专题01 集合的概念11种常见考法归类讲义-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题01 集合的概念11种常见考法归类（58题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 由集合相等求参数 考点八 用列举法表示集合 考点九 用描述法表示集合 考点十 集合表示法的综合应用 考点十一 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 解题策略 1.三方面理解集合的含义 注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合． 2.判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 图示如下： 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为： 3.集合中元素的特性及应用 集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．4、元素与集合的关系解读 5、N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 6、判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 7.已知元素与集合的关系求参数 首先，明确元素与集合的从属关系，将元素代入集合对应的表达式或关系式中。比如元素属于某方程构成的集合，就把元素代入方程；属于某不等式构成的集合，就代入不等式。​ 其次，根据代入后得到的等式或不等式，求解参数的可能取值。过程中要留意集合元素的特性，如确定性、互异性等，必要时对参数取值进行初步筛选。​ 最后，将求出的参数值代入原集合进行检验，确保元素确实属于该集合，且集合满足元素互异性等要求，排除不符合条件的参数值，得到最终结果。 8.利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 9.判断集合中元素的个数，可按以下策略进行：​ 首先，对集合进行化简，明确元素的具体形式和限定条件。比如处理含根式、分式或不等式的集合，通过化简转化为更直观的表达式，便于分析元素构成。​ 其次，根据集合类型选择合适方法。对于有限集，若元素可列举，直接列举后计数；若涉及实数运算组合（如两个集合元素的运算结果），需列出所有可能结果，去除重复元素后计数。​ 若集合含参数或为无限集，需分类讨论参数取值对元素范围的影响，分析元素满足条件的情况，确定不同情形下的元素个数。同时，注意结合集合元素的互异性，避免重复计数。 10.根据集合元素个数求参数 根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。 注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解. 11.由集合相等求参数 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 12. 列举法表示集合的种类 (1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}． 13.列举法表示集合的步骤及注意点 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 注意点： 二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 14.描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素． (2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． (5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 15.描述法表示集合的2个步骤 16.集合的三种表示方法特点 17.选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 18.集合表示法的综合应用 解决集合表示法的综合应用问题，可遵循以下策略：​ 首先，精准剖析集合的代表元素及其属性。像方程解集这类集合，其元素是方程的根，由此能将集合问题转化为方程问题，比如判断元素个数可转化为判断方程根的个数。​ 其次，妥善处理含参数的情况。对于含参数的方程，要依据参数的不同取值分类讨论，比如方程是一次还是二次，这会影响根的个数和求解方式。同时，求出参数后，需验证是否满足集合元素的特性，如互异性等。​ 再者，深入理解并运用新定义或给定规则。当集合涉及新的定义或运算规则时，要准确把握其含义，将其转化为熟悉的集合知识进行处理，通过逐步推导和验证来解决问题。 19.集合的新定义 先仔细阅读新定义，理解其内涵和规则，将新定义转化为已学的集合知识。结合具体问题，运用新规则分析集合关系或元素特征，通过实例验证逻辑，进而求解问题。 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 1．【多选】（25-26高一·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 2．（2025高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 3．（2025高一·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 4．（2025高一·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 5．（2025高一·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 （2） 判断是否为同一集合 6．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 7．（2025高一·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 8．（2025高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 9．（2025高一·全国·课堂例题）集合与是否为相等集合？ 10．【多选】（2025高一·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 判断元素与集合的关系 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 14．（2025高二·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025高一·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 已知元素与集合的关系求参数 16．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 17．（25-26高一·福建龙岩·开学考试）若，则 . 18．（2025高一·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 19．（25-26高一·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 20．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 考点四 集合元素互异性的应用 21．（25-26高一·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是 ． 22．（2025高一·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2025高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或B．且C．或 D．且 24．（2025高一·全国·专题练习）数集中的x不能取的数值的集合是（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 考点五 判断集合中元素的个数 26．（2025高一·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（2025高一·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 28．（2025高一·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2025高二·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 30．（2025高三·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点六 根据集合元素个数求参数 31．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 32．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 34．（2025高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 35．（2025高一·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 考点七 由集合相等求参数 36．（2025高一·上海奉贤·期中），则 ． 37．（2025高一·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 38．（2025高一·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 39．（2025高一·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 40．（2025高一·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 考点八 用列举法表示集合 41．（25-26高一·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 42．（25-26高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 43．（25-26高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 44．（2025高一·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 45．（2025高一·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 考点九 用描述法表示集合 46．（25-26高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 47．（25-26高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 48．（25-26高一·上海·假期作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 49．（2025高一·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 50．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 考点十 集合表示法的综合应用 51．（2025高一·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 52．（2025高一·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 53．（2025高一·上海青浦·阶段练习）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 54．（2025高一·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 55．（2025高一·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 考点十一 集合的新定义题 56．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）对于集合，，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 57．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 58．【多选】（2025高一·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 $$2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题01 集合的概念11种常见考法归类（58题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 由集合相等求参数 考点八 用列举法表示集合 考点九 用描述法表示集合 考点十 集合表示法的综合应用 考点十一 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 解题策略 1.三方面理解集合的含义 注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合． 2.判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 图示如下： 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为： 3.集合中元素的特性及应用 集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． 4、元素与集合的关系解读 5、N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 6、判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 7.已知元素与集合的关系求参数 首先，明确元素与集合的从属关系，将元素代入集合对应的表达式或关系式中。比如元素属于某方程构成的集合，就把元素代入方程；属于某不等式构成的集合，就代入不等式。​ 其次，根据代入后得到的等式或不等式，求解参数的可能取值。过程中要留意集合元素的特性，如确定性、互异性等，必要时对参数取值进行初步筛选。​ 最后，将求出的参数值代入原集合进行检验，确保元素确实属于该集合，且集合满足元素互异性等要求，排除不符合条件的参数值，得到最终结果。 8.利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 9.判断集合中元素的个数，可按以下策略进行：​ 首先，对集合进行化简，明确元素的具体形式和限定条件。比如处理含根式、分式或不等式的集合，通过化简转化为更直观的表达式，便于分析元素构成。​ 其次，根据集合类型选择合适方法。对于有限集，若元素可列举，直接列举后计数；若涉及实数运算组合（如两个集合元素的运算结果），需列出所有可能结果，去除重复元素后计数。​ 若集合含参数或为无限集，需分类讨论参数取值对元素范围的影响，分析元素满足条件的情况，确定不同情形下的元素个数。同时，注意结合集合元素的互异性，避免重复计数。 10.根据集合元素个数求参数 根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。 注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解. 11.由集合相等求参数 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 12. 列举法表示集合的种类 (1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}． 13.列举法表示集合的步骤及注意点 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 注意点： 二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 14.描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素． (2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． (5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 15.描述法表示集合的2个步骤 16.集合的三种表示方法特点 17.选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 18.集合表示法的综合应用 解决集合表示法的综合应用问题，可遵循以下策略：​ 首先，精准剖析集合的代表元素及其属性。像方程解集这类集合，其元素是方程的根，由此能将集合问题转化为方程问题，比如判断元素个数可转化为判断方程根的个数。​ 其次，妥善处理含参数的情况。对于含参数的方程，要依据参数的不同取值分类讨论，比如方程是一次还是二次，这会影响根的个数和求解方式。同时，求出参数后，需验证是否满足集合元素的特性，如互异性等。​ 再者，深入理解并运用新定义或给定规则。当集合涉及新的定义或运算规则时，要准确把握其含义，将其转化为熟悉的集合知识进行处理，通过逐步推导和验证来解决问题。 19.集合的新定义 先仔细阅读新定义，理解其内涵和规则，将新定义转化为已学的集合知识。结合具体问题，运用新规则分析集合关系或元素特征，通过实例验证逻辑，进而求解问题。 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 1．【多选】（25-26高一·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解析】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. 2．（2025高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【解析】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 3．（2025高一·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断. 【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 4．（2025高一·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【解析】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 5．（2025高一·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【解析】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. （2） 判断是否为同一集合 6．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【解析】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，集合与的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确； 对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误； 对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误． 故选：B． 7．（2025高一·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【解析】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 8．（2025高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 【答案】答案见解析 【解析】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合． 9．（2025高一·全国·课堂例题）集合与是否为相等集合？ 【答案】否． 【解析】否，因为所表示的点集的坐标不同. 10．【多选】（2025高一·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【解析】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 考点二 判断元素与集合的关系 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【解析】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 12．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【解析】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 故选：B. 13．（25-26高一·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 【答案】 【分析】利用特殊数集的定义以及元素与集合的关系即可求解. 【解析】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. 14．（2025高二·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系判断各个选项； 【解析】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 15．（2025高一·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【解析】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 考点三 已知元素与集合的关系求参数 16．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【解析】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 17．（25-26高一·福建龙岩·开学考试）若，则 . 【答案】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【解析】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 18．（2025高一·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【解析】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 19．（25-26高一·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【解析】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 20．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【解析】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 考点四 集合元素互异性的应用 21．（25-26高一·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性，可求解. 【解析】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为： 22．（2025高一·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【解析】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 23．（2025高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或B．且C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性，即可求解. 【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 24．（2025高一·全国·专题练习）数集中的x不能取的数值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质列出关于x的不等式，解之即可得到x不能取的数值的集合． 【解析】由解得；由解得． ∴x不能取的值的集合为． 故选：C． 25．（2025高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可. 【解析】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的． 若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时． 若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时． 综上，或． 故答案为：（或） 考点五 判断集合中元素的个数 26．（2025高一·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【解析】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 27．（2025高一·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【解析】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 28．（2025高一·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【解析】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 29．（2025高二·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【解析】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 30．（2025高三·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算可求得，可得结论. 【解析】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 考点六 根据集合元素个数求参数 31．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【解析】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 32．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【解析】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 33．（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 【答案】 【分析】当时，验证是否满足题意，当时，由即可求解. 【解析】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 故答案为：. 34．（2025高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【解析】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 35．（2025高一·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【解析】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 考点七 由集合相等求参数 36．（2025高一·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【解析】因为，所以. 故答案为：0. 37．（2025高一·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【解析】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 38．（2025高一·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【解析】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 39．（2025高一·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 40．（2025高一·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【解析】因为，则，所以. 故答案为：. 考点八 用列举法表示集合 41．（25-26高一·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果. 【解析】因为，且，所以，则，故或7，所以． 故答案为：. 42．（25-26高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 43．（25-26高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【解析】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 44．（2025高一·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【解析】（1）由可得：，所以. （2）. （3）. 45．（2025高一·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【解析】. 故答案为： 考点九 用描述法表示集合 46．（25-26高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【解析】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 47．（25-26高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）用集合的描述法来表示即可. 【解析】（1）被5除余3的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是. 48．（25-26高一·上海·假期作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1)，且 (2)且 【分析】（1）先考虑被3除余2的正整数用表示，再考虑正整数及1000以内这两个限制条件，用描述法表示即可； （2）先考虑平面直角坐标系中第二象限内的点的特点是，再考虑集合是点集，用描述法表示即可． 【解析】（1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为，且； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合且． 49．（2025高一·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【解析】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 50．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【解析】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 考点十 集合表示法的综合应用 51．（2025高一·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【解析】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 52．（2025高一·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 【答案】(1) (2)存在，； (3)答案见解析 【分析】（1）令，解方程组，即可求出； （2）将代入，得到，求使方程无解即； （3）由（2）知，，得，求出使得为正整数的，再求出对应的即可. 【解析】（1）当时，方程组为，解得，所以. （2）将代入，得，整理得， 当时，方程无解，即. （3）由，则， 由（2）知，，得， 因为为正整数，所以为正整数，解得或或， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 53．（2025高一·上海青浦·阶段练习）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）当时求出，当时利用韦达定理计算可得； （2）首先可得，再分析方程的解，当时求出，当时分为方程的解和不是方程的解两种情况讨论. 【解析】（1）因为且为非空集合， 对于方程， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 此时集合中所有元素之和； 综上可得集合中所有元素之和或； （2）因为， 由，则或， 对于，解得，所以； 对于， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 若为方程的解，则，此时方程的两根为和， 此时，则集合中所有元素之和； 若不为方程的解，即， 此时集合中所有元素之和； 综上可得：集合中所有元素之和或或. 54．（2025高一·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【解析】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 55．（2025高一·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，，从而可得，再分别求出的最小值，即可求解. 【解析】（1）根据题意可得，, 所以. （2）令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 考点十一 集合的新定义题 56．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）对于集合，，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合新定义进行判断即可. 【解析】根据差集的定义知表示中独有元素，表示中独有元素， 则，故A，B正确，C，D不正确． 故选：AB. 57．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和. 【解析】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 58．【多选】（2025高一·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【解析】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. $$