专题03 二次函数综合 11个题型（期中专项训练）九年级数学上学期北京版

专题02 二次函数综合 题型1 二此函数综合（难点） 题型7 二次函数实际应用图形运动问题 题型2 二次函数求x、y轴交点坐标 题型8二次函数实际应用拱桥问题（常考） 题型3 已知二次函数的函数值求参数 题型9二次函数实际应用销售问题 题型4 抛物线与x轴交点问题（难点） 题型10二次函数实际应用投球问题（易错点） 题型5 根据二次函数的图象确定方程的根 题型11二次函数实际应用图形喷水问题 题型6 图像法解一元二次不等式 题型一 二次函数综合（共5小题） 1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值； (2)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (3)点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 3．已知二次函数的图象经过点，点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)已知点在抛物线上，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 5．二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为． (1)求该二次函数的解析式； (2)直线与抛物线和直线的交点分别为点，点． ①当时，______； ②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______． 题型二 二次函数求x、y轴交点坐标（共5小题） 6．抛物线与x轴的交点坐标为 ． 7．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ． 8．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 9．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 题型三 已知二次函数的函数值求参数（共3小题） 11．已知二次函数的解析式为． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含k的式子表示）； (2)若已知，，该二次函数的图象和线段有两个交点，结合函数图象，求k的取值范围． 12．如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (3)点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 13．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 题型四 抛物线与x轴交点问题（共5小题） 14．二次函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．    (1)直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）； (2)已知点，点，若抛物线G与线段只有一个交点，求m的取值范围． 16．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 17．下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． x … 1 3 … y … m 0 2 0 m … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是 ． 18．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列结论： ①若，则； ②当时，且的最小值为； ③抛物线上有两点和若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，若，则． 其中正确的是 ． 题型五 根据二次函数的图象确定方程的根（共3小题） 19．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 20．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 21．已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 题型六 图像法解一元二次不等式（共4小题） 22．已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 23．如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 24．如图，已知抛物线与轴交于，两点，且过点． (1)求此抛物线的解析式并画出该二次函数的图象； (2)当时，的取值范围是________； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，的值最小时，点坐标为________； (4)当时，对于的每一个值，都有，则的取值范围是________． 25．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 题型七 二次函数实际应用图形运动问题（共3小题） 26．如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 27．如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 28．如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 题型八 二次函数实际应用拱桥问题（共3小题） 29．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米． 通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表所示： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式； (2)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到米）？ 30．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 31．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点C离地面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否安全通过这个隧道？说明理由． 题型九 二次函数实际应用销售问题（共3小题） 32．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元，每小时的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 33．2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量（件）与销售单价（元）之间近似满足函数关系：． (1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 ； (2)求当销售单价为多少元时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大？最大利润是多少元？ 34．某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据： 万元 吨 万元 (1)请你补全表格中的数据； (2)请在下面平面直角坐标系中描出点； (3)解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元． 万元 吨 万元 题型十 二次函数实际应用投球问题（共3小题） 35．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)求与的函数关系式； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离． 36．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是_______； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包，则b的取值范围是_______． 37．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．    (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②判断该运动员第一次发球能否过网________（填“能”或“不能”）． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 题型十一 二次函数实际应用喷水问题（共3小题） 38．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 39．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； (2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 40．某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 2 / 38zxxk.com 2 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数综合 题型1 二此函数综合（难点） 题型7 二次函数实际应用图形运动问题 题型2 二次函数求x、y轴交点坐标 题型8二次函数实际应用拱桥问题（常考） 题型3 已知二次函数的函数值求参数 题型9二次函数实际应用销售问题 题型4 抛物线与x轴交点问题（难点） 题型10二次函数实际应用投球问题（易错点） 题型5 根据二次函数的图象确定方程的根 题型11二次函数实际应用图形喷水问题 题型6 图像法解一元二次不等式 题型一 二次函数综合（共5小题） 1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值； (2)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (3)点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （3）分两种情况讨论：①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，根据可得，即可求解；②当时，即，即有，可得，与题意不符，舍去. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为； （3）①当时， 可知点，，从左至右分布，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 根据可得， ∴， 根据可得， ∴， ∴； ②当时，即， ∵， ∴，不符合题意. 综上，m的取值范围为． 3．已知二次函数的图象经过点，点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的解析式为：； (2)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中， 可得：， 解得： 该二次函数的解析式为：； （2）解：根据题意作图，如图所示， ，函数的开口向下，且对称轴也是y轴， 要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， 只需保证当时，， 且当时，， 即 解得：． 4．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)已知点在抛物线上，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式，是解题的关键． （1）把代入，解方程即得； （2）求出对称轴直线，点的对称点，根据时，y随x的增大而增大，解一元一次不等式，即得． 【详解】（1）解：把代入， 得． 解得（舍去），或． 故． （2）∵， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵点的对称点为， ∴当时， 即时， ． 故的取值范围是． 5．二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为． (1)求该二次函数的解析式； (2)直线与抛物线和直线的交点分别为点，点． ①当时，______； ②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______． 【答案】(1) (2)①4；②或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，两点间的距离，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意可得二次函数的顶点坐标为，故设二次函数的解析式为，将点代入求解即可； （2）①当时，解方程组得到点C的坐标，解方程组得到点D的坐标，根据两点间的距离即可解答； ②由①可知，当时，如图，，结合图象可得当时，；当时，求出当时，结合图象可得，当时，，即可解答． 【详解】（1）解：∵当时，函数的最小值为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， ∵该二次函数过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为，即． （2）解：①当时， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 解方程组得， ∴点D的坐标为， ∴， 故答案为：4 ②由①可知，当时，如图，， 由图象可得，当时，； 当时，， 当时，如图， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 解方程组得， ∴点D的坐标为， ∴， 当时，， 解得，（舍去） ∴由图象可得，当时， 综上所述，时的取值范围是或． 故答案为：或 题型二 二次函数求x、y轴交点坐标（共5小题） 6．抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，把，代入，求出或，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 7．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由题意知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方，进而可得二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，再结合图象可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方， ∴当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 8．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为， 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与面积问题，解题的关键是： （1）令，则，解方程即可求解； （2）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，然后把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点P的坐标为，； 当时，，即， ∴， ∴方程无解， ∴不存在， 综上，点P的坐标为，． 9．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （3）， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）令，求出函数值，进而得到点的坐标即可； （2）令，求出自变量的值，即可得出结果； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴； （2）当时， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）当时，则：， ∴在轴的正半轴上， ∵， ∴点在点的下方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值小于等于2， ∴， ∴； 当时，在轴的负半轴上，， ∴点在点的上方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值大于等于2， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 综上：． 题型三 已知二次函数的函数值求参数（共3小题） 11．已知二次函数的解析式为． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含k的式子表示）； (2)若已知，，该二次函数的图象和线段有两个交点，结合函数图象，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）配方得到，推出顶点坐标为； （2）分二次函数的图象左侧经过，右侧讲过两种情况讨论：根据二次函数的图象左侧经过，得到，解得，得到 ，根据，推出，解得；根据二次函数的图象右侧经过，推出，解得，得到，根据，推出，解得．得到． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为； （2）当二次函数的图象左侧经过时，， 解得，， ∵对称轴是直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 当二次函数的图象右侧经过时，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与线段的综合等，解决问题的关键是熟练掌握配方法将二次函数解析式的一般式化成顶点式，二次函数图象与线段的位置关系，解一元二次方程，解不等式． 12．如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (3)点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2)该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 (3) ， 点的坐标为 【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）； （2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标； （3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：点函数图象上， ， 解得：， ， 舍去， ， 点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． 13．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 【答案】(1)（﹣5，2） (2)或3 (3) 【分析】（1）根据定义直接解答即可； （2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）∵-5<0， ∴， ∴点的“可控变点”坐标为（-5，2）， 故答案为（﹣5，2）； （2）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数． 的图象上． ∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7， ∴当时，解得x=3； 当，解得x=-； 综上所述“可控变点” Q的横坐标为或3． （3）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数 的图象上（如图）． ∵， ∴． ∴x=． 当x=-5时， 当=9时，x=， ∴a的取值范围是． 【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案. 题型四 抛物线与x轴交点问题（共5小题） 14．二次函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，根据根的判别式与二次函数的定义列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ，即， 解得且． 故选：D． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．    (1)直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）； (2)已知点，点，若抛物线G与线段只有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质与综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质结合点的坐标求解； （1）把二次函数解析式化为顶点式即可求解； （2）把点，点代入函数解析式，求出m的值，再确定求值范围即可． 【详解】（1）解：化为顶点式为， 抛物线G的顶点坐标为． （2）解：把点代入得， ， 解得，，， 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点； 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点； 所以m的取值范围为； 把点代入得， ， 解得，，， 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点； 当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点； 所以m的取值范围为； 综上m的取值范围为或． 16．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； （3）解：观察图象可知，当时，或； （4）解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 17．下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． x … 1 3 … y … m 0 2 0 m … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故答案为：． 18．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列结论： ①若，则； ②当时，且的最小值为； ③抛物线上有两点和若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，若，则． 其中正确的是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，抛物线的对称轴为直线，由和关于对称轴直线对称，可知当时，；可判断①的正误；由图象可知，当时，或，没有最小值；可判断②的正误；由图象可知，抛物线上点坐标离对称轴越远，对应的函数值越大，由，且，可知，即，可判断③的正误；当时，，由，可求，，则当时，，由抛物线上两点，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线， ∵和关于对称轴直线对称， ∴当时，；①正确，故符合要求； 由图象可知，当时，或，没有最小值；②错误，故不符合要求； 由图象可知，抛物线上点坐标离对称轴越远，对应的函数值越大， ∵，且， ∴， ∴，③错误，故不符合要求； 当时，， 令，则， 解得，，， ∵， ∴当时，， ∵抛物线上两点，， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①④． 题型五 根据二次函数的图象确定方程的根（共3小题） 19．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程变形为，由交点坐标即可得出答案． 【详解】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 20．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 21．已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点；根据抛物线与x轴的交点问题得到二次函数的图象与轴的交点坐标为，，然后利用图象中交点的横坐标的范围可对各选项进行判断． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，， 由函数图象可得． 故选：B． 题型六 图像法解一元二次不等式（共4小题） 22．已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，对任意的，，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．将转换为最大值与最小值的差小于等于是解题的关键． 【详解】解：∵函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小， ∴， ∵和， ∴时，函数的最小值为：， ∴函数的最大值在和中产生， 则，中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，而， ∴距离更远， ∴当时，函数取得最大值为：， ∵对任意的，，，相应的函数值，总满足， ∴最大值与最小值的差小于等于， 即， ∴， 解得：， ∵， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 23．如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先把点和的坐标分别代入中得到方程组，解之即可得到、的值，从而得到抛物线解析式，然后解方程可得B点坐标； （2）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：二次函数经过点和点 解得： 二次函数解析式为 当时， 解得：， 的值为；点的坐标为． （2）解：观察图象可知，当时， 不等式的解集为． 24．如图，已知抛物线与轴交于，两点，且过点． (1)求此抛物线的解析式并画出该二次函数的图象； (2)当时，的取值范围是________； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，的值最小时，点坐标为________； (4)当时，对于的每一个值，都有，则的取值范围是________． 【答案】(1)，图象见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法、画函数图象，利用二次函数性质求函数值的范围，二次函数与不等式等； （1）将，， 代入解析式，列表、描点、连线画出图象，即可求解； （2）先判断对称轴是否在范围内，再利用增减性，即可求解； （3）由二次函数的对称性得点关于直线的对称点为点，连接交直线为，此时取得最小值，即可求解； （4）当直线经过时，结合图象，即可求解； 掌握待定系数法，会利用二次函数的性质求函数值的范围，能找出取得最小值的条件，能根据图象理解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式； 列表： 图象如下： （2）解： ， 顶点为， 当时，最小值， ， ， 故答案：； （3）解：如图， 关于直线的对称点为点， 连接交直线为， 此时取得最小值， 如下图： 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ； 故答案：； （4）解：由（3）得：当直线经过时，直线为， ， 当时，对于的每一个值，都有， 由图象得：； 故答案：． 25．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据“反称变点”的定义，由，即可推出，于是得解； （2）根据题意，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解一元二次方程，求出的值即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：当时，可推出；当时，可推出；分别解不等式组，即可得出的取值范围，然后画出函数图象，通过观察图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 点的“反称变点”坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， 即：， 解得：， ， ； 当时，， ， 即：， 解得：， ， ； “反称变点”的横坐标是或； （3）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 即：， 解得：； 当时，， ， 即：， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，的取值范围是，如图所示： 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，化简多重符号，直接开平方法解一元二次方程，解一元二次不等式，画二次函数图象等知识点，理解题意，弄清新定义并懂得利用数形结合思想是解题的关键． 题型七 二次函数实际应用图形运动问题（共3小题） 26．如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 27．如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， ∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：D． 28．如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，动点问题的函数图象，分类讨论：当时，根据正方形的面积公式得到；当时，交于，交于，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：当点E恰好在上时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，正方形与的重叠部分即为正方形，则； 当时，交于，交于，如图， ，则， 同理可证明为等腰直角三角形， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故选：A． 题型八 二次函数实际应用拱桥问题（共3小题） 29．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米． 通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表所示： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式； (2)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到米）？ 【答案】(1)6， (2)隧道需标注的限高应为米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； （1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，求出时y的值，再结合到隧道顶面的距离不小于0.35米，进一步计算即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6， 设 ∵D的坐标为 ∴， 解得 ∴． 故答案为：6，； （2）解：当时，， 所以隧道需标注的限高应为（米）， 答：隧道需标注的限高应为米． 30．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． （1）先得出点A，点C，点E的坐标，再待定系数法求出解析式即可； （2）求出当时，得出y的值，然后计算棚顶比较即可得到答案． 【详解】（1）解： 由题意知，，，， 设抛物线解析式为， 把A、B、E代入解析式得 ， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）解：此船能通过，理由： 船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米 则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：， 当时，代入， 解， ∴此船能通过桥洞． 31．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点C离地面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否安全通过这个隧道？说明理由． 【答案】(1)； (2)这辆货车能安全通过．理由见解析． 【分析】此题考查了二次函数的应用． （1）根据题意得到抛物线与y轴的交点为，设该抛物线的表达式为，再利用抛物线过点求出a的值，即可得到解析式； （2）把代入解析式，得．比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线与y轴的交点为， 设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以，   解得， ∴； （2）解：根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 题型九 二次函数实际应用销售问题（共3小题） 32．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元，每小时的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)销售价应定为每件130元； (3)销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握“建模”思想是解题关键． （1）根据销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒，得到销售量为，即，用销售量量乘以每盒的利润即可求解； （2）解方程即可求解； （3）求出每天的销售利润w与定价的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，该礼盒售价为每盒x元，则销售量为，即， ∴ 即； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得，， ∵要让利顾客， ∴， 答：销售价应定为每件130元； （3）解： ∵， ∴当时，w有最大值，， 答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． 33．2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量（件）与销售单价（元）之间近似满足函数关系：． (1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 ； (2)求当销售单价为多少元时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大，最大利润为1600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据总利润单件利润销售量即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：该网店每周销售该礼盒所获利润为， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意， ∵， 又，抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大为：（元）． 34．某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据： 万元 吨 万元 (1)请你补全表格中的数据； (2)请在下面平面直角坐标系中描出点； (3)解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元． 【答案】(1)补全表格见解析 (2)画图见解析 (3)， 【分析】（）把的值代入关系式求出的值即可补全表格中的数据 （）根据表格数据画图即可； （）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入，得， ∴补全表格中的数据如下： 万元 吨 万元 （2）解：描点如下： （3）解：∵， ∴当，即时，取最大值，最大值为， 故答案为：，． 题型十 二次函数实际应用投球问题（共3小题） 35．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)求与的函数关系式； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）利用待定系数法解答即可； （）求出直线的解析式，设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点，求出的关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：把，代入得， ， 解得， ∴； （3）解：设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大， 即当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为． 36．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是_______； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包，则b的取值范围是_______． 【答案】(1)①3；②； (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①g根据表中数据即可得到结论； ②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到点B的坐标范围是～，把代入函数解析式得到，解方程得到，把代入函数解析式得到，解方程得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为的， 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 设抛物线的解析式为； （2）解：小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包， 此时，点B的坐标范围是～， 当经过时，， 解得：， 当经过时，， 解得：， ， 的取值范围是． 故答案为：． 37．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．    (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②判断该运动员第一次发球能否过网________（填“能”或“不能”）． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】(1)①；②能 (2)没出界，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出当时的的值，判断即可得解； （2）令，则，求解即可． 【详解】（1）解：①由表中数据可得顶点， 设， 把代入得， 解得：， ∴所求函数关系为． ②当时，， 故该运动员第一次发球能过网； （2）解：判断：没有出界． 第二次发球：， 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴该运动员此次发球没有出界． 题型十一 二次函数实际应用喷水问题（共3小题） 38．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 39．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； (2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：；； （2）解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 40．某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【答案】(1)②，① (2)①不能；理由见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：； （2）①根据，将代入上边缘抛物线的函数解析式得出，即可求解； ②当点和点重合时，有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，有最大值，；所以． 【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 解：∵关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 故答案为：②，①． （2）①不能，理由如下， 依题意， 将代入上边缘抛物线的函数解析式得 ∴绿化带不全在喷头口的喷水区域内， ∴洒水车不能浇灌到整个绿化带； ②解：设灌溉车到绿化带的距离为， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点和点重合时，有最小值，此时； 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ，． 令，解得：或， 结合图像可知： 的最大值为：； ∴． 故答案为：． 1 / 16zxxk.com 1 / 16zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $