5.1 变量与函数 预习讲义 2025-2026学年 苏科版八年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第五章 一次函数 5.1 变量与函数（预习讲义） 学习目标 1. 了解常量、变量的概念，能在具体问题中区分常量与变量。 2. 理解自变量与因变量（函数值）的意义，初步体会两个变量之间的依赖关系。 3. 理解函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系。 4. 能根据简单的实际问题情境，写出表示变量之间关系的简单关系式，并能根据一个变量的值求出另一个变量的值。 知识点梳理 一、 常量与变量 1. 常量： 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量。 · 例如：汽车以60km/h的速度行驶，行驶过程中，速度60km/h是不变的，所以速度是常量。 2. 变量： 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。 · 例如：上述汽车行驶问题中，行驶时间和行驶路程都是不断变化的，所以时间和路程是变量。 · 一个变化过程中，可能有多个变量。 二、 变量之间的关系 (自变量与因变量) 1. 相关联的变量： 在同一个变化过程中，如果两个变量相互影响，一个量的变化会引起另一个量的变化，我们就说这两个变量是相关联的。 2. 自变量： 在两个相关联的变量中，主动发生变化的变量叫做自变量。 3. 因变量 (函数值)： 随着自变量的变化而发生变化的变量叫做因变量，也称为自变量的函数。 · 例如：在路程问题中，路程 = 速度 × 时间。若速度一定（常量），则： · 时间是自变量（主动变化）。 · 路程是因变量（随着时间的变化而变化），路程是时间的函数。 三、 函数的概念 · 定义： 在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数。 · 对函数概念的理解关键点： 1. 必须有两个变量。 2. 两个变量是相关联的，一个变量的变化会引起另一个变量的变化。 3. 核心是“唯一确定”：对于自变量 的每一个确定的值，函数 都有且只有一个值与之对应。 四、 函数值 · 如果当 时，，那么 叫做当自变量 的值为 时的函数值。 · 例如：对于函数 ，当 时，，那么 7 就是当 时的函数值。 五、 函数的表示方法 (初步认识) · 本节主要涉及到的函数表示方法： 1. 列表法： 通过列表格的形式表示两个变量之间的对应关系。 2. 关系式法 (解析法)： 用数学式子（等式）表示两个变量之间的对应关系。例如 ， (其中 是圆面积， 是半径)。 · （图像法将在后续小节学习） 知识点总结 1. 常量与变量： 区分变化过程中数值不变的量（常量）和数值变化的量（变量）。 2. 函数的核心： 两个变量 、，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应， 是 的函数， 是自变量。 3. 判断是否为函数关系： 关键看对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应。 4. 函数值： 自变量取特定值时，因变量的对应值。 巩固练习 一、选择题 1．在球的体积公式V= πr3中，下列说法正确的是（　　） A．V、π、r是变量， 是常量 B．V、r是变量， 是常量 C．V、r是变量， π是常量 D．以上都不对 2．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，当时，的值为（　　） A． B． C． D． 4．小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，把两个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当时，的值是（　　） A． B． C． D． 6．对于函数，下列结论正确的是（　　） A．函数图象与y轴的交点坐标是 B．函数图象经过点 C．y随x的增大面减小 D．此函数图象经过第一、二、三象限 7．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（　　） A． B． C． D． 8．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 9．王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 二、填空题 10． 如图，某植物天后的高度为，反映了与之间的关系，则该植物平均每天长高　 　cm. 11．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ -20 -10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 当空气温度为℃时，声音经过5s可以传播的路程是　 　米． 12．地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系： x/km 1 2 3 4 y/℃ 55 90 125 160 根据表格，估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为　 　km． 13．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 　 　km． 14．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水， 时注满水槽，水槽内水面的高度 与注水时间 之间的函数图象如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过　 　秒恰好将水槽注满. 15．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． （1）此变化过程中，　 　是自变量，　 　 是因变量． （2）甲的速度　 　 乙的速度．（大于、等于、小于） （3）6时表示　 　 ； （4）路程为150km，甲行驶了　 　 小时，乙行驶了　 　 小时． （5）9时甲在乙的　 　 （前面、后面、相同位置） （6）乙比甲先走了3小时，对吗？　 　 ． 三、解答题 16．我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟，t分钟内卫星绕地球的周数为N. （1）哪些是变量?哪些是常量? （2）你能写出N与t之间的关系式吗? 17．如图，每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有 枚棋子，设每个图案的棋子总数为S。 图中，棋子的排列有什么规律?S与n之间能用函数表达式表示吗?自变量n的取值范围是什么? 18．下列各题中分别有几个变量?其中某个变量能看成另一个变量的函数吗?若能，请写出自变量的取值范围. （1）北京市某天气温的变化情况如图所示； （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 sm，一般地，有经验公式 其中v表示刹车前汽车的速度(单位：km/h)； （3）在国内，将质量在100g以内的普通信函投寄到外埠，应付邮资见下表： 信件质量m/g 0<m≤20 20<m≤40 40<m≤60 60<m≤80 80<m≤100 邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 19．莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （1）根据如图所示，将表格补充完整； （2）设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是　 　． （3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 20．双休日，张老师从家出发，骑自行车去南街碳水王国游玩，途中仅在经过大佛城路口时遇到红灯，他本次骑自行车所经过的路程y米与所用时间x分钟的函数图象如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题： （1）张老师家到南街碳水王国的路程是　 　米；在大佛城路口遇红灯停留了　 　分钟． （2）如果骑车速度超过300米/分钟就存在安全隐患，那么张老师从通过大佛城红绿灯后到南街碳水王国，这段时间的平均速度是否存在安全隐患？请说明理由． 参考答案 1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．0.7 11． 12．6 13．1350 14．4 15．t；s；小于；乙追赶上了甲；9；4；后面；不对 16．（1）解：N，t是变量，106是常量． （2）解： 17．解：当n=2时，S1=4×1 ； 当n=3时，S2=4×2 ； 当n=4时，S3=4×3 ； 当n=5时， 1)=4n-4 ，即 18．（1）解：含有两个变量，温度可以看成时间的函数，自变量时间的取值范围为0≤t<24； （2）解：含有两个变量，汽车紧急刹车后滑行s是刹车前汽车的速度y的函数，自变量y的取值范围为y≥0； （3）解：含有两个变量，邮资y可以看成信件质量m的函数，自变量信件质量m的取值范围为0<m≤100. 19．（1）解将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （2） （3）解：当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根． 20．（1）2000；1 （2）解：不存在安全隐患．理由如下： （米/分钟） ∵280<300． ∴不存在安全隐患． 学科网（北京）股份有限公司 $$