1.2 一定是直角三角形吗（4题型+针对训练）2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

第1章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 命题1：勾股树（数）问题……………………………………………1 命题2：判断三边能否构成直角三角形………………………………2 命题3：在网格中判断直角三角形……………………………………2 命题4：利用勾股定理的逆定理求解…………………………………3 针对训练…………………………………………………………………4 命题1： 勾股树（数）问题 1．下列不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25 2．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 3．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 4．学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 命题2：判断三边能否构成直角三角形 5．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 6．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 7．在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则 是直角． 8．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 命题3：在网格中判断直角三角形 9．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 11．如图，每个正方形网格的边长都是1，试判断的形状，并说明理由． 命题4：利用勾股定理的逆定理求解 12．如图，中，对角线于点O，，若，则的面积为 ． 13．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．45 15．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 针对训练： 1．下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，12，15 2．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 5．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 7．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为 ． 8．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足 时，∠B=90°． 9．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 10．已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状为 ． 11．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 12．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 13．我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 15．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 16．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，，E是AC上的一点，，，． (1)判断△ABE的形状，并说明理由． (2)求线段AB的长． 17．邱老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a b 4 6 8 10 c (1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数的代数式表示： _________， _________， _________； (2) 猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想． 18．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 19．如图，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，如果，同时出发，问过时，的面积为多少? 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 命题1：勾股树（数）问题…………………………………………2 命题2：判断三边能否构成直角三角形………………………2 命题3：在网格中判断直角三角形…………………………3 命题4：利用勾股定理的逆定理求解…………………………3 针对训练………………………………………………………………9 命题1： 勾股树（数）问题 1．下列不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，正确记忆勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，则3，4，5是勾股数，不符合题意； B、，则5，12，13是勾股数，不符合题意； C、，则2，3，4不是勾股数，符合题意； D、，则7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，解答即可． 【详解】解：A、，是勾股数，故符合题意； B、∵，，不是整数，不是勾股数，故不符合题意； C、，不是勾股数，故不符合题意； D、，不是勾股数，故不符合题意； 故选：A． 3．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 解得， 不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 4．学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 命题2：判断三边能否构成直角三角形 5．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三角形是否为直角三角形），解题的关键是对于每组边长，找出最长边，验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，若满足则为直角三角形． 先确定每组选项中的最长边（直角三角形中最长边为斜边）；再分别计算最长边的平方，以及另外两边的平方和；比较两者是否相等，相等则该组边长能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、选项中三边长为1，2，2，最长边为2计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、选项中三边长为2，3，4，最长边为4计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、选项中三边长为3，4，5，最长边为5计算：， ∵， ∴能组成直角三角形，此选项符合题意； D、选项中三边长为4，5，6，最长边为6计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； 故选：C． 6．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理；分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A：不能构成直角三角形； B：能构成直角三角形； C：能构成直角三角形； D：能构成直角三角形． 故选：A． 7．在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则 是直角． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 8．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 【答案】(1)是，边c所对的角是直角 (2)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键； （1）根据勾股定理的逆定理，求出两短边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． （2）根据勾股定理的逆定理，求出两短边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】（1）解：， 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． （2）解：， 所以该三角形不是直角三角形． 命题3：在网格中判断直角三角形 9．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 10．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 11．如图，每个正方形网格的边长都是1，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为直角三角形，理由见解析． 【分析】利用勾股定理算出各边的长度，即可确定△ABC的形状． 【详解】∵AB2=，BC2==52，AC2==65 ∴AB2 +BC2 =AC2 ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．知道直角三角形的三边长满足勾股定理是解决本题的关键． 命题4：利用勾股定理的逆定理求解 12．如图，中，对角线于点O，，若，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，由勾股定理逆定理得到是关键；由平行四边形的性质得；由勾股定理逆定理得，则可求得结果． 【详解】解：在中， ，， 则； ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 13．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 14．一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．45 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，得为直角三角形，故可求出面积． 【详解】解：， ， ， 即是直角三角形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解本题要熟练掌握勾股定理的逆定理这个知识点． 15．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 针对训练： 1．下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，12，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：A.由于，故能构成直角三角形，不符合题意； B.由于，故不能构成直角三角形，符合题意； C.由于，故能构成直角三角形，不符合题意； D.由于，故能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 3．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、整式的混合运算，根据、都为正整数，可得：，根据勾股定理可得：，整理可得：，从而可得：三角形三边长分别为、、，三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数，根据三角形三边长的特征判断即可． 【详解】解： 、都为正整数， ， 是直角三角形的斜边， 整理得：， 移项、合并同类项得：， 两边同时除以得：， ，， 三角形三边长分别为、、， 三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数， A选项：当时，， 此时， 三边长分别为、、， 故A选项符合条件； B选项： 不是、、的倍数， 故B选项不符合题意； C选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意； D选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意． 故选：A． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 5．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 7．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为 ． 【答案】4 【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决． 【详解】解：， 三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形， 这个三角形中最短边上的高为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键． 8．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足 时，∠B=90°． 【答案】a2+c2= b2 【分析】根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案． 【详解】解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°． 故答案为：a2+c2=b2． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键． 9．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 10．已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】由非负数的性质得出，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义（至少有两边相等的三角形），直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键． 11．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 12．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，A、D两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴与射线的交点，即为使周长最小的点E， ∵．且， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 中，， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键． 13．我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：边的垂直平分线为， ∴， ， 在中，， ； （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 15．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 16．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，，E是AC上的一点，，，． (1)判断△ABE的形状，并说明理由． (2)求线段AB的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，从而可得，由此即可得出结论； （2）设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． 17．邱老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a b 4 6 8 10 c (1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数的代数式表示： _________， _________， _________； (2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，因为 【分析】本题考查了数字规律及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是加减1，即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【详解】（1）解：由图表可以得出： ∵时，， 时，， 时，， …， ∴； （2）解：以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 18．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用和数字规律的探寻，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【详解】（1）解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）设，则． 有，解得， ，． 19．如图，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，如果，同时出发，问过时，的面积为多少? 【答案】18cm2 【分析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解． 【详解】设AB为3x（cm），BC为4x（cm），AC为5x（cm）， ∵周长为36cm， ∴AB＋BC＋AC＝36cm， ∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3， ∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm， ∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP＝9−3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm）， ∴S△PBQ＝BP•BQ＝×6×6＝18（cm2）． 故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$