3.2.1 对数的定义（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦对数的定义，通过银行存款复利问题导入，从具体方程1.05^x=5抽象出a^x=N求x的一般问题，搭建指数知识到对数新知的学习支架，系统呈现定义、互化公式及常用对数、自然对数。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数学眼光（实际问题抽象）、数学思维（逻辑推理证明恒等式）、数学语言（规范互化解题），通过典例分析与题型探究提升运算素养，助力学生理解，方便教师高效教学。

3.2 对数的定义 第三章 幂、指数与对数 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 2 学 习 目 标 1 2 3 通过具体实例，理解对数的定义. 了解常用对数与自然对数的意义. 理解恒等式，并能简单应用. 会正确地进行指数式与对数式的互化，理解对数式中真数的含义，学会求一个正数的对数的方法，发展数学运算的素养. 4 课题引入 银行存款问题 某人在银行存入1万元，若年利率为5%，且按年计复利，经过多少年1万元存款才能连本带利超过5万元呢? 问题的解析: 年利率为5% 是指一年之后1万元变成1x(1+5%)=1.05万元.按年计复利是指每过一年自动将连本带利作为本金再次存入银行生息. 经过年后，存款连本带利的总数是万元. 原问题转化为: 当是多少时，? 求方程的实数解 今天我们就开始来体会对数的魅力所在吧！ 4 课题引入 问题1：对于“求方程的实数解”，能否将这个问题一般化？ 问题的一般化: 求方程的实数解 假设保证对所有的实数， 都有定义. 5 课题引入 问题2：当时，还要附加什么条件，才能使方程的解存在且唯一? 在且，只要，方程总有解，并可以用反证法证明该 方程的解时唯一的. 如何表示唯一的解呢？ 这就用到我们今天学习的“对数”了. 6 新知探究 乙 在，且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数（logarithm），并可以用符号表示，而为真数. 1. 对数的定义 7 新知探究 乙 底 幂 真数 指数 对数 1. 对数的定义 8 新知探究 乙 问题3：为使得有意义， 和应该满足怎样的条件？ 对数的底数且，真数 9 新知探究 乙 问题4：当且时，下列算式有没有意义？如果有意义，求出算式的值；如果没有意义，请说明理由. 无意义，因为零和负数没有对数； 总结： 10 新知探究 乙 问题5：证明：使得 证明：由对数定义，对数这个记号表示满足方程的唯一确定的数，因此 1. 对数的定义 问题6：设，正数满足, 求证： 证明：因为，所以 11 新知探究 乙 以10为底的对数称为常用对数（common logarithm）， 通常记为 2. 常用对数与自然对数 以无理数e（e的值约为2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm）， 通常记为 12 例1 求下列各式的值： 典例分析 【解】（1）因为，即3是方程的唯一解，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. 总结：将对数式转化为指数式是求值的方法之一. 13 例2 求下列各式中的值： ; 典例分析 【解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. 14 例3 求下列各式中的取值范围： 典例分析 【解】（1）由，得或. （2）由，得. 总结：根据对数底数和真数的范围，列不等式（组）. 15 例4 求下列各式的值： 典例分析 【解】（1） （2） （3） 16 指对互化 题型一 题型探究 1. 求下列各式中的值： ; ; 【解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，得，又,所以 （4）因为，得，所以 17 求取值范围 题型二 题型探究 2. 求下列各式中的取值范围： ; 【解】（1）因为，解得. （2）因为，解得，得且 18 恒等式的应用 题型三 题型探究 3. 求下列各式的值： 【解】（1）原式 . （2）原式. 方法技巧 利用指数幂的运算性质及对数恒等式求值的策略及注意点 (1)策略：统一底数并应用指数恒等式，即将不同底数转化为相同底数，利用核心恒等式 直接化简求值。 (2)注意点：逐步拆分化简，确保每一步变换等价，避免运算错误。 19 课堂小结 对数 自然对数 常用对数 数学运算 逻辑推理 感谢聆听! 21 (且) $$