1.1 探索勾股定理（10题型+针对训练）2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

第1章 勾股定理 1 探索勾股定理 命题1：用勾股定理解三角形…………………………………………2 命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积………………………2命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差…………………………3命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系…………………………3 命题5：勾股定理的证明方法…………………………………………4命题6：以弦图为背景的计算题………………………………………5 命题7：用勾股定理构造图形解决问题…………………………6命题8：求旗杆的高度………………………………………………7命题9：小鸟飞行的距离……………………………………………8命题10：求大树折断前的高度……………………………………9 针对训练………………………………………………………………9 命题1： 用勾股定理解三角形 1．在直角三角形中，若一条直角边长是，另一条直角边长是，则斜边长的平方是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，则的长为 ． 4． 若一个直角三角形的一条直角边长为7，其斜边长比另一条直角边长1，求该直角三角形的斜边长． 命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积 5．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（    ） A．7 B．5 C．25 D．1 6．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为 ． 7．如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差 8．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 9．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系 10．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 12．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 命题5：勾股定理的证明方法 13．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 14．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． 15．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 命题6：以弦图为背景的计算题 16．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 17．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 18．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 命题7：用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 20．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 21．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m，有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 命题8：求旗杆的高度 22．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　） A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m 23．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）． 24．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)用含的式子表示为_____； (2)请你求出旗杆的高度． 命题9：小鸟飞行的距离 25．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 26．校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 27．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 命题10：求大树折断前的高度 28．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 29．一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺． 30．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 针对训练： 1．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（   ） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 2．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 3．如图中字母所代表的正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 5．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 6．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在中，，，则 ． 8．如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 9．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 10．如图，中，，平分，交于点D，、，则 ． 11．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 12．在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 13．（1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ （2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 14．如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 15．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 16．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 17．推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 18．问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 19．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表． 项目 背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图 项目 方案 测量过程步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． (1)直接写出线段与之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 20．图甲是任意一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形全等的三角形，放在边长为的正方形内． (1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形； (2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______； (3)图乙中①②面积之和为______； (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？ 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理 1 探索勾股定理 命题1：用勾股定理解三角形…………………………………………2 命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积………………………4命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差…………………………5命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系…………………………6 命题5：勾股定理的证明方法…………………………………………8命题6：以弦图为背景的计算题………………………………………10 命题7：用勾股定理构造图形解决问题…………………………13命题8：求旗杆的高度………………………………………………15命题9：小鸟飞行的距离……………………………………………18命题10：求大树折断前的高度……………………………………20 针对训练………………………………………………………………21 命题1： 用勾股定理解三角形 1．在直角三角形中，若一条直角边长是，另一条直角边长是，则斜边长的平方是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长的平方， 故选：． 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质．连接，设，则，根据是的垂直平分线，可得，在中，由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴的长为， 故答案为：． 4．若一个直角三角形的一条直角边长为7，其斜边长比另一条直角边长1，求该直角三角形的斜边长． 【答案】该直角三角形的斜边长为25 【分析】本题主要考查了勾股定理，设另一条直角边为x，则斜边为，由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：设另一条直角边为x，则斜边为， 由勾股定理得，， 解得， ∴斜边， ∴该直角三角形的斜边长为25． 命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积 5．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（    ） A．7 B．5 C．25 D．1 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵正方体A的面积为3，正方体B的面积为4， ∴正方体C的面积=3+4=7， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 6．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 中，， ， ， ， 故答案为：25． 7．如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果． 【详解】解： ，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，， ． 又 ，，， ． 命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差 8．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 9．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系 10．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 12．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 命题5：勾股定理的证明方法 13．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 14．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． 【答案】 勾股定理 c2=a2+b2 【分析】通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理． 【详解】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2， 即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为：勾股定理． 故答案为：勾股定理，a2+b2=c2 【点睛】本题考查的是勾股定理的几何背景，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 15．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论． 【详解】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 命题6：以弦图为背景的计算题 16．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：4个直角三角形的面积和为， ∴一个直角三角形的面积为． 故选：A． 17．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 18．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 命题7：用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 20．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 21．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m，有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】设半圆的圆心为O，于是得到OA=×1.6=0.8（米）．过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设半圆的圆心为O，（米）． 过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C． 在中，由勾股定理可得：， 即． 所以米． 所以（米）． 由于1.6米＞1.5米，所以小货车能通过此桥洞． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键． 命题8：求旗杆的高度 22．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　） A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m 【答案】C 【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，可得，，，利用勾股定理可求出． 【详解】解：如图， 设学校教学楼的高度为，则，，， 左图，根据勾股定理得，绳长的平方， 右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 23．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 24．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)用含的式子表示为_____； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1) (2)12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； （2）解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 命题9：小鸟飞行的距离 25．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 26．校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【答案】13 【分析】画出图形如下所示，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，利用勾股定理即可得. 【详解】根据题意画图如下：其中 两点间线段最短，所以题目所求即为 过D作，交AB于E 则 由勾股定理得 故答案为13. 【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，以及两点之间线段最短的知识点. 27．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 命题10：求大树折断前的高度 28．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为x米，则米，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即折断处离地面的高度为3米． 故选：A． 29．一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解. 【详解】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得, 解得， 故折断处离地面的高度是尺. 故答案为： 30．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【答案】木杆断裂处离地面6米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米， 由题意得：， 解得． 答：木杆断裂处离地面6米． 针对训练： 1．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（   ） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理；分两种情况，当第三边是斜边时，当第三边是直角边时，结合勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：当第三边是斜边时， ， 当第三边是直角边时， ， ∴第三边长的平方为9或41， 故选：C． 2．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 3．如图中字母所代表的正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理． 根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图：由勾股定理得， ∴， ∴字母所代表的正方形的面积为， 故选：D． 4．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用长方形的直角性质构造直角三角形，通过勾股定理求出对角线长度，进而计算两条路径的距离差． 先明确沿→的路径长度为因长方形中，为直角三角形，利用勾股定理求出对角线的长度；最后计算两条路径的长度差，即得沿比沿→少走的距离． 【详解】解：连接， ∵四边形是长方形， ∴（长方形的四个角都是直角）． 沿→的路径长度为已知米，米， ∴米． 在中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）得： 代入数值可得： ∴米（边长为正数）． 则沿比沿→少走的距离为米． 故选：C． 5．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 故选：D． 6．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为大正方形的面积为49， 所以大正方形的边长为7， 则由勾股定理得，． 故①正确． 因为小正方形的面积为4， 所以小正方形的边长为2， 则． 故③正确． 大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴每个直角三角形面积为， ， ∴， 所以（舍负）． 故②错误． 故选：C． 7．在中，，，则 ． 【答案】34或16 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理求边长的问题，属于基础问题．在利用勾股定理时一定要注意所求的边为直角边还是斜边．分两种情况进行计算，即为斜边和为直角边，再根据勾股定理来进行解答即可， 【详解】解：当为斜边时， 根据勾股定理可得：， 当为直角边时， 根据勾股定理可得：， 故答案为：34或16． 8．如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关键． 由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个等腰直角三角形． 【详解】解：∵，，， ∴且，，， ，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 9．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 【答案】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 10．如图，中，，平分，交于点D，、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作于点M， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺，则有尺， 根据题意得：， 即， 解得． 即绳索的长为10尺． 故答案为：10． 12．在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理计算c的长； （2）利用勾股定理计算a的长． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ． 13．（1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ （2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 【答案】（1）10尺；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）设竹竿长为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）用两种方法表示出梯形的面积，然后得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：设竹竿长为x尺， ， 解得， 答：竹竿长10尺． （2）解：梯形的面积为： ， 或， 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 14．如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 【答案】． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．先连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，然后设，由勾股定理可得方程，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵D为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 15．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析，；类比应用：24 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， 则， 即， 解得， 所以， 所以． 16．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 17．推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理及应用； （1）根据题目猜想结论即可； （2）作边上的高，垂足为，利用勾股定理解答即可； （3）设，则，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高长，再根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：图②中，；图③中，， 故答案为：，； （2）解：如图①，作边上的高，垂足为． 设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得． 因为，所以． 如图②，作边上的高，垂足为． 设，则在和中， 由勾股定理，得， 整理，得． 因为，所以． （3）解：如图①，设，则． 同（2）可得， 因为， 所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为． 18．问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键． （1）过点P作于E，根据四边形均为矩形可得，，据此即可求解； （2）分类讨论①当点P在线段上和②当点P在线段上两种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. 19．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表． 项目 背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图 项目 方案 测量过程步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． (1)直接写出线段与之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）设，则，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由图可知： 设，则， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴； 即：学校旗杆的高为米； 20．图甲是任意一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形全等的三角形，放在边长为的正方形内． (1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形； (2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______； (3)图乙中①②面积之和为______； (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？ 【答案】(1)a，b，c (2)，， (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理，解题的关键在于根据图形得出各正方形的边长，进而得出各正方形面积，再通过两个组合正方形的面积相等的关系进行列式分析． （1）根据图形求解即可； （2）结合（1）根据正方形面积公式求解，即可解题； （3）将（2）中①、②的面积加起来即可； （4）根据图形推出图乙个直角三角形的面积图丙个直角三角形的面积，即可得到图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积之间的关系． 【详解】（1）解：由图知，①是以为边长的正方形， ②是以为边长的正方形， ③是以为边长的正方形； 故答案为：a，b，； （2）解：由题知，图乙中①的面积为，②的面积为，图丙中③的面积为； 故答案为：，，； （3）解：图乙中①②面积之和为； 故答案为：； （4）解：，理由如下： 图乙、图丙是边长为的正方形， 图乙、图丙面积相等， 图乙个直角三角形的面积图丙个直角三角形的面积， ， ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$