第十九章二次函数和反比例函数同步训练2025-2026学年北京版数学九年级上册

第十九章二次函数和反比例函数同步训练2025-2026学年 北京版九年级上册 一、选择题 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 3.反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 5.把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（       ） A．y=（x-1）2-5 B．y=（x+1）2-5 C．y=（x+2）2-4 D．y=（x-3）2+5 6.若点，，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线 向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为I＝ B．当R＝9Ω时，I＝4A C．蓄电池的电压是13V D．当I≤10A时，R≥3.6Ω 二、填空题 11．当m＝____________时，函数是二次函数． 12.反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______． 13．在反比例函数y＝图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________． 14．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是 . 15.如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若S△ABC＝4，则k＝　 　． 16．如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米． 三、解答题 17.已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 18.已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 19.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 20.某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元． 销售单价x（元/千克） 10 11 销售量y（千克） 300 270 (1)求y与x的函数关系式： (2)根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 21.如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 【答案】 一、选择题 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 【答案】A 3.反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 4．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 【答案】D 5.把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（       ） A．y=（x-1）2-5 B．y=（x+1）2-5 C．y=（x+2）2-4 D．y=（x-3）2+5 【答案】B 6.若点，，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 7．将抛物线 向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 9.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 10.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为I＝ B．当R＝9Ω时，I＝4A C．蓄电池的电压是13V D．当I≤10A时，R≥3.6Ω 【答案】B． 二、填空题 11．当m＝____________时，函数是二次函数． 【答案】－1 12.反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______． 【答案】m>1 13．在反比例函数y＝图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________． 【答案】 k＞1 14．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是 . 【答案】 15.如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若S△ABC＝4，则k＝　 　． 【答案】24． 16．如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米． 【答案】1.95 三、解答题 17.已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【答案】y＝（x+1）+ 【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 18.已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． (1) 解：根据题意得：图象的顶点坐标为， 可设， ∵抛物线经过点， ∴将代入，得：， ∴这个二次函数的表达式为； (2) 解：设向上平移n个单位，得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：3． 19.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 【答案】(1)300千米 (2)从甲地到乙地所需的时间将减小 (3)60千米/小时 【详解】（1）解：千米， 答：甲、乙两地相距300千米； （2）解：∵汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离， ∴当汽车的速度提高时，到达的时间将减小； （3）解：设（v为汽车的速度，t为到达时间）， 当时，， ∵， ∴v随t增大而减小， ∴当这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地时，汽车平均速度应大于等于60千米/小时， ∴汽车平均速度应至少为60千米/小时． 20.某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元． 销售单价x（元/千克） 10 11 销售量y（千克） 300 270 (1)求y与x的函数关系式： (2)根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ (1) 解：设y=kx+b(k≠0) 根据题意得： ， 解得： ∴y=－30x+600 (2) 解：设每天获得的纯利润为W元，根据题意得： W=(－30x+600)(x－6) －200 =－30x2+780x－3800 =－30(x－13)2+1270 ∵－30＜0 ∴抛物线开口向下 ∵抛物线对称轴为x=13，销售单价不得高于12元 ∴当x≤12时，W随x的增大而增大 ∴当x=12时，W有最大值， =－30× (12－13)2+1270=1240 （元） 答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元 21.如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． （1） 令x＝0，则y＝c， ∴OC＝﹣c， ∵OA＝OC， ∴3＝﹣c，即c＝﹣3． ∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0）， 根据题意得：， 解之：． ∴抛物线解析式． （2） 当x＝0时，y＝﹣3， ∴点C（0，﹣3），即OC＝3， ∵A，B关于对称轴对称， ∴B（1，0），即OB＝1， ∴， 设， ∴＝×3×|x|， ∵＝， ∴， ∴x＝±4， ∴P（4，21），（﹣4，5）． （3） ∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）， ∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3， ∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0）， 则点， ∴， ∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$