精品解析：湖南省湘潭市湘乡市东皋学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

东皋学校2025年下学期九年级开学质量检测 数学试题 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的） 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 一个角的补角一定大于这个角 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 一个角的余角一定小于这个角 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，-n）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列关系式中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了了解七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图．请根据图示计算仰卧起坐次数在15～20次之间的频数是(　 　) A. 3 B. 5 C. 10 D. 12 7. 在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则平行四边形ABCD中较小内角是（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 8. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒个单位长度的速度沿循环爬行，则第秒瓢虫所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为____米． 12. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是______． 13. 在平面直角坐标系下，将点向上平移3个单位，对应的点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为______． 14. 长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为______． 15. 一个样本容量为80的样本，最大值是137，最小值是67，取组距为10，则可分________ 组． 16. 铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g． 17. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是_______． 18. 如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的处．若∠DAB=56°，则的度数为__________________． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点的对应点分别为点）． （1）直接写出点的坐标 （2）求出的面积． 20. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形． 21. 已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且． （1）直接写出与的数量关系； （2）判断线段与的数量关系，并证明． 22. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ． （1）求证：四边形BPEQ是菱形； （2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长． 23. 在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 24. 某学校在本学期开展数学拓展活动，为了解开展数学拓展活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展数学拓展活动初期的学习质量测评，第二次是开展数学拓展活动个月后的学习质量测评．根据测评的数学成绩制作了第一次测评的数学成绩频数分布直方图（如图，每一组包括左边端点，不包括右边端点）和第二次测评的数学成绩频数分布表（如表）． 第二次测评的数学成绩频数分布表： 成绩 频数 根据以上图表信息，完成下列问题： 第一次测评的数学成绩频数分布直方图 （1）______； （2）若分及以上为优秀． ①开展数学拓展活动个月后，请估计该校名七年级学生数学成绩优秀的人数； ②请分别计算两次测评数学成绩的优秀率，并对开展数学拓展活动的效果进行分析． 25. 如图，直线交两坐标轴于点． （1）求直线的解析式； （2）点的坐标为，连接．证明：，且线段； （3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 26. 如图，一次函数的图象与轴的交点为，且经过点，点位于第一象限． （1）若点的坐标为，求一次函数的解析式； （2）若点的坐标为，设为射线上的一点，且，用含的代数式表示点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东皋学校2025年下学期九年级开学质量检测 数学试题 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的） 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 一个角的补角一定大于这个角 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 一个角的余角一定小于这个角 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，补角、余角的定义以及直角三角形的性质，依次判断即可求解， 本题考查了绝对值，补角，余角以及直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】、如果，那么，该选项错误，不符合题意， 、两个互补的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意， 、直角三角形的两个锐角互余，该选项正确，符合题意， 、两个互余的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意， 故选：． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形,是中心对称图形，故B选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 3. 一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】设该正多边形的一个外角为x，根据正多边形的外角与相邻内角互补列方程求解x，再根据正多边形的外角相等且外角和为360°即可求解． 【详解】解：设该正多边形的一个外角为x， 根据题意，得， 解得：， ∴这个多边形的边数为， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的外角和和内角和，熟知正多边形的外角和相邻内角互补是解答的关键． 4. 若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，-n）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征：横、纵坐标均为负数，即可求出m和n的取值范围，从而判断点B所在象限． 【详解】解：∵点A（m，n）在第三象限， ∴m＜0，n＜0 ∴|m|＞0，-n>0 ∴点B（|m|，-n）所在的象限是第一象限 故选A． 【点睛】本题考查了判断点所在的象限，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 5. 下列关系式中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断. 【详解】解：A、，y是x的函数； B、，y是x的函数； C、，y是x的函数； D、，当x=2时，y=±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应， ∴y不是x的函数. 故选：D. 【点睛】本题考查的是函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数. 6. 某校为了了解七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图．请根据图示计算仰卧起坐次数在15～20次之间的频数是(　 　) A. 3 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】结合频数分布直方图直接求解即可． 【详解】仰卧起坐次数在15～20次的频数是3， 故选A． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力． 7. 在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则平行四边形ABCD中较小内角是（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等、邻边互补可求得平行四边形的每个内角的度数，可求得答案． 【详解】解：不妨设∠A：∠B=5：1，即∠A=5∠B， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°， ∴6∠B=180°， ∴∠B=30°， ∴∠A=150°， ∴▱ABCD中较小内角为30°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 9. 如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒个单位长度的速度沿循环爬行，则第秒瓢虫所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的坐标求得的长度为2，根据等边三角形的性质求得的周长为6，根据路程等于速度乘以时间，可得2022秒可得点瓢虫的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 秒走过的路程为：， 的周长为，， ∴第秒瓢虫所在的位置是． 故选D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、平面直角坐标系中的规律问题、一元一次方程的实际应用以，灵活运用相关知识点是解决问题的关键． 10. 为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为，得，且，根据三个阶段的速度进行判断得到答案． 【详解】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段 设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为 得，且 ∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合 ∴A正确 ∵B的图像没有停工期 ∴B错误 ∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合 ∴C、D错误 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识． 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为____米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为18米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为18米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：6． 12. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、勾股定理、实数与数轴，先求出，再由勾股定理得出，再根据数轴上两点之间的距离计算即可得出答案． 【详解】解：数轴上的点表示的数是，点表示的数是1， , 以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， 数轴上点表示的数是， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系下，将点向上平移3个单位，对应的点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的规律可得到点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征可得到点的坐标． 【详解】解：将点向上平移3个单位，对应的点为， ， 点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移、关于原点对称的点的坐标，坐标的平移规律为：横坐标，右移加，左移减，纵坐标，上移加，下移减；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14. 长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列函数表达式，根据长方形的面积等于两条邻边的乘积，列出关系式即可． 【详解】解：由题意，得：长方形的另一条边长为：， ∴； 故答案为：． 15. 一个样本容量为80的样本，最大值是137，最小值是67，取组距为10，则可分________ 组． 【答案】7 【解析】 【分析】根据组数＝（最大值－最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】在样本数据中最大值为137，最小值为67，它们的差是137－67＝70，已知组距为10，那么由于70÷10＝7，故可以分成7组． 故答案为7． 【点睛】本题主要考查的是组数的计算，属于基础题，熟练掌握组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”是本题的解题关键. 16. 铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g． 【答案】79 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 将代入求出对应m的值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：79． 17. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握利用图象法求不等式解集是解题的关键．根据两直线交点的坐标，利用图象法得出不等式的解集即可． 【详解】解：由图可知，一次函数与的图象交于点， 要使不等式，一次函数图象应在图象上方， 解集为， 故答案为：． 18. 如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的处．若∠DAB=56°，则的度数为__________________． 【答案】96° 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出∠DAB=∠DCB=56°，∠B=124°，再利用翻折的性质和三角形的外角性质解答即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°， ∴∠B=124°，∠CAB=28°， ∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处， ∴∠CB'E=∠B=124°， ∴∠AEB'=∠CB'E -∠CAB =124°-28°=96°， 故答案为：96°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的外角性质，折叠的性质，掌握折叠的性质“折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等”是解题的关键． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点的对应点分别为点）． （1）直接写出点的坐标 （2）求出的面积． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】本题考查平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）根据平移方式可得出点，的坐标； （2）用长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 由平移方式可知，的坐标为，即， 的坐标为，即； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵BE∥DF， ∴∠BEO＝∠DFO， 在△BEO与△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（ASA）， ∴EO＝FO， ∵AE＝CF， ∴AE+EO＝CF+FO， 即AO＝CO， ∵BO＝DO， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 21. 已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且． （1）直接写出与的数量关系； （2）判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） ，证明： 过点P作于点E，作于点F． ∵，， ∴． ∵OM是的平分线， ∴． ∵四边形PFOE中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴≌， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用四边形内角和求出结果； （2）过点P作于点E，作于点F，根据角平分线的性质得到，根据，，得到，得到≌，即可求出结果； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 22. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ． （1）求证：四边形BPEQ是菱形； （2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长． 【答案】（1）见解析；（2）25. 【解析】 【详解】分析：（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得AE的长，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，由勾股定理可求得y的值，即可得到结论． 详解：（1）∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO， 在△BOQ与△EOP中． ∵∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB， ∴△BOQ≌△EOP（ASA）， ∴PE=QB， 又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形， 又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形； （2）∵O，F分别为PQ，AB的中点，OF=4 ∴AE=8， 设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，62+（8-y）2=y2，解得：y=， ∴菱形BPEQ的周长=25． 点睛：本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 23. 在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 【答案】（1） （2）当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式； （2）根据其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 【小问1详解】 由题意可得， ， 即y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍， ∴， 解得，， ∵， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为， ， 即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 24. 某学校在本学期开展数学拓展活动，为了解开展数学拓展活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展数学拓展活动初期的学习质量测评，第二次是开展数学拓展活动个月后的学习质量测评．根据测评的数学成绩制作了第一次测评的数学成绩频数分布直方图（如图，每一组包括左边端点，不包括右边端点）和第二次测评的数学成绩频数分布表（如表）． 第二次测评的数学成绩频数分布表： 成绩 频数 根据以上图表信息，完成下列问题： 第一次测评的数学成绩频数分布直方图 （1）______； （2）若分及以上为优秀． ①开展数学拓展活动个月后，请估计该校名七年级学生数学成绩优秀的人数； ②请分别计算两次测评数学成绩的优秀率，并对开展数学拓展活动的效果进行分析． 【答案】（1）；（2）①280；②第一次的优秀率为，第二次的优秀率为，开展数学拓展活动对学生的学习质量有提升作用 【解析】 【分析】（1）由第一次测评的数学成绩频数分布直方图求出参与总人数为：50人，根据两次开展数学拓展活动的人数相同，即可求出； （2）①根据第二次测评的数学成绩频数分布表，得出分及以上人数，即可求出优秀率，再利用样本估计总体的思想求解； ②根据第一次测评的数学成绩频数分布直方图，得出分及以上人数，即可求出优秀率，比较两次优秀率的大小，即可对开展数学拓展活动的效果进行分析． 【详解】解：（1）由第一次测评的数学成绩频数分布直方图可知参与总人数为： （人）， 根据两次开展数学拓展活动的人数相同， ， 故答案是：； （2）①根据第二次测评的数学成绩频数分布表， 可知分及以上人数为：（人）， 优秀率为：， 该校名七年级学生数学成绩优秀的人数为：（人）； ②根据第一次测评的数学成绩频数分布直方图， 可知分及以上人数为：（人）， 优秀率为：， 由（2）①得第二次测评的数学成绩优秀率为：， ， 开展数学拓展活动对学生的学习质量有提升作用． 【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是从图表中获取信息进行求解． 25. 如图，直线交两坐标轴于点． （1）求直线的解析式； （2）点的坐标为，连接．证明：，且线段； （3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） 方法一：如图1，过点作轴于． 可得与都是Rt． ， ． ． ． ，即． 方法二：如图2，连接． ， ； ． ． 是等腰直角三角形． ，且． 方法三：由方法一可知：． 设直线的解析式为，可得 直线的解析式为． 又直线与的解析式的一次项系数的积． ． （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可求解； （2）如图，过点，作轴于， （3）根据一次函数的平移可得的解析式为，即可求解． 【小问1详解】 直线经过点， ．解得． 直线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：如图3． 四边形为正方形， ． 将点向右平移4个单位， 再向下平移3个单位 可得到点． 将同样平移 可得点． 也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标． 方法二：如图4．四边形为正方形． ． 直线的解析式为． 设直线的解析式为． 又直线经过点． ． 直线的解析式为． 同理可得，直线的解析式为． 点是直线与直线的交点， 有解得点． 也可以用类似的垂直法得出点的坐标． 方法三：如图5．连接，两线交于点 四边形为正方形． 点是的中点，也是的中点． ， 点． 即点． 又点． 方法四：如图6．过点作轴于点． 可证得Rt． 得到． ． 点在轴的正半轴． 点在第四象限． 点． 【点睛】本题考查一次函数的综合运用．待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，两直线平行、垂直、交点坐标等知识． 26. 如图，一次函数的图象与轴的交点为，且经过点，点位于第一象限． （1）若点的坐标为，求一次函数的解析式； （2）若点的坐标为，设为射线上的一点，且，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式． （1）分别将，代入计算即可； （2）先求出直线解析式为，设，由两点间的距离公式得：，，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 分别将，代入得： 解得：， ∴， 设， 由两点间的距离公式得：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $