第五章 平行四边形（知识清单）数学鲁教版五四制八年级上册

第五章 平行四边形 1、平行四边形的概念 两组对边分别 的四边形是平行四边形 概念既可以作为平行四边形的 用，也可以作为 用 2、平行四边形的性质 ①平行四边形是 图形， 是它的对称中心 ②平行四边形的对边 ③平行四边形的对角 ④平行四边形的对角线 3、两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 不能找到便于计算的点 4、平行四边形的判定 ①两组对边分别 的四边形是平行四边形 ②一组对边 的四边形是平行四边形。 ③对角线 的四边形是平行四边形。 5、三角形的中位线定理 三角形的中位线 ，且等于 。 6、多边形的内角和与外角和 ①n边形的内角和等于 ②多边形的外角和都等于 7、平面图形的镶嵌 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌平面镶嵌在同一顶点处的各角之和必须 1、 平行四边形的判断 易错点：学生易混淆判定定理，仅凭“一组对边相等”或“一组对角相等”就误判为平行四边形，忽略条件完整性。 注意事项：必须严格依据定义与定理（如两组对边分别平行/相等、对角线互相平分），通常需至少两个条件，证明时需逻辑清晰、步骤完整。 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 2．（24-25八年级下·北京·阶段练习）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 2、 平行四边形的个数问题 易错点：容易重复计数或遗漏特殊位置的平行四边形（如倾斜的），缺乏分类讨论思想。 注意事项：需按一定顺序（如按对角线、按边长）分类枚举，结合对称性简化计算，避免无序寻找。 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 9．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 三、三角形中位线的性质 易错点：混淆中位线与中线，误用其性质（如认为中位线等于第三边的一半或平行于第三边但方向相反）。 注意事项：牢记中位线平行于第三边且等于其一半，使用时需先确认两个中点条件，避免在非三角形或错误图形中应用。 11．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 12．（24-25九年级下·四川眉山·开学考试）在中，，点D，E，F分别为边的中点，则的周长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．16 13．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，已知是的中位线，为上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 15．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为 ． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是 ． 四、多边形内角和的计算 易错点：记错公式（如误用(n-2)×180°为n×180°或漏掉括号），或计算时漏算、多算边数。 注意事项：熟记公式(n-2)×180°，计算时先明确边数n，代入后仔细计算，尤其注意正多边形每个内角的求法（除以n）。 17．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）下列多边形中，内角和等于的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在五边形中，，直线与五边形的边分别相交于点则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·福建宁德·期末）随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 21．（2025·陕西榆林·一模）在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ． 五、用平行四边形性质求解 易错点：直接使用对边相等、对角相等等性质而未先证明四边形为平行四边形，导致逻辑错误。 注意事项：先依据判定定理证明其为平行四边形，再应用性质解题；注意区分性质与判定的逆用，避免循环论证。 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·重庆·期中）在平行四边形中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）在中，，则的度数为（　　） A． B． C．60° D． 25．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，则的周长为 ． 27．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 28．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，平分交边于，则长为 ． 29．（19-20八年级·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于点，AF⊥CD于点，若∠EAF =58°，则∠BAD＝ ． 30．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 重难点01 平行四边形性质与判定的综合问题 31．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，沿方向向左平移得到，A，C对应点分别是D，E．F是线段上的一个动点（点F不与B，E重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当点F与点C重合时，求的长． (2)如图，连接，．在点F的运动过程中： ①和是否总是相等？若是，请证明：若不是，请说明理由． ②当为等腰三角形时，直接写出的长． 32．（24-25八年级下·山西运城·期末）综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 33．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，，，，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 34．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 35．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： (1)操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． (2)探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． (3)拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 重难点02 多边形内角和的综合问题 36．（2019·浙江·三模）如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角． （1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为 ． （2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数 ．（写出一种即可） 37．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题呈现】 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点落在边上的点处，连接．（点的对应点分别是点） 【初步发现】 （1）如图1，五边形的内角和的度数为__________°，外角和的度数为__________°； 【求知探究】 （2）求证：平分； 【拓展延伸】 （3）如图2，，，当三点在同一条直线上时，求的面积． 38．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）已知在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 39．（19-20七年级下·河北保定·期末）在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）． 40．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 重难点03 平面镶嵌问题 41．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 42．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． (1)如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，同理．再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 ． (2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示．全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜50元；用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元． 43．（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 44．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 45．（23-24八年级上·福建厦门·期末）用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 46．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． ． 九、附加 47．（23-24七年级下·浙江金华·期中）平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 48．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 试卷第2页，共57页 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平行四边形 1、平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 概念既可以作为平行四边形的性质用，也可以作为判定用 2、平行四边形的性质 ①平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 ②平行四边形的对边相等 ③平行四边形的对角相等 ④平行四边形的对角线互相平分 3、两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 4、平行四边形的判定 ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 6、多边形的内角和与外角和 ①n边形的内角和等于（n-2）·180° ②多边形的外角和都等于360° 7、平面图形的镶嵌 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌平面镶嵌在同一顶点处的各角之和必须等于  1、 平行四边形的判断 易错点：学生易混淆判定定理，仅凭“一组对边相等”或“一组对角相等”就误判为平行四边形，忽略条件完整性。 注意事项：必须严格依据定义与定理（如两组对边分别平行/相等、对角线互相平分），通常需至少两个条件，证明时需逻辑清晰、步骤完整。 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故本选项符合题意； C．两组对边分别平行是平行四边形，故本选项不符合题意； D．一组对边平行且相等是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京·阶段练习）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意． 故选：D ． 3．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，据此结合题意逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； C、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； 故选：A． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的定义确定四个顶点即可． 【详解】解：因为只有②④两块角的两边互相平行，角的两边得延长线的交点就是平行四边形的顶点， 所以带②④两块玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【详解】解：A、， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， 不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 2、 平行四边形的个数问题 易错点：容易重复计数或遗漏特殊位置的平行四边形（如倾斜的），缺乏分类讨论思想。 注意事项：需按一定顺序（如按对角线、按边长）分类枚举，结合对称性简化计算，避免无序寻找。 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 9．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 三、三角形中位线的性质 易错点：混淆中位线与中线，误用其性质（如认为中位线等于第三边的一半或平行于第三边但方向相反）。 注意事项：牢记中位线平行于第三边且等于其一半，使用时需先确认两个中点条件，避免在非三角形或错误图形中应用。 11．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，直接得出中位线与第三边的数量关系，进而求解．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 12．（24-25九年级下·四川眉山·开学考试）在中，，点D，E，F分别为边的中点，则的周长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出的周长的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别为各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长． 故选：A． 13．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，已知是的中位线，为上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据中位线得到，求出． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 由三角形中位线定理推出，，，即可求解． 【详解】解：∵点为边的中点，点为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 ． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，根据三角形中位线定理求出、，根据平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，计算即可． 【详解】解：、分别是、的中点，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 四、多边形内角和的计算 易错点：记错公式（如误用(n-2)×180°为n×180°或漏掉括号），或计算时漏算、多算边数。 注意事项：熟记公式(n-2)×180°，计算时先明确边数n，代入后仔细计算，尤其注意正多边形每个内角的求法（除以n）。 17．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）下列多边形中，内角和等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式是解题的关键．根据n边形内角和公式分别求解后，即可得到答案． 【详解】解：A、三角形内角和是，故选项不符合题意； B、四边形内角和为，故选项符合题意； C、五边形内角和为，故选项不符合题意； D、六边形内角和为，故选项不符合题意． 故选：B． 18．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在五边形中，，直线与五边形的边分别相交于点则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角，对顶角等知识，熟练掌握以上知识点是关键．根据正五边形的性质和多边形内角和定理求出，根据四边形内角和是求出，然后根据邻补角定义和对顶角性质求解即可． 【详解】解：由正五边形性质可知， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 19．（24-25八年级下·福建宁德·期末）随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角和公式，正多边形的内角，掌握知识点是解题的关键． 关键正多边形的内角和公式，正多边形的内角计算，即可解答． 【详解】解：正八边形每个内角为． 故选C． 20．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和，设这个多边形的边数为，根据多边形内角和建立方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：． 故答案为：8． 21．（2025·陕西榆林·一模）在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，正多边形的每个内角相等是解答． 先求出正九边形的内角和，再利用正九边形的九个内角相等来求解． 【详解】解：正九边形的内角和为：． 又正九边形的九个内角都相等， ． 故答案为：． 五、用平行四边形性质求解 易错点：直接使用对边相等、对角相等等性质而未先证明四边形为平行四边形，导致逻辑错误。 注意事项：先依据判定定理证明其为平行四边形，再应用性质解题；注意区分性质与判定的逆用，避免循环论证。 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．平行四边形邻角互补，据此解答即可． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∵， ． 故选：C． 23．（24-25八年级下·重庆·期中）在平行四边形中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对角相等的性质． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等，即．已知，因此． 故选C． 24．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）在中，，则的度数为（　　） A． B． C．60° D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形性质求解，根据平行四边形对角相等直接求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ， 故选：D． 25．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案. 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B. 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：24． 27．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 28．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，平分交边于，则长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，角平分线的定义，得出，再求出，进而根据和差即可得出答案． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 29．（19-20八年级·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于点，AF⊥CD于点，若∠EAF =58°，则∠BAD＝ ． 【答案】 【分析】由垂直的性质和四边形的内角和为360°可求出∠C，利用平行四边形的性质即可求得∠BAD的度数． 【详解】∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠C=360°-90°-90°-58°=122°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠C=122°， 故答案为：122°； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，垂直的性质，利用四边形内角和定理求得∠C的度数是解题的关键． 30．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质； （1）根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论； （2）根据平行四边形的性质求出，然后即可计算的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，； （2）由题意得， 由（1）知，， ∴， ∴的周长为：． 重难点01 平行四边形性质与判定的综合问题 31．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，沿方向向左平移得到，A，C对应点分别是D，E．F是线段上的一个动点（点F不与B，E重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当点F与点C重合时，求的长． (2)如图，连接，．在点F的运动过程中： ①和是否总是相等？若是，请证明：若不是，请说明理由． ②当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①和总相等，详见解析；②14或11或8 【分析】（1）根据平移的性质可得四边形、四边形是平行四边形，再由已知推导出是的平分线，由等腰三角形的性质可得，过点作交于点，求出，再由等面积法求出的长即可得到答案，所以； （2）①证明，则可证明； ②过点作交于，由等积法可得，求出，分三种情况讨论：当时，；当点与点重合时，，此时，当时，，在中，，可得；当时，，过点作交于，所以，能求出，，则；当时，，当点在上时，，此时点与点重合，此时． 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 由平移可知，，， 四边形、四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， 如图1，过点作交于点，设交于M， ， ， ， ∵， ∴， ； （2）解：①，证明如下： 如图2，，，， ， ； ②如图2，过点作交于， 由①可知， ， 当时， ， ， ， ， 当时，，在中，， ； 当时，， ， ， 过点作交于， ， ，， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， 当点在上时，，此时点与点重合， ； 综上所述：的长为14或11或8． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，平行四边形的性质与判定，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 32．（24-25八年级下·山西运城·期末）综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到； （2）根据全等三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴，C，B三点共线， 过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴C，B，三点共线， ∴过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 33．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，，，，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为． 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）设，则，，根据勾股定理求得，进而根据，即可求解； （2）延长、交于点，通过证明及即可证明； （3）过点作延长交于点，过点作交于点，连接，得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据，作于点，根据勾股定理求得，即可得的最小值． 【详解】（1）解：设， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． （2）证明：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图3-1，过点作延长交于点，过点作交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，， 如图，当点、、共线时，取得最小值，最小值为， 又∵中，，， ∴， ∵， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的最小值为． 34．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；理由见解析 (3) 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【详解】（1）解：解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 35．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： (1)操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． (2)探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． (3)拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由翻折的性质得出，，由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出． （2）同（1）过程一致． （3）先得出，平移平移到，则，证明点C，B，G三点共线，进而可得出，再得出，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质以及角度的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴． （2）解：成立，理由如下： ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴ 即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立． （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴． 如下图平移平移到，则， ∴， ∵点A，B，F三点共线， ∴点C，B，G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则， 则，且， ∴四边形为平行四边形， 设， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质等知识，掌握平移的性质，翻折的性质是解题的关键． 重难点02 多边形内角和的综合问题 36．（2019·浙江·三模）如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角． （1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为 ． （2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数 ．（写出一种即可） 【答案】 ∠B=n∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88° 【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； 根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C； （2）利用（1）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 【详解】解：（1）∠B=n∠C； 如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分， 将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合， 则∠BAC是△ABC的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； 故答案为：∠B=n∠C． （2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角， ∴∠B=4n°； ∵∠A是好角， ∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180， ∴如果一个三角形的最小角是4°， 三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大． 37．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题呈现】 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点落在边上的点处，连接．（点的对应点分别是点） 【初步发现】 （1）如图1，五边形的内角和的度数为__________°，外角和的度数为__________°； 【求知探究】 （2）求证：平分； 【拓展延伸】 （3）如图2，，，当三点在同一条直线上时，求的面积． 【答案】（1）540，360；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由多边形内角和定理即可得出答案；由多边形的外角和定理即可得出五边形的外角和的度数； （2）根据平行四边形性质得，则，由旋转的性质得，进而得，由此得，据此即可得出结论； （3）过点C作于点H，由旋转性质得，，进而得，由B，E，F三点在同一条直线上得，进而得，由（2）可知，则，由此得，再根据等腰三角形性质得，继而由勾股定理得，然后由三角形面积公式即可求出的面积， 【详解】解：（1）由多边形内角和定理得：五边形的内角和的度数， ∵多边形的外角和等于， ∴五边形的外角和的度数为 故答案为：540，360； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴平分， （3）过点C作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，， ∴ ∴ ∵当三点在同一条直线上 ∴ ∴ 由（2）可知，， ∴， ∴， 则， 在中，，， ∴，， 在中，，， 则， ∴，， ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，多边形内角与外角，图形的旋转变换及其性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握多边形内角和定理与外角和的性质，图形的旋转变换及其性质，等腰三角形，平行线的性质是解决问题的关键． 38．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）已知在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可； （2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论； （3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算． 【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°， ∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠NDC=180°-110°=70°； （2）DE∥BF，如图，连接BD， ∵∠ABC+∠ADC=180°， 且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°， ∴∠MBC+∠CDN=180°， ∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE=90°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°， ∴DE∥BF； （3）∵∠MBC+∠CDN=180°， ∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°， 连接PC并延长， ∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP， ∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP， ∴∠DPB=90°-36°=54°． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 39．（19-20七年级下·河北保定·期末）在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）． 【答案】（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°． 【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可； （2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； ②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°； （Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β； （Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β； （3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°． 【详解】（1）如图1所示： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE， ∴BC+DC=CE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=40°， ∴∠DCE=40°． 故答案为：70°，40°，BC+DC=CE； （2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； ②分三种情况： （Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下： 同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE． ∵∠ADC+∠ADB=180°， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠DAE+∠DCE=180°． ∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β， ∴α+β=180°； （Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下： 同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC， ∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； （Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β； 综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°； （3）∠ACB=60°．理由如下： ∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β， 即∠BAC=∠DCE． ∵CE∥AB， ∴∠ABC=∠DCE， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°； ∵当D在线段BC上时，α+β=180°， 即∠BAC+∠DCE=180°． ∵CE∥AB， ∴∠ABC+∠DCE=180°， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°； 综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 40．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 重难点03 平面镶嵌问题 41．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【答案】（1）①3个；②360（2）用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌，见解析；（3）①15；60②当时，w取得最小值，且最小费用为元． 【分析】（1）①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为，用，解答即可； ②根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； （2）设用x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得，求的x，y的正整数解即可； （3）①设正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元，根据题意，得，解方程即可． ②根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为，设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元，根据题意，得，，故故，解答即可． 本题考查了镶嵌，分式方程，二元一次方程的整数解，一次函数的性质应用，熟练掌握解方程，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为， 用， 故答案为：3； ②解：根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； 故答案为：360； （2）解：设x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得， ， 故， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故可以用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． （3）①解：正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 故正三角形瓷砖价格为15元，则正六边形瓷砖价格60元． ②解：根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为， 设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元， 根据题意，得，， 故 故， 故 由，得w随x的增大而增大， 根据题意，得用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． 故，此时， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故当时，w取得最小值，且最小费用为元． 42．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． (1)如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，同理．再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 ． (2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示．全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜50元；用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元． 【答案】(1) (2)①正三角形瓷砖每块的价格为25元，则正六边形瓷砖每块的价格为75元；②1350． 【分析】（1）根据平移的性质可得图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，则图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，如图1所示，过点B作于E，求出，进而求出，，再根据平行四边形的面积公式求得的面积，然后求得图形5的面积即可； （2）①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，然后根据用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等列出方程求解即可；②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，则为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，根据图形找出正六边形瓷砖最多的情形并进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，则图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同， 如图1：过点B作于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图5的面积， 故答案为：； （2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元， 由题意得，，解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴正三角形瓷砖每块的价格为25元，则正六边形瓷砖每块的价格为75元． ②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而， ∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多， 根据图7结合题意可知正六边形瓷砖最多可以使用12块，此时正三角形瓷砖需要18块， ∴购买瓷砖最少需要元． 故答案为：1350． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、分式方程的实际应用、平面镶嵌等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． 43．（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 44．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5） 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，即得答案； （2）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （3）根据五边形的内角和等于，即可列方程，计算即得答案； （4）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （5）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）由题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想； 故选B． （2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺， 为整数， 当时，， 除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺； 故答案为：正六边形． （3）根据五边形的内角和可知， ，， ， 解得； （4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ， 正三角形和正六边形能密铺； 正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ， 正方形和正八边形能密铺； 故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一） 若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形： ， 正三角形，正方形和正六边形能密铺； ， 正方形，正六边形和正十二边形能密铺； 故答案为：①②④或②④⑦． （5）由题意可得， ． 故答案为：． 45．（23-24八年级上·福建厦门·期末）用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 【答案】(1)72，36 (2)正三角形、正方形、正六边形 (3)，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形 【分析】本题考查平面镶嵌，涉及等边三角形的性质、正多边形的性质、图形类规律探究，理解平面镶嵌是解答的关键． （1）从图1中找到图2、图3菱形组成的部分，进而可求解； （2）只要正多边形的一个内角能整除即可； （3）先用边数表示出每个正多边形的内角，再根据一个顶点处的m个内角和为求解即可． 【详解】（1）解：由图1可知，，， ∴，， 故答案为：72，36； （2）解：∵正三角形的每个内角是，能整除， ∴全等的等边三角形能镶嵌成一个平面图案； 设正多边形的边数为n，则正多边形的每个内角为， ∵单独使用全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴能整除，又n为正整数， ∴或4或6， 故单独使用全等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图案； （3）解：∵正n多边形的每个内角为， ∴正边形内角为，正边形内角为，…，正边形内角为， 由镶嵌条件，得， 则， ∴ 当时，， 若这4个正多边形都是正方形时，满足； 若这4个正多边形中，2个正方形，1个正三角形，1个正六边形，满足； 若这4个正多边形中，2个正三角形、2个正六边形时，满足， 综上，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形． 46．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 【答案】任务一：360；问题②：正五边形不可以进行密铺，理由见解析；任务二：问题③：三角形；四边形；问题④：；问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥；①②④，②④⑦，①②⑦；问题⑥：（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③观察图形直接作答即可；问题④根据平面镶嵌的特点，进行计算即可； 问题⑤：根据各种正多边形的内角，结合平面镶嵌的特点作答即可；问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意，列出方程进行求解即可；（2）根据要求画出图形即可． 【详解】解：任务一：问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 故答案为：360； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不可以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 故答案为：三角形；四边形； 问题④：由图形并结合题意可得：∠A的度数为． 故答案为：． 问题⑤：由正边形的一个内角的计算公式:可知：①正三角形的一个内角为，②正方形的一个内角为，③正五边形的一个内角为，④正六边形的一个内角为，⑤正八边形的一个内角为，⑥正十边形的一个内角为，⑦正十二边形的一个内角为， ∵，，，，； ，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦，①②⑦； 问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴， 解得：， 则 ， ∴可确定A为正四边形，B为正三边形； （2）答案不唯一，所画图形如下： ． 九、附加 47．（23-24七年级下·浙江金华·期中）平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据平行线的性质和垂直的定义，结合角的和差关系求解．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：情况一： ∵， ∴． ∵， ∴． 情况二： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 故答案为：或． 48．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 【答案】(1)5；上 (2)①平行；相等；② 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质．熟练掌握平移的定义与性质是解题的关键． （1）结合图象以及平移的性质可得答案． （2）①由平移可知，和平行且相等． ②由平行线的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，三角形可以看成三角形向右平移5格，再向上平移3格得到的． 故答案为：5；上． （2）解：①由题意知，线段和的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． ②， ， ， ， ． 试卷第2页，共57页 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $$