第02讲 定义新运算（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第02讲 定义新运算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 初步理解“定义新运算”的含义，知道它是一种人为规定的运算规则。 2.掌握方法： 学会认真阅读并准确理解新运算符号所代表的运算规则。 3.熟练计算： 能够严格按照新运算的规则，正确进行直接计算、含括号的计算以及嵌套运算。 4.解决问题： 能够运用新运算规则解决简单的实际问题，包括反求未知数、比较大小和探索简单规律等。 5.培养能力： 培养阅读理解能力、逻辑思维能力、迁移运用能力和细心审题的良好习惯。 知识梳理 知识点一、什么是“定义新运算” 1.“定义新运算”是指在题目中，给出一个（或几个）不同于我们常用的“+、-、×、÷”的新的运算符号（比如：△、☆、※、○、□、⊕、★等等），并人为地规定了这个（或这些）新运算符号所代表的运算规则。我们需要根据这个规定的规则，来进行计算或解决问题。 2.核心： 理解新符号的运算规则，并严格按照规则进行计算。 知识点二、解题的关键步骤 1.读懂规则： 这是最重要的一步。仔细阅读题目，弄清楚新运算符号（比如“△”）是如何定义的。通常会用一个公式或文字描述来给出规则，例如：“a△b = a×b + a - b”，或者“规定 a☆b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 2 倍”。 2.严格按照规则代入计算： 理解规则后，将题目中给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算步骤进行替换和计算。不要受我们习惯的“+、-、×、÷”运算规则的干扰。 （1）注意字母的顺序： 新运算中，字母的顺序（如 a△b 中的 a 和 b）通常很重要，不能随意交换，除非规则本身允许（例如规则定义为 a△b = a + b，那么 a△b 和 b△a 结果相同）。 （2）注意运算的优先级： 如果新运算式中含有我们熟悉的“+、-、×、÷”运算，或者有括号，要注意运算的优先级，通常和我们常规的运算优先级一致（先乘除后加减，有括号先算括号内）。如果题目有特殊说明，则按题目说明。 3.检查结果： 计算完成后，可以简单检查一下是否严格按照规则进行，避免因粗心导致的错误。 知识点三、常见的题型与解题方法 1.直接计算型： （1）特征： 给出新运算的定义，直接要求计算某个具体的新运算式子的值。 （2）方法： 严格按照定义的规则，将数字代入，逐步计算。 （3）例如： 定义 a※b = (a + b) × 2 - a，求 3※5 的值。 解：3※5 = (3 + 5) × 2 - 3 = 8×2 -3 = 16 -3 = 13。 2.含有括号的运算型： （1）特征： 新运算式中含有括号，需要先算括号内的新运算。 （2）方法： 与常规运算一样，先算小括号里面的，再算括号外面的。 （3）例如： 定义 a#b = a÷b + a (b≠0)，求 (4#2)#1 的值。 解：先算 4#2 = 4÷2 +4 = 2 +4 =6；再算 6#1 =6÷1 +6 =6 +6=12。所以 (4#2)#1 =12。 3.反求未知数型（已知运算结果，求式中的未知数）： （1）特征： 给出新运算的定义，以及运算的结果，求参与运算的某个未知数。 （2）方法： 将未知数看作已知数，按照新运算规则列出方程（或等式），然后通过解方程（或逆推）求出未知数的值。 （3）例如： 定义 a△b = a×3 + b×2，若 5△x = 23，求 x 的值。 解：根据定义，5△x =5×3 + x×2 =15 + 2x。已知 15 + 2x =23，所以 2x=23-15=8，x=4。 4.多个新运算符号或嵌套运算： （1）特征： 题目中出现不止一种新运算符号，或者新运算中嵌套了新运算。 （2）方法： 分别理解每种新运算的规则，从最内层或最容易计算的部分入手，逐步向外计算。 （3）例如： 定义 a○b = a + b -1，a◇b = a×b -1，求 (2○3)◇4 的值。 解：先算 2○3 =2+3-1=4；再算 4◇4=4×4-1=16-1=15。 5.探索规律型： （1）特征： 给出新运算定义，探索新运算具有的某些性质（如交换律、结合律等）。 （2）方法： 分别计算出各算式的结果，再观察规律。判断是否满足交换律（a△b 是否等于 b△a）、结合律（(a△b)△c 是否等于 a△(b△c)）等，需要通过举例验证。 知识点四、易错点提醒 1.看错运算规则： 这是最常见的错误。务必一字一句读清楚新运算的定义。 2.混淆运算符号： 尤其是题目中出现多个新运算符号时，不要用混规则。 3.运算顺序错误： 特别是在有括号或混合了常规运算时，要遵循运算顺序。 4.代入数值错误： 在替换字母时，将数字的位置放错，或者漏看、看错数字。 5.计算粗心： 即使规则理解正确，也可能在具体计算步骤中出错。 例题讲解 一、直接计算型 【例题1】对于两个数a、b，定义一种运算“*”，a*b=3a-2b，则4*5=　 　。 【例题2】对于任意的两个自然数a、b，有a※b=a×b-(a+b)，则143※7=　 　。 【例题3】对任意自然数a，b，定义新运算“▼”： 求12▼4 的值。 二、含有括号的运算型 【例题1】对于任意数 ， 定义运算 “*” 为 ， 则 　 　。 【例题2】定义运算符号“”的意义为： （其中 都不为 0 ） 则 　 　。 【例题3】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 三、反求未知数型（已知运算结果，求式中的未知数） 【例题1】如果a△b表示，例如3△4，那么，当a△5=30时，a=　 　。 【例题2】设a，b是两个非零的数，定义，若m3=3，则m的值是　 　。 【例题3】设A和B是任意数，定义： A*B = AB-(A+B)，已知(x*2)*8=6，求x的值。 四、多个新运算符号或嵌套运算 【例题1】定义a⊗b=a÷b，a⊕b=a×b，那么的值是　 　。 【例题2】对于两个数 a.b. 规定一种新运算， ， 那么 　 　。 【例题3】定义新运算“△”和“☆”：a △ b = a×2 + b，a ☆ b = a + b×2。计算 3 △ (4 ☆ 5) 的值。 【例题4】对两个整数a和b定义新运算“▽”：a▽b= ，求2▽6+3▽9的值。 五、探索规律型 【例题1】定义新运算“@”如下：当a>b时，a@b=b；当a<b时，a@b=a。 当x=2时，(1@x)@(3@x)=　 　。 【例题2】已知：10△3=14，8△7=2，△，根据这几个算式找规律，如果△=1，那么=　 　。 【例题3】规定6*2=6+66=72，2*3=2+22+222=246，1*4=1+11+111+1111=1234，求7*5 的值。 【例题4】定义新运算“△”：a △ b = (a + b) ÷ 2。 （1）计算 (1 △ 3) △ 5 和 1 △ (3 △ 5) 的值。 （2）这个运算是否满足结合律？(即 (a△b)△c 是否等于 a△(b△c) ) 考点练习 一、直接计算型 1．如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是　 　。 2．如果m※ 那么 4※5=　 　。 3． 对于数a，b定义一种新的运算“⊙”，规定 那么4 　 　。 4．若表示，求的值。 5．对于任意的整数x与y定义新运算“△”：，求2△9。 二、含有括号的运算型 1．如果A*B=A÷2+B，那么4*(6*8)的结果是　 　。 2． 表示=　 　。 3．定义一种新运算“△”，其意义是，则　 　。 4．设分别表示两个数，如果，如。则　 　。 5． 、表示数，表示，求3（68） 三、反求未知数型（已知运算结果，求式中的未知数） 1．对于任意自然数a，b，规定a*b=2a+6b，已知 那么 =　 　。 2．规定，如果 ，那么A＝　 　。 3．定义新运算“⊕”：a ⊕ b = a×b + a，若 3 ⊕ x = 21，求 x 的值。 4．“*”表示一种运算符号，它的含义是：，已知，求。 5．对于数a，b规定运算“△”为。若等式 成立，求a的值。 四、多个新运算符号或嵌套运算 1．定义两种运算：a△b=（a+b）÷2，a*b=ab-a，那么：4△（0.3*7）=　 　。 2．如果规定：a*b=3b-a，则（6*3）*（10*9）=　 　。 3．定义新运算：及*如下：，，则　 　。 4．规定新运算 ， 则 　 　。 5．对于任意两个数x和y定义新运算，运算规则如下：按此规则计算：2◆(7.5◇5)。 6．x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m，n，k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。 五、探索规律型 1．规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=　 　。 2．定义新运算：那么(2△3)+(3△4)=　 　。 3．“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n 　 　。 4．现在定义一种运算“”，我们规定则 (共9次运算)=　 　。 5．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）] 6．观察下列算式： 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算（3※2）×5。 7．如果、b、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 （1）+b=b+a； （2）。 现在规定一种运算"*"，它对于整数a、b、c、d满足：（a，b）*（c，d）=（a×c+b×d，a×c-b×d）。 例： 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。 8．对自然数 （大于 0）规定一种运算“ Boy G”： ①当 是小于 182 的数时， 。 ②当 是大于等于 182 的数时， 等于 除以 182 的余数。将 次 “ ”运算记作 ，如： BoyG ， (因为 656 除以 182 商 3 余 110 )。 计算： （1） 的值； （2） 的值； （3）BoyG 的值. 9．材料1：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上：个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程，如：判断96057能否被13整除过程如下： 9605 +4×7-9633， 963+4×3 =975， 97+4×5=17， 11+4×7=39， 39÷13=3.所以96057能被13整除， 材料2：一个三位正整数，若其百位数字恰好等于十位数字与个位数字的和，则我们称这个三位数为“元友数”例如： 321， 734，110等皆为“元友数”。将一个“元友数”的百位数字放在其十位数字与个位数字组成的两位数的右边得到-一个新的三位数，我们把这个新的三位数叫做这个“元友数”的“位移数”，如“元友数”734的“位移数”是347 （1）77831能否被13整除？答：（填“能”或“否”）.猜想一个“元友数”减去其个位数字的2倍所得的差能否被11整除，并说明理由。. （2）已知一个元有数减去它的“位移数”所得的差能被13整除，试求出符合此条件的所有“元友数”。 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 定义新运算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 初步理解“定义新运算”的含义，知道它是一种人为规定的运算规则。 2.掌握方法： 学会认真阅读并准确理解新运算符号所代表的运算规则。 3.熟练计算： 能够严格按照新运算的规则，正确进行直接计算、含括号的计算以及嵌套运算。 4.解决问题： 能够运用新运算规则解决简单的实际问题，包括反求未知数、比较大小和探索简单规律等。 5.培养能力： 培养阅读理解能力、逻辑思维能力、迁移运用能力和细心审题的良好习惯。 知识梳理 知识点一、什么是“定义新运算” 1.“定义新运算”是指在题目中，给出一个（或几个）不同于我们常用的“+、-、×、÷”的新的运算符号（比如：△、☆、※、○、□、⊕、★等等），并人为地规定了这个（或这些）新运算符号所代表的运算规则。我们需要根据这个规定的规则，来进行计算或解决问题。 2.核心： 理解新符号的运算规则，并严格按照规则进行计算。 知识点二、解题的关键步骤 1.读懂规则： 这是最重要的一步。仔细阅读题目，弄清楚新运算符号（比如“△”）是如何定义的。通常会用一个公式或文字描述来给出规则，例如：“a△b = a×b + a - b”，或者“规定 a☆b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 2 倍”。 2.严格按照规则代入计算： 理解规则后，将题目中给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算步骤进行替换和计算。不要受我们习惯的“+、-、×、÷”运算规则的干扰。 （1）注意字母的顺序： 新运算中，字母的顺序（如 a△b 中的 a 和 b）通常很重要，不能随意交换，除非规则本身允许（例如规则定义为 a△b = a + b，那么 a△b 和 b△a 结果相同）。 （2）注意运算的优先级： 如果新运算式中含有我们熟悉的“+、-、×、÷”运算，或者有括号，要注意运算的优先级，通常和我们常规的运算优先级一致（先乘除后加减，有括号先算括号内）。如果题目有特殊说明，则按题目说明。 3.检查结果： 计算完成后，可以简单检查一下是否严格按照规则进行，避免因粗心导致的错误。 知识点三、常见的题型与解题方法 1.直接计算型： （1）特征： 给出新运算的定义，直接要求计算某个具体的新运算式子的值。 （2）方法： 严格按照定义的规则，将数字代入，逐步计算。 （3）例如： 定义 a※b = (a + b) × 2 - a，求 3※5 的值。 解：3※5 = (3 + 5) × 2 - 3 = 8×2 -3 = 16 -3 = 13。 2.含有括号的运算型： （1）特征： 新运算式中含有括号，需要先算括号内的新运算。 （2）方法： 与常规运算一样，先算小括号里面的，再算括号外面的。 （3）例如： 定义 a#b = a÷b + a (b≠0)，求 (4#2)#1 的值。 解：先算 4#2 = 4÷2 +4 = 2 +4 =6；再算 6#1 =6÷1 +6 =6 +6=12。所以 (4#2)#1 =12。 3.反求未知数型（已知运算结果，求式中的未知数）： （1）特征： 给出新运算的定义，以及运算的结果，求参与运算的某个未知数。 （2）方法： 将未知数看作已知数，按照新运算规则列出方程（或等式），然后通过解方程（或逆推）求出未知数的值。 （3）例如： 定义 a△b = a×3 + b×2，若 5△x = 23，求 x 的值。 解：根据定义，5△x =5×3 + x×2 =15 + 2x。已知 15 + 2x =23，所以 2x=23-15=8，x=4。 4.多个新运算符号或嵌套运算： （1）特征： 题目中出现不止一种新运算符号，或者新运算中嵌套了新运算。 （2）方法： 分别理解每种新运算的规则，从最内层或最容易计算的部分入手，逐步向外计算。 （3）例如： 定义 a○b = a + b -1，a◇b = a×b -1，求 (2○3)◇4 的值。 解：先算 2○3 =2+3-1=4；再算 4◇4=4×4-1=16-1=15。 5.探索规律型： （1）特征： 给出新运算定义，探索新运算具有的某些性质（如交换律、结合律等）。 （2）方法： 分别计算出各算式的结果，再观察规律。判断是否满足交换律（a△b 是否等于 b△a）、结合律（(a△b)△c 是否等于 a△(b△c)）等，需要通过举例验证。 知识点四、易错点提醒 1.看错运算规则： 这是最常见的错误。务必一字一句读清楚新运算的定义。 2.混淆运算符号： 尤其是题目中出现多个新运算符号时，不要用混规则。 3.运算顺序错误： 特别是在有括号或混合了常规运算时，要遵循运算顺序。 4.代入数值错误： 在替换字母时，将数字的位置放错，或者漏看、看错数字。 5.计算粗心： 即使规则理解正确，也可能在具体计算步骤中出错。 例题讲解 一、直接计算型 【例题1】对于两个数a、b，定义一种运算“*”，a*b=3a-2b，则4*5=　 　。 【答案】2 【解析】【解答】解：4*5=3×4-2×5=12-10=2。 故答案为：2。 【分析】根据定义的新运算a*b=3a-2b，得出4*5=3×4-2×5=12-10=2。 【例题2】对于任意的两个自然数a、b，有a※b=a×b-(a+b)，则143※7=　 　。 【答案】851 【解析】【解答】解：143※7=143×7-（143+7）=1001-150=851 故答案为：851。 【分析】※ 表示的运算顺序是：这两个数的积-这两个数的和。 【例题3】对任意自然数a，b，定义新运算“▼”： 求12▼4 的值。 【答案】12▼4 =12×4-12-4 =48-12-4 =36-4 =32 【解析】【分析】本题考查定义新运算，12▼4 中12 相当于公式中的a，4相当于公式中的b，直接代入数字求解即可。 二、含有括号的运算型 【例题1】对于任意数 ， 定义运算 “*” 为 ， 则 　 　。 【答案】195 【解析】【解答】 故答案为：195。 【分析】根据新运算的定义把计算出来，再把4与计算结果代入式子计算即可。 【例题2】定义运算符号“”的意义为： （其中 都不为 0 ） 则 　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，得 (2*2)*2 = =1*2 = = 故答案为： 【分析】根据新定义运算规则，代入求值即可． 【例题3】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 【答案】解：由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7 【解析】【分析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算，a△b=（a+1）÷b，表示的含义是第一个数加上1之后再除以第二个数。 三、反求未知数型（已知运算结果，求式中的未知数） 【例题1】如果a△b表示，例如3△4，那么，当a△5=30时，a=　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：理解新运算符号△的含义： 根据题目，a△b表示(a-2)×b。 将题目条件转化为方程： 题目条件为a△5=30，根据新运算符号△的含义，可以将其转化为方程形式：(a-2)×5=30。 解方程求解a的值： 解方程(a-2)×5=30得到：a=8。 故答案为：8 【分析】首先，需要理解题目中定义的新运算符号△的含义。根据题目，a△b表示(a-2)×b。接着，将题目中的条件a△5=30转化为熟悉的方程形式，即(a-2)×5=30。最后，解这个方程，求出a的值。 【例题2】设a，b是两个非零的数，定义，若m3=3，则m的值是　 　。 【答案】3 【解析】【解答】解：根据新定义，可得 因为m3=3 所以， 解得，m=3 故答案为：3 【分析】根据新定义的运算法则： ，然后代入数据即可求解。 【例题3】设A和B是任意数，定义： A*B = AB-(A+B)，已知(x*2)*8=6，求x的值。 【答案】解：由定义得：x*2= 2x - (x+ 2) =x - 2， (x * 2) * 8= (x-2)×8-(x -2+8)=7x - 22， 已知： (x * 2)*8= 6，即： 7x- 22= 6 7x=6+22 x=28÷7 x=4 【解析】【分析】新运算规则是这两个数的乘积减去这两个数的和。根据新运算的运算规律先表示出x*2，然后表示出(x*2)*8，根据值是6得到一个方程，解方程即可求出x的值。 四、多个新运算符号或嵌套运算 【例题1】定义a⊗b=a÷b，a⊕b=a×b，那么的值是　 　。 【答案】 【解析】【解答】解： 原式＝ 故答案为：。 【分析】首先根据第二个定义，计算括号内的 再根据第一个定义计算即可。 【例题2】对于两个数 a.b. 规定一种新运算， ， 那么 　 　。 【答案】42 【解析】【解答】解： 故答案为：42 【分析】根据新定义规则，先把a=3，b=4代入规定中 计算出，再把a=2，b=18，再次代入规定中， 计算即可。 【例题3】定义新运算“△”和“☆”：a △ b = a×2 + b，a ☆ b = a + b×2。计算 3 △ (4 ☆ 5) 的值。 【答案】先算括号内的“☆”运算：4☆5=4 +5×2=4+10=14； 再算“△”运算：3△14=3×2 +14=6+14=20； 所以 3△(4☆5)=20。 【解析】【分析】本题涉及两种新运算，并且括号内外是不同的运算符号。需要仔细分辨哪个符号对应哪个规则，并从最内层的括号开始计算。 【例题4】对两个整数a和b定义新运算“▽”：a▽b= ，求2▽6+3▽9的值。 【答案】解：由已知得2▽6===4 3▽9===6 所以2▽6+3▽9=4+6=10 【解析】【分析】根据新定义的公式a▽b=把数值代入，分别求出2▽6和3▽9的值，再把两个结果相加即可得出答案。 五、探索规律型 【例题1】定义新运算“@”如下：当a>b时，a@b=b；当a<b时，a@b=a。 当x=2时，(1@x)@(3@x)=　 　。 【答案】1 【解析】【解答】解：当x=2时，1@x=1@2=1，3@x=3@2=2，因此(1@x)@(3@x)=1@2=1。 故答案为：1。 【分析】根据新运算的运算规则，分别计算出“1@x”与“3@x”的值，进而求出整个式子的值。 【例题2】已知：10△3=14，8△7=2，△，根据这几个算式找规律，如果△=1，那么=　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：通过观察已知的算式，可以发现一个规律： 根据找出的规律，可以将其应用到新的算式中，得到： 求解x的值：解得 故答案为： 【分析】首先，通过观察已知的算式，我们需要找出运算符号的运算规律。然后，将找出的规律应用到新的算式中，通过代数运算求解未知数x的值。 【例题3】规定6*2=6+66=72，2*3=2+22+222=246，1*4=1+11+111+1111=1234，求7*5 的值。 【答案】解：7*5=7+77+777+7777+77777 =7×（1+11+111+1111+11111） =7×（1234+11111） =7×12345 =86415 答： 7*5得值为86415。 【解析】【分析】根据题干给出的定义，得7*5=7+77+777+7777+77777，然后提公因式7进行计算即可。 【例题4】定义新运算“△”：a △ b = (a + b) ÷ 2。 （1）计算 (1 △ 3) △ 5 和 1 △ (3 △ 5) 的值。 （2）这个运算是否满足结合律？(即 (a△b)△c 是否等于 a△(b△c) ) 【答案】(1) 1△3=(1+3)÷ 2=2，2△5=(2+5)÷ 2=3.5； 3△5=(3+5)÷ 2=4，1△4=(1+4)÷ 2=2.5。3.5 ≠ 2.5。 （2）因为 (1△3)△5 ≠ 1△(3△5)，所以这个运算不满足结合律。 【解析】【分析】本题考查对结合律的探索。通过具体的嵌套运算示例，计算并比较结果，从而判断新运算是否满足结合律。这个过程强调了实证的重要性，不能仅凭感觉判断。 考点练习 一、直接计算型 1．如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：∵a※b=13×a−b÷8， ∴17※24=13×17−24÷8=221−3=218． 故答案为：218 【分析】由新运算的定义，代入计算即可．本题考查新定义运算及有理数的混合运算，理解新定义，正确计算是解题的关键． 2．如果m※ 那么 4※5=　 　。 【答案】49 【解析】【解答】解：设m=4，n=5。 4※5= 42-52+2×4×5=16-25+40=49 故答案为：49。 【分析】根据m※n=n2−m2+2mn计算 4※5，将 m=4 和 n=5 代入公式中，得到：4※5=52−42+2×4×5，按照运算的优先级（先乘除后加减，先算括号里的）进行计算即可。 3． 对于数a，b定义一种新的运算“⊙”，规定 那么4 　 　。 【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：。 【分析】根据新运算的定义将a=4，b=代入式子中，按照先乘除后加减的顺序进行计算，得出正确结果。 4．若表示，求的值。 【答案】解：由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【解析】【分析】根据题意，A*B所表达的意义：先计算出A+3B的结果，在计算A+B的结果，最后两个结果求乘积，这样就把A*B转化为含有括号的四则运算 （5＋3×7）×（5＋7） ，最后按照有括号的四则运算顺序解答即可。 5．对于任意的整数x与y定义新运算“△”：，求2△9。 【答案】解：根据定义 于是有 【解析】【分析】x△y的含义是，算求出它们两个数与6的乘积，再算出第一个数与第二个数的2倍的和，最后用积除以和。 二、含有括号的运算型 1．如果A*B=A÷2+B，那么4*(6*8)的结果是　 　。 【答案】13 【解析】【解答】解：6*8=6÷2+8=11 4*(6*8)=4*11=4÷2+11=13。 故答案为：13。 【分析】依据规定的新运算，A*B=A÷2+B，先算括号里面的，再算括号外面的。 2． 表示=　 　。 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：根据题目中给出的运算规则，首先将和替换为具体的数值，即： (2008*2010)*2009 = [(2008+2010)÷2]*2009 接着，计算括号内的部分： [(2008+2010)÷2] = [4018÷2] = 2009 现在，得到了一个新的表达式： 再次应用题目中的运算规则，计算：(2009+2009)÷2 = 4018÷2 = 2009 因此，最终的结果是： 故答案为：2009 【分析】首先，需要理解题目中给出的特殊运算规则，即M*N = (M+N)÷2.然后，将这个规则应用到给定的表达式中，进行逐步计算，最终得出结果。这道题目考察了对特殊运算规则的理解和应用能力。通过将给定的运算规则应用到具体的数值表达式中，进行逐步计算，最终得出结果。 3．定义一种新运算“△”，其意义是，则　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：将，代入定义式，得到： 因此，最终结果是。 故答案为： 【分析】此题考查新运算的定义应用与代数表达式的计算。首先，需要理解新运算“”的定义，即对于任意的a和b，有。题目要求我们计算的是，这意味着首先需要计算括号内的新运算，然后再将结果乘以5。 4．设分别表示两个数，如果，如。则　 　。 【答案】（） 【解析】【解答】解： （） 故答案为：（） 【分析】根据新定义规则，先把a=6，b=5代入规定中计算出=20，再把，再次代入规定中计算即可。 5． 、表示数，表示，求3（68） 【答案】解： =5 【解析】【分析】P*Q表示的含义是先把两个数相加，得到的和再除以2；但是本题中，我们需要先算出6*8的结果7，再算出3*7的结果。 三、反求未知数型（已知运算结果，求式中的未知数） 1．对于任意自然数a，b，规定a*b=2a+6b，已知 那么 =　 　。 【答案】896 【解析】【解答】解：根据题意，可得 x*(3*5)=x*36=2008 2x+6×36=2008 x=896 故答案为：896 【分析】根据新定义的要求：a*b=2a+6b，然后逐层求解即可。 2．规定，如果 ，那么A＝　 　。 【答案】9 【解析】【解答】解：根据定义新运算可知： 故答案为：9 【分析】根据定义新运算将已知信息代入到算式中即可得到答案。 3．定义新运算“⊕”：a ⊕ b = a×b + a，若 3 ⊕ x = 21，求 x 的值。 【答案】根据定义：3⊕x=3×x +3=3x+3。 已知3x+3=21， 解方程：3x=21-3 3x=18 x=18÷3 x=6 【解析】【分析】本题使用反求未知数的方法。需要准确理解“a×b +a”中a是第一个数，b是第二个数，并正确代入列出方程。 4．“*”表示一种运算符号，它的含义是：，已知，求。 【答案】解：根据题意得 A=1 ，所以 【解析】【分析】由题意可知，，而，把x=2，y=1代入，通过计算可得到A的值，然后把x=1998，y=1999代入，即可求得。 5．对于数a，b规定运算“△”为。若等式 成立，求a的值。 【答案】解：∵=(a+1)×(a+1) ∴ ∴ ∴ ∴ ∴a=0 【解析】【分析】本题关键在于依据给定的运算规则，逐步对等式中的各项进行转化与化简，先算出的值，接着分别计算等式左右两边的式子，然后将等式展开，通过移项、合并化简等操作，最终求出a的值。 四、多个新运算符号或嵌套运算 1．定义两种运算：a△b=（a+b）÷2，a*b=ab-a，那么：4△（0.3*7）=　 　。 【答案】2.9 【解析】【解答】解：0.3*7=0.3×7-0.3=1.8 4△（0.3*7）=4△1.8=（4+1.8）÷2=2.9 故答案为：2.9。 【分析】根据题目所给公式，将数据代入计算，先计算括号里面的，再计算括号外面的。 2．如果规定：a*b=3b-a，则（6*3）*（10*9）=　 　。 【答案】63 【解析】【解答】解：根据新定义运算规则，可得 （6*3）*（10*9） = = = = =66-3 =63 故答案为：63 【分析】根据新定义运算规则，进行运算即可。 3．定义新运算：及*如下：，，则　 　。 【答案】570 【解析】【解答】解：先把（34）代入xy=xy+x+y中，得： （3×4＋3＋4）5 ＝（12＋3＋4）5 ＝195 再把19和5代入xy=6xy中，得： 6×19×5 ＝570 故答案为：570 【分析】观察题干可知，定义新运算：及，按照其规定的运算方法计算，先把（34）代入xy=xy+x+y中计算出结果，再把所得结果和5代入xy=6xy 4．规定新运算 ， 则 　 　。 【答案】98 【解析】【解答】解：68＝6＋8－1＝13 35＝3× 5－2＝13 （68）⊕（35）＝1313＝13＋13－1＝25 4[（68）⊕（35）] ＝4 25 ＝4× 25－2 ＝98 故答案为：98。 【分析】ab=a+b-1表示两个数的和减1，表示两个数的积减2；根据这两种运算方法计算即可。 5．对于任意两个数x和y定义新运算，运算规则如下：按此规则计算：2◆(7.5◇5)。 【答案】解：7.5◇5 =7.5+5÷2 =10 2◆(7.5◇5) =2◆10 =2×10-2÷2 =20-1 =19 【解析】【分析】观察运算规则，根据，先算7.5◇5得到结果后，再根据，计算即可。 6．x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m，n，k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。 【答案】解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以m+2n=5 又因为m，n均为自然数， 所以： ①当m=1，n=2时： （2*3）△4 =（1×2+2×3）△4 =8△4 =k×8×4 =32k 32k=64 k=2 ②当m=3，n=1时： （2*3）△4 =（3×2+1×3）△4 =9△4 =k×9×4 =36k 36k=64 k= 所以m=1，n=2，k=2． （1△2）*3 =（2×1×2）*3 =4*3 =1×4+2×3 =10 【解析】【分析】根据定义新运算之规定，和已知的结果，分别求出m、n、k（均为自然数）的傎，再求（1△2）*3的值。 五、探索规律型 1．规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：根据题目中的定义，逐一计算每个表达式的值： (1) 计算(2☆3)的值：由于2 < 3，根据定义，(2☆3) = 2 × 3 = 6 (2) 计算(4☆4)的值：由于4 = 4，根据定义，(4☆4) = 4 - 4 + 1 = 1 (3) 计算(7☆5)的值：由于7 > 5，根据定义，(7☆5) = 7 + 5 = 12 (4) 计算(2☆3) + (4☆4) + (7☆5)的值： 将上述三个结果相加，得到：(2☆3) + (4☆4) + (7☆5) = 6 + 1 + 12 = 19 故答案为：19 【分析】首先，需要理解题目中定义的新运算“☆”。根据题目，这个运算有三种不同的行为，分别对应于操作数a和b的大小关系。然后，需要根据这个定义，逐一计算每个表达式的值。最后，将这些值相加，得到最终结果。 2．定义新运算：那么(2△3)+(3△4)=　 　。 【答案】 【解析】【解答】 解： 2△3=××=；3△4=×××=； （2△3）+（3△4）=+=+=。 故答案为：。 【分析】本题涉及到根据给定示例定义新运算的概念。根据2△4=×××和3△2=×可发现a△b的运算规律是××...×。再根据运算规律再分别计算出(2△3)和(3△4)的值，最后将它们相加。 3．“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n 　 　。 【答案】5 【解析】【解答】解：新运算符“⊙”的规则如下： 如果a⊙b，那么它表示从a开始的b个连续自然数的和。 现在，将已知条件代入规则：n⊙8=68，根据规则，这表示从n开始的8个连续自然数的和等于68。 接下来，解这个方程：n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7) = 68 解得：n = 5 故答案为：5 【分析】首先，需要观察给定的示例，以归纳出新运算符“⊙”的规则。然后，将已知条件代入规则，形成一个方程。最后，解这个方程，找出n的值。 4．现在定义一种运算“”，我们规定则 (共9次运算)=　 　。 【答案】1999999999 【解析】【解答】解：=1×9+1+9=19 =19×9+19+9=199 =199×9+199+9=1999 …… =199999999×9+199999999+9=1999999999 故答案为：1999999999。 【分析】观察题目，已知，首先计算出=1×9+1+9=19，进而计算，依次计算，可以发现规律，每次计算结果最高位均为1，并且运算的次数等于1后面9的个数，据此得出答案。 5．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）] 【答案】解： [（7◎3）&5]×[5◎（3&7）] =[3&5]×[5 ◎ 7] =5×5 =25 【解析】【分析】7＞3，得到7◎3=3，3&7=7； 3＜5，得到3&5=5； 5＜7，得到5 ◎ 7=5； 定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 6．观察下列算式： 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算（3※2）×5。 【答案】解：解：（3※2）×5 =（3+33）×5 =36×5 =180 【解析】【分析】通过观察发现，本题有这样一个规律：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都有a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位，那么3※2=3+33，可列式解答。 7．如果、b、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 （1）+b=b+a； （2）。 现在规定一种运算"*"，它对于整数a、b、c、d满足：（a，b）*（c，d）=（a×c+b×d，a×c-b×d）。 例： 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。 【答案】解： （2，1）*（4，3）=（2×4+1×3，2×4－1×3）=（11，5） （4，3）*（2，1）=（4×3+2×1，4×3－2×1）=（11，5） 所以“*”满足交换律 [（2，1）* （6，5）]*（4，3）=（17，7）=（11，5）* （4，3）= （89，47） （2，1）*[ （6，5）*（4，3）]=（2，1） * （39，9）= （87，69） 所以“*”不满足结合律 【解析】【分析】任意用一个字母表示一个数，分别探讨即可，当两个数组时，（A，B）*（C，D）=（AC+BD，AC-BD），而（C，D）*（A，B）=（CA+BD，CA-BD），因此两个数组时满足交换律；又因为（A，B）*[（C，D）*（E，F）]=（A，B）*（CE+DF，CE-DF）=(ACE+ADF+BCE-BDF，ACE+ADF-BCE+BDF)，与（A，B）*（C，D）*（E，F）不等，所以不满足结合律。 8．对自然数 （大于 0）规定一种运算“ Boy G”： ①当 是小于 182 的数时， 。 ②当 是大于等于 182 的数时， 等于 除以 182 的余数。将 次 “ ”运算记作 ，如： BoyG ， (因为 656 除以 182 商 3 余 110 )。 计算： （1） 的值； （2） 的值； （3）BoyG 的值. 【答案】（1）解： =5×2020+1=10100+1=10101 答： 的值是10101。 （2）解： =96 ==481 ==117（因为481除182商2余117） ==586 ==40（因为586除以182商3余40) 答： 的值是40。 （3）解：==5×40+1=201 ==19 （因为201除以182商1余19) ==5×19+1=96 故发现：每7组为一个循环 所以：2021÷7=288·····5 所以 BoyG ==40 答： BoyG 的值是40。 【解析】【分析】（1）根据题目 的新定义公式即可得出答案。 （2）解法同上题基本一致，特别注意题目对n的取值分成了两种不同的定义算法。 （3）通过枚举发现数列的规律以及周期变化，即可得出答案。 9．材料1：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上：个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程，如：判断96057能否被13整除过程如下： 9605 +4×7-9633， 963+4×3 =975， 97+4×5=17， 11+4×7=39， 39÷13=3.所以96057能被13整除， 材料2：一个三位正整数，若其百位数字恰好等于十位数字与个位数字的和，则我们称这个三位数为“元友数”例如： 321， 734，110等皆为“元友数”。将一个“元友数”的百位数字放在其十位数字与个位数字组成的两位数的右边得到-一个新的三位数，我们把这个新的三位数叫做这个“元友数”的“位移数”，如“元友数”734的“位移数”是347 （1）77831能否被13整除？答：（填“能”或“否”）.猜想一个“元友数”减去其个位数字的2倍所得的差能否被11整除，并说明理由。. （2）已知一个元有数减去它的“位移数”所得的差能被13整除，试求出符合此条件的所有“元友数”。 【答案】（1）解：能。理由如下： 设这个“元友数"的十位数字为 a，个位数字为b，则它的百位数字为(a+b) 所以这个“元友数"可以表示为100(a+b)+10a+b， 则100 ( a+b+10a+b-2b=100a+100b+10atb-2b =110a+99b =11(10a+9b) 所以一个“元友数"减去其个位数字的2倍所得的差能被11整除。 （2）解：设这个“元友数”的十位数字为a，个位数字为b，则它的百位数字为（a+b） 所以这个“元友数”可以表示为100（a+b）+10a+b， 它的位移数为100a+10b+a+b 因为一个“元友数”减去它的“位移数”，所得的差能被13整除 所以，100（a+b）+10a+b是13的倍数，即9（a+10b）是13的倍数 [100（a+b）+10a+b]-（100a+10b+a+b） 所以，a+10b是13的倍数 因为， 所以，符合条件的“元友数”为431、725和862 【解析】【分析】（1）理解材料1的判断方法即可进行判断问题1，再按材料2对“元友数”的定义正确表示即可进行说明； （2）理解材料2对“元友数”和“位移数”的定义正确表示它们的差，得到结果为9（a+10b），判断出（a+10b）是13的倍数，再列举得到答案． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$