,3), .OA=5,OB=3. ,四边形AOBC是矩形， .AC=OB=3,BC=0A=5, ∠OBC=∠C=90°. 矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的， ∴.AD=AO=5. 在Rt△ADC中， DC=√AD-AC=√52-3=4， ∴.BD=BC-DC=1. .点D的坐标为(1,3)， (2)①证明：由四边形ADEF是矩形，得∠ADE= 90 又点D在线段BE上，∴∠ADB=90° 由旋转知，AD=AO, 又AB=AB,∠AOB=90°， ∴，Rt△ADB≌Rt△AOB. ②解：由Rt△ADB≌Rt△AOB,得∠BAD= ∠BAO. 61· 又在矩形AOBC中，OA∥BC, .∠CBA=∠OAB,.∠BAD=∠CBA, ..BH=AH. 设BH=t,则AH=t,HC=BC-BH=5-. 在Rt△AHC中，有AP=AC+HC, =3+(6-0,解得4=号BH=号 ∴点H的坐标为（号，3）， (3)解：30-334≤5≤30+3V34 第二部分详练“模拟原题” A组 1.解：(1)如图①，过点D作DH⊥OB于点H,由题 意，得OA=6,OB=6V3,CD=BC=OA=6. 在Rt△CDH中，∠DCH=60°， .CH=CD·cos∠DCH=6·cos60°=3， DH=CD·sin∠DCH=6·sin60°=3W3, .OH=OB-BC-CH=6√3-6-3=63-9， 点D的坐标为(6√3-9,3√3)， OH C B x 0 图① 图勿 (2)由题意，得BE=EF=6,BF=BD=6√3. ①当点E在OB上方时，如图②，延长AE交BF 于点P AE⊥BF,且BE=EF,P为BF的中点. 在Rt△BPA中，AB=12,BP=2BF=33, ∴.AP=√AB-BP=3√I3, AE=AP-EP=313-3. 当点E在OB下方时，同理可得AE=AP+EP= 3√13+3. 综上，线段AE的长为3√13-3或3√13十3. ②(63+9,6+331 2 27 B组 2.解：(1)如图①，过点A'作A'C⊥OA于点C. 62 A(2,0),B(2,2), .OA=AB=2,∠OAB=90°， ∴.∠AOB=∠ABO=45°， OB=√2AB=2√2. ,△OA'B是由△OAB绕点 B旋转得到的，a=45°， ∴.AB=AB=2,OB=OB=2√2，点A'落在线段 OB上， ∴.0的横坐标为2一2√瓦，纵坐标为2， ∴.0(2-2√2,2)， ∴.OA'=OB-A'B=2√2-2， :0C=CA'=2(22-2)=2-V2, 2 ∴.A'(2-√2,2-√2) 故答案为(2-2√2,2)；(2-√2,2-√2). (2)如图②，连接AA',过点A'作A'D⊥OA 于点D A'B=AB=2, ∠ABA'=a=60°， A .∠A'AB=∠AA'B=60°， AA'=AB=A'B=2, Ax .∠A'A0=90°-60°=30°， 图 .在Rt△A'AD中， AD=AAr=1,AD=9Ar=尽， ∴.OD=OA-AD=2-√3， .A'(2-3,1). (3)如图③，延长OA 到点D,使得A'D= A'O',连接AD,在OA 的延长线上取一点C, 使得AC=OA,取AB 的中点H,AD的中点 图③ P,连接PH,CH,PC,BC,BD,CD,OO ,OA=A'D,OA=AC,BA'⊥OD,BA⊥OC, .∠OBA'=∠A'BD=∠OBA=∠ABC, ∴.∠OBC=∠OBD,∠OBO=∠DBC. .BO'=BO=BD=BC, ∴.△OBO≌△DBC(SAS), .OO=CD,∠BOO=∠BDC=∠BCD, ,∠BCA=∠BOA'=45°， ∴∠OOA'=∠ACD. .A'O'=CA, ∴.△OA'O≌△CAD(SAS) .OM=MA',DP=PA,..O'M=PC. .AP=PD,AH=HB, :PH-BD-BO-2. ,CH=√A+AC=√1+2=√5， PC≥CH-PH, .PC>5-√2， .PC的最小值为5-√2， .OM的最小值为V5-√2. 3.(1)解：如图，过点C作CM y轴于点M 点O(0,0),点A(2,0), 点B(2,23),∠OAB= 90°， .OA=2,AB=2V5, an∠B0A-贺-， ∴.∠BOA=60°，∴.∠MOC=30°， 由旋转得AO=AC,'.△OCA是等边三角形， ÷0C-0A=2,MC-20C-1. 在Rt△OCM中，OM=√OC-MC=√5， .点C的坐标为(1√3) (2)由旋转得OA=AC. ,E是OC的中点，OC=t, OE-0C-AELoC. 在Rt△AOE中，OA=2, AE=A0-0E=√2-（发）=√4- OA-AC≤OC≤OA+AC, .0≤t≤4， AE=√4-0<). C组 4.解：(1)点A(2,0),点B(0,2), ..0A=0B=2, ,△ABO绕点B逆时针旋转90得△A'BO', ∴.BO=OB=2,∠OBO=90°， ∴.0B=OA=2. ∠OB0+∠AOB=180°， .OB∥OA. 又OB=OA, .四边形AOBO是平行四边形， ..AO=OB=2. (2)连接AA',延长AO交A'B于点E,如图① 所示 在Rt△AOB中， AB=√OB+OA-2W2. ,△ABO绕点B逆时针旋转60° 0 得△A'BO', 图① .△A'BO≌△ABO,∠ABA'=60°，A'B=AB 2√2，OB=OB=2,dA'=OA=2, ∴，△ABA'是等边三角形， ..AA'=AB=22. 又OA'=OB, 点O,A在A'B的垂直平分线上， .AO垂直平分A'B, ∴.A'E=BE=√2，∠AEB=90 在Rt△AEB中，AE=√AB-BE=√6， 在R△AO'B中，OE=BE=AE=2A'B=E, ∴.AO=AE-OE=√6-√2. (3)由旋转的性质可知，点O、点A'的运动轨迹为 以B为圆心的圆，连接PA',过点A作AD∥PA 交O'A'的延长线于点D,连接BD. .A'O'=AO=2,BO'=BO=2,BA=22,DA'= OA'-2.PA'-AD. 在Rt△BDO中，BD=√OB2+OD-2V5. 在旋转过程中，∠0BD始终保持不变，且咒 √5也保持不变，则由瓜豆原理可知，点D的运动轨 迹为以点B为圆心的圆，如图②所示： 63 图② 由点到圆周上点的距离关系得到AD的最小值是 DB-BA=2√5-2√2；AD的最大值是DB+ BA=2√5+2√2. A'P-TAD. ∴A'P的最小值是√5-√2：A'P的最大值是5十 √2，即5-√2≤A'P≤5+√2. 5.解：(1)如图①，过点A作AF⊥y轴于点F A(-8,4), 4 ..AF=8,OF=4 :AB=OA,AF⊥y轴， .OF=BF=4. ∴OB=8, 图① ∴.点B的坐标为(0,8)，AF=BO 在Rt△ABF和Rt△BCO中， (AB=BC, AF=BO, ∴.Rt△ABF≌Rt△BCO(HL), ∴.BF=CO=4, .点C的坐标为C(4,0) (2)①如图②，过点P作 PG⊥y轴于点G,过点D作 DH⊥PG,交GP的延长线于 点H, '.∠BGP=∠PHD= 图② ∠BPD=90°， ∴∠BPG+∠DPH=∠DPH+∠PDH=9O°， ∴∠BPG=∠PDH. 由旋转的性质知BP=PD. 在△BGP和△PHD中， ∠BGP=∠PHD, ∠BPG=∠PDH, BP=PD, ∴.△BGP≌△PHD(AAS),∴.BG=PH. 6 设直线BC的解析式为y=kx十b, 4k+b=0, k=一2， 解得 b=8. b=8. .直线BC的解析式为y=一2x十8. 设P(m,-2m十8)， 则PG=m,OG=-2m十8， ∴.BG=8-(-2m+8)=2m, ∴.HG=3m, ∴△B0D的面积S=号OB,GH=号×8X3m 12m. ,P为线段BC上一点，∴.0≤m≤4， ∴.S与m的函数关系式为S-12m,其中0≤m≤4. ②四边形BPED的面积为36：E(号，号)， 第三部分精研“同类好题” 1.解：(1)如图，过点E作EM⊥OB于点M. ,∠EBC=a=30°， 4 EB=CB-2, ÷EM=2EB=l, MB-EB-/5. ∴.OM=4-√3. 在Rt△OEM中， OE=OMP+EMP=20-8√3. (2)由题意可知，点A(2,2√3)，E(5w3), ∴.AE=12. 又AB2=16,BE=4, ∴.AB2=AE+BE, ∴.△AEB为直角三角形，∠AEB=90°， SAa=BE·AE=25. 又Sam=号BF,BEn60'=5, ∴.S四边蒂A8FE=SAAEB十SAEF=3V3. S-BF ABsin 6025, ∴.SAAEF=S四边形ABFE一SAABF=√3. (3)△GBH为等边三角形， 由题意，得EB=FB,OB=AB. 由旋转，得∠EBO=∠FBA. 在△OEB和△AFB中， EB-FB, ∠EBO=∠FBA, OB=AB, ∴.△OEB≌△AFB, ∴.∠EOB=∠FAB,OE=AF. 点G,H分别是OE,AF的中点， ..OG=AH. 在△OGB与△AHB中， OG=AH, ∠GOB=∠HAB, OB=AB, ∴.△OGB≌△AHB, ∴.GB=HB,∠GBO=∠HBA. ∠GBO+∠ABG=60°， .∠GBH=∠ABG+∠HBA=6O°， ∴.△GBH为等边三角形， △BGH面积的取值范围是气<S<y 2.解：(1)如图①，过点O作OH⊥OC于点H. 点O(0,0),点A(4,0), 点C(0,3), .0A=4,OC=3, 0 由题意得OC=OC=3, ∠OCH=30°， 0H=ac 图① 2 ..CH=/0C-0-33 OH=3-33 2 5点0的坐标为（受8-3￥） (2)如图②，过点O作HG∥OA交OC于点H,交 AB于点G, 则∠CHO=∠DGO= 90°，∠DOG=∠A' ,∠A'0'C=90°， ∴.∠HCO+∠HOC= ∠HOC+∠DO'G=90°， 图② ·65 .∠HCO=∠DOG, ∴.∠HCO=∠A', .△CHO∽△A'O'C, 品品器 :HO_3_CH 354 H0=号，cH=号 06=4-号-号 :A'B∥OG,∴.△ABD∽△OGD, 2-DG5一4 腮-8器0 5 1 5 DGAD-DG+OH-DG+OC-CH- 器+3号=是(》 3)E(3 3.解：(1)如图①，设D'C交OC于点E. ,a=45°， ∴∠DOD=∠COC=45°， .∠D'OC=90°-∠DOD'= 45°. :△CDO是等腰直角三角 形，△CD'O由旋转得到， 图① .OD'=OD=2, ∠D'-∠ODC=45°， ∴.∠DEO=180°-∠D'-∠D/OC=90°， 即D'C⊥OC, ∴.△OED是等腰直角三角形. OD⊥OC,∴.D'C'∥OD, 由勾股定理，得OD2=OE+ED. OE=ED',∴OD2=2OE, ∴OE=ED=√2，∴.点D'的坐标为(W2,W2). (2)如图②，过D作D'E⊥OA于点E,作D'F⊥ OB于点F ,旋转角a=60°， .∠BOD'=60°， .∠D'OE=30°. 在Rt△D'OE中， DE=20D'=20D=1, OE=√OD-DE √2-1=√3， ∴.点D的坐标为（√3,1） 图② ,D'F⊥OB,D'E⊥OA,OB⊥OA, ∴.四边形OFDE是矩形， .OF=DE=1,FD'=OE=3, ∴.BF=OB-OF=6-1=5, ∴.BD=√BF+FD=√52+(W3)2=2√7. (3)△ABP面积的最小值为号 25二次函数的综合问题 第一部分通关“中考真题” 1.解：(1)，抛物线y=x2+mx-2m经过点A(1,0), ,.0=1十m一2m,解得m=1. ∴.抛物线的解析式为y=x2十x一2. “y=r+x-2=(+2》'-是， 小顶点P的坐标为（一合一》 (2)抛物线y=x2十mx一2m的顶点P的坐标为 (受m） 由点A(1,0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方， ∠AOP=45°，知点P在第四象限。 如图①，过点P作PQ⊥x轴于点Q,则∠POQ ∠OPQ=45° 可知PQ=OQ,即心十8m=一空，解得m=0, 4 2=-10. 当m=0时，点P不在第四象限，舍去 m=-10. .抛物线的解析式为y=x2一10x十20. 图① 图② ·66 (3)由y=x2十mx一2m=(x-2)m十x2可知， 当x=2时，无论m取何值，y都等于4， 得点H的坐标为(2,4). 如图②，过点A作AD⊥AH,交射线HP于点D, 分别过点D,H作x轴的垂线，垂足分别为点E, G,则∠DEA=∠AGH=90°. '∠DAH=90°，∠AHD=45°， ∠ADH=45°，.AH=AD :∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°， ∴·∠DAE=∠AHG,∴.△ADE≌△HAG, ∴.DE=AG=1,AE=HG=4, 可得点D的坐标为(-3,1)或(5，一1). ①当点D的坐标为（一3,1）时， 可得直线DH的解析式为y一号x+兰 “点P(-受-8）)在直线y=号+普上， -m8m=号×(-）)+ 4 解得m=一4，网=一兰 当m=一4时，点P与点H重合，不符合题意，舍 去心m=- 5 ②当点D的坐标为(5，一1)时， 可得直线DH的解析式为y=一号z+号 3 :点P(-受，-m牛8m)在直线y=- 4 3x+ 4-m牛8m=-号×(-》+号 解得m1=二4（舍），m:=一3.·m二-22 31 综上所述，m=-14或m=-2 6 31 故指物线的解析式为y一一兰x十得或y一 22144 3x+3 2.解：(1)，抛物线y=x2-bx十c经过点A(-1,0), .1+b十c=0,即c=-b-1. 当b=2时，y=x2-2x-3=(x-1)3-4, .抛物线的顶点坐标为(1，一4).