第02讲 寻找规律（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第02讲 寻找规律 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.初步理解“规律”的含义，认识到寻找规律在数学学习和生活中的重要性； 2.学会观察数列的变化，能找出数字之间简单的排列规律（如递增、递减、累加、递减、隔项等）； 3.学会观察图形的变化，能找出图形的排列规律（如形状、颜色、位置、数量等的重复或变化）； 4.能够运用发现的规律，解决简单的填数、画图问题； 5.培养观察能力、分析能力和初步的逻辑推理能力，激发数学学习兴趣。 知识梳理 在数学中，“规律”就是按照一定的顺序排列或者变化的模式。寻找规律就是要仔细观察，发现这些模式，并利用它们来解决问题。 知识点一、数列中的规律 数列就是按照一定顺序排列的一串数。我们要学会观察数列中数字的变化，找到它们排列的秘密。 1.递增规律： 数列中的数字一个比一个大。 （1）依次加同一个数： 例如：1，3，5，7，9，（ ），（ ）… （规律：后一个数比前一个数多2） （2）依次加上不同但有规律的数： 例如：1，2，4，7，11，（ ），（ ）… （规律：依次加1，加2，加3，加4，加5…） 2.递减规律： 数列中的数字一个比一个小。 （1）依次减同一个数： 例如：10，8，6，4，2，（ ），（ ）… （规律：后一个数比前一个数少2） （2）依次减去不同但有规律的数： 例如：20，18，15，11，6，（ ）… （规律：依次减2，减3，减4，减5，减6…） 3.累加规律（兔子数列雏形）： 从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和。 （1）例如：1，1，2，3，5，8，（ ），（ ）… （规律：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8…） 4.隔项规律（跳着看）： 数列中奇数位上的数和偶数位上的数分别有各自的规律。 （1）例如：1，5，3，10，5，15，7，（ ），（ ）… （规律：奇数位：1，3，5，7…依次加2；偶数位：5，10，15…依次加5） 5.简单的倍数规律（乘法引入）： 数列中的数字依次乘同一个数（通常是较小的整数）。 （1）例如：2，4，8，16，（ ），（ ）… （规律：后一个数是前一个数的2倍） 知识点二、图形中的规律 图形的规律主要观察图形的形状、颜色、大小、方向、位置、数量等方面的重复出现或有序变化。 1.形状变化规律： 不同图形按照一定的顺序重复出现。 （1）例如：△□○△□○△□○… （规律：三角形、正方形、圆形依次重复） 2.颜色变化规律： 图形的颜色按照一定的顺序重复出现。 （1）例如：●○●○●○… （规律：黑色圆、白色圆依次重复） 3.位置变化规律： 图形的位置（如上、下、左、右、顺时针、逆时针）按照一定的顺序变化。 （1）例如：→↑←↓→↑←↓… （规律：向右、向上、向左、向下依次重复） 4.数量变化规律： 图形中包含的小图形数量按照一定的规律变化（递增、递减等）。 （1）例如：，，，… （规律：的数量依次加1） 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】找规律填空：9，13，17，21，25， ， … 【例题2】找规律填空：2，5，9，14，20， ， … 【例题3】找规律填空：35，30，25，20，15， ， … 【例题4】找规律填空：27，24，20，15，9， … 【例题5】找规律填空：2，2，4，6，10， ， … 【例题6】找规律填空：5，8，7，10，9，12， ， … 【例题7】找规律填空：2，6，18，54， ， … 【例题8】找规律，填空。 （1）64，32，　 　，8，4。 （2）　 　，9，27，81，243。 二、图形中的规律 【例题1】○☆◇○☆◇○☆◇…这样摆下去，第10个图形是 ，第11个图形是 。 【例题2】▲△○▲△○▲△○…这样摆下去，第10个图形是 ，第11个图形是 。 【例题3】→↑→↑→↑→↑…这样摆下去，第10个图形是 ，第11个图形是 。 【例题4】△△，△△△△，△△△△△△…按照这样的规律摆下去，第5个图形有 个△。 【例题5】▲□▲□▲□……第20个图形是　 　。第129个图形是　 　。 考点练习 一、数列中的规律 1．找规律填空。1，1，2，3，5，8，　 　。 2．找规律，填一填。4580，4680，4780，　 　，4980，　 　。 3．找规律填数。 18、19、21、　 　、28、　 　。 4．找规律填数：80，79，77，74，　 　，　 　。 5．找规律填一填。4，8，16，　 　，　 　 6．按规律填数： 23，69，207，　 　，　 　。 7．按规律填数。 （1）3060、3080、　 　、　 　。 （2）5015、5010、　 　、　 　。 8．按规律填数。 （1）49，45，42，40，　 　。 （2）5，9，17，33，　 　。 9．找规律填数。 （1）1，4，9，16，　 　，　 　。 （2）1095，1100，1105，　 　，　 　。 10．按规律填一填。 （1）1、2、2、4、8、　 　、　 　。 （2）1、4、9、16、　 　、　 　。 11．找规律填数 96，48，24，　 　，6，　 　； 1，3，7，15，31，　 　，　 　。 12．按规律填数。 （1）300，600，900，　 　，　 　，　 　 （2）111，222，　 　，　 　，　 　，666 13．按规律填数。 （1）4，7，10，13，　 　，　 　。 （2）84 ，72，60，　 　，　 　。 （3）2，6，18，　 　，　 　。 （4）625，125，25，　 　，　 　。 （5）1，4，9，16，　 　，　 　。 （6）2，6，12，20，　 　，　 　。 二、图形中的规律 1.观察图形，☆○△□☆○△□☆○△□…第13个图形是　 　。第14个图形是　 　。 2.观察图形，■■■□■■■□■■■□…第13个图形是　 　。第14个图形是　 　。 3.观察图形，，，…第5个图形有　 　个。 4．观察如图形，依照此规律，图形⑤需要　 　个。 ​ 5．按规律接着画。 →→→　 　→　 　 6． ○○△□○○△□○○△□……，这样摆下去，第25个图形是　 　，第35个图形是　 　。 7．一组图形按以下规律排列，如果一共摆了24个“●”，那么“★”可能有　 　个或　 　个。 ●★●★●★…… 8．……按规律往后摆，第45个图形是什么?前111个图形中有多少个? 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 寻找规律 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.初步理解“规律”的含义，认识到寻找规律在数学学习和生活中的重要性； 2.学会观察数列的变化，能找出数字之间简单的排列规律（如递增、递减、累加、递减、隔项等）； 3.学会观察图形的变化，能找出图形的排列规律（如形状、颜色、位置、数量等的重复或变化）； 4.能够运用发现的规律，解决简单的填数、画图问题； 5.培养观察能力、分析能力和初步的逻辑推理能力，激发数学学习兴趣。 知识梳理 在数学中，“规律”就是按照一定的顺序排列或者变化的模式。寻找规律就是要仔细观察，发现这些模式，并利用它们来解决问题。 知识点一、数列中的规律 数列就是按照一定顺序排列的一串数。我们要学会观察数列中数字的变化，找到它们排列的秘密。 1.递增规律： 数列中的数字一个比一个大。 （1）依次加同一个数： 例如：1，3，5，7，9，（ ），（ ）… （规律：后一个数比前一个数多2） （2）依次加上不同但有规律的数： 例如：1，2，4，7，11，（ ），（ ）… （规律：依次加1，加2，加3，加4，加5…） 2.递减规律： 数列中的数字一个比一个小。 （1）依次减同一个数： 例如：10，8，6，4，2，（ ），（ ）… （规律：后一个数比前一个数少2） （2）依次减去不同但有规律的数： 例如：20，18，15，11，6，（ ）… （规律：依次减2，减3，减4，减5，减6…） 3.累加规律（兔子数列雏形）： 从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和。 （1）例如：1，1，2，3，5，8，（ ），（ ）… （规律：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8…） 4.隔项规律（跳着看）： 数列中奇数位上的数和偶数位上的数分别有各自的规律。 （1）例如：1，5，3，10，5，15，7，（ ），（ ）… （规律：奇数位：1，3，5，7…依次加2；偶数位：5，10，15…依次加5） 5.简单的倍数规律（乘法引入）： 数列中的数字依次乘同一个数（通常是较小的整数）。 （1）例如：2，4，8，16，（ ），（ ）… （规律：后一个数是前一个数的2倍） 知识点二、图形中的规律 图形的规律主要观察图形的形状、颜色、大小、方向、位置、数量等方面的重复出现或有序变化。 1.形状变化规律： 不同图形按照一定的顺序重复出现。 （1）例如：△□○△□○△□○… （规律：三角形、正方形、圆形依次重复） 2.颜色变化规律： 图形的颜色按照一定的顺序重复出现。 （1）例如：●○●○●○… （规律：黑色圆、白色圆依次重复） 3.位置变化规律： 图形的位置（如上、下、左、右、顺时针、逆时针）按照一定的顺序变化。 （1）例如：→↑←↓→↑←↓… （规律：向右、向上、向左、向下依次重复） 4.数量变化规律： 图形中包含的小图形数量按照一定的规律变化（递增、递减等）。 （1）例如：，，，… （规律：的数量依次加1） 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】找规律填空：9，13，17，21，25， ， … 【答案】29；33 【解析】【解答】13-9=4，17-13=4，21-17=4，25-21=4，所以25+4=29，29+4=33。 故答案为：29；33。 【分析】规律是后一个数比前一个数多4。 【例题2】找规律填空：2，5，9，14，20， ， … 【答案】27；35 【解析】【解答】5-2=3，9-5=4，14-9=5，20-14=6，所以20+7=27，27+8=35。 故答案为：27；35。 【分析】规律是依次加3、加4、加5、加6、加7、加8。 【例题3】找规律填空：35，30，25，20，15， ， … 【答案】10；5 【解析】【解答】35-30=5，30-25=5，25-20=5，20-15=5，所以15-5=10，10-5=5。 故答案为：10；5。 【分析】规律是后一个数比前一个数少5。 【例题4】找规律填空：27，24，20，15，9， … 【答案】2 【解析】【解答】27-24=3，24-20=4，20-15=5，15-9=6，所以9-7=2。 故答案为：2。 【分析】规律是依次减3、减4、减5、减6、减7。 【例题5】找规律填空：2，2，4，6，10， ， … 【答案】16；26 【解析】【解答】2+2=4，2+4=6，4+6=10，所以6+10=16，10+16=26。 故答案为：16；26。 【分析】规律是从第三个数起，每个数是前两个数的和。 【例题6】找规律填空：5，8，7，10，9，12， ， … 【答案】11；14 【解析】【解答】奇数位第7位：9+2=11；偶数位第8位：12+2=14，所以填11，14。 故答案为：11；14。 【分析】奇数位（第1、3、5位）依次加2：5，7，9…；偶数位（第2、4、6位）依次加2：8，10，12… 【例题7】找规律填空：2，6，18，54， ， … 【答案】162；486 【解析】【解答】6=2×3，18=6×3，54=18×3，所以54×3=162，162×3=486。 故答案为：162；486。 【分析】后一个数是前一个数的3倍（依次乘3）。 【例题8】找规律，填空。 （1）64，32，　 　，8，4。 （2）　 　，9，27，81，243。 【答案】（1）16 （2）3 【解析】【解答】解：（1）32÷2=16； （2）9÷3=3。 故答案为：（1）16；（2）3。 【分析】（1）规律是：依次除以2； （2）规律是：依次乘3。 二、图形中的规律 【例题1】○☆◇○☆◇○☆◇…这样摆下去，第10个图形是 ，第11个图形是 。 【答案】○；☆ 【解析】【解答】第9个图形是◇，后面第10个：○，第11个：☆。 故答案为：○；☆。 【分析】循环单元“○☆◇”重复（3个图形一组）。 【例题2】▲△○▲△○▲△○…这样摆下去，第10个图形是 ，第11个图形是 。 【答案】▲；△ 【解析】【解答】第9个图形是○，后面第10个：▲，第11个：△。 故答案为：▲；△。 【分析】循环单元“▲△○”重复（3个颜色一组，▲=黑三角，△=白三角，○=白圆）。 【例题3】→↑→↑→↑→↑…这样摆下去，第10个图形是 ，第11个图形是 。 【答案】→；↑ 【解析】【解答】第8个方向是↑，后面第9个：→，第10个：↑。 故答案为：→；↑。 【分析】循环单元“→↑”重复（2个方向一组）。 【例题4】△△，△△△△，△△△△△△…按照这样的规律摆下去，第5个图形有 个△。 【答案】10 【解析】【解答】第3个图形是6个三角形，后面第4个：6+2=8个三角形，第5个：8+2=10个三角形。 故答案为：10。 【分析】三角的数量依次加2（2，4，6…）。 【例题5】▲□▲□▲□……第20个图形是　 　。第129个图形是　 　。 【答案】▲；□ 【解析】【解答】解：20÷3=6（组）……2（个） 129÷3=43（组） 所以第20个图形是▲；第129个图形是□。 故答案为：▲；□。 【分析】根据图示可知，每“▲□ ”3个图形一循环，计算第20个、第129个图形是第几组循环零几个图形，即可判断其形状。 考点练习 一、数列中的规律 1．找规律填空。1，1，2，3，5，8，　 　。 【答案】13 【解析】【解答】解：5＋8=13。 故答案为：13。 【分析】这组数的规律是：后面的一个数=相邻前面两个数的和。 2．找规律，填一填。4580，4680，4780，　 　，4980，　 　。 【答案】4880；5080 【解析】【解答】解：4780＋100=4880； 4980＋100=5080。 故答案为：4880；5080。 【分析】规律是：依次加上100。 3．找规律填数。 18、19、21、　 　、28、　 　。 【答案】24；33 【解析】【解答】 解：18+1=19， 19+2=21， 21+3=24， 24+4=28， 28+5=33。 故答案为：24；33。 【分析】 这列数的规律是，前一个数分别+1、+2、+3 ……得后一个数，据此计算即可。 4．找规律填数：80，79，77，74，　 　，　 　。 【答案】70；65 【解析】【解答】74-4=70 70-5=65。 故答案为：70；65。 【分析】规律是：依次减去1、2、3、4、5。 5．找规律填一填。4，8，16，　 　，　 　 【答案】32；64 【解析】【解答】解：16×2=32 32×2=64。 故答案为：32；64。 【分析】规律是：相邻的后面一个数=相邻的前面一个数×2。 6．按规律填数： 23，69，207，　 　，　 　。 【答案】621；1863 【解析】【解答】解：207×3=621，621×3=1863，所以23，69，207，621，1863。 故答案为：621；1863。 【分析】观察已知数字，后面的数字是相邻前一个数字的3倍，因此用前一个数字乘3求出相邻的后一个数字。按照这样的规律依次计算即可。 7．按规律填数。 （1）3060、3080、　 　、　 　。 （2）5015、5010、　 　、　 　。 【答案】（1）3100；3120 （2）5005；5000 【解析】【解答】解：（1）3080+20=3100、3100+20=3120， 3060、3080、3100、3120。 （2）5010-5=5005、5005-5=5000， 5015、5010、5005、5000。 故答案为：（1）3100；3120；（2）5005；5000。 【分析】（1）规律：依次加20； （2）规律：依次减5。 8．按规律填数。 （1）49，45，42，40，　 　。 （2）5，9，17，33，　 　。 【答案】（1）39 （2）65 【解析】【解答】（1）40-1=39 故答案为：39 （2）33+32=65 故答案为：65 【分析】（1）后一项与前一项差逐渐递减：4、3、2、1 （2）后一项与前一项差成倍数关系：4、8、16、32…… 9．找规律填数。 （1）1，4，9，16，　 　，　 　。 （2）1095，1100，1105，　 　，　 　。 【答案】（1）25；36 （2）1110；1115 【解析】【解答】解：（1）5×5=25，6×6=36， 1，4，9，16，25，36。 （2）1105+5=1110，1110+5=1115。 1095，1100，1105，1110，1115。 故答案为：（1）25；36；（2）1110；1115。 【分析】（1）规律：第几个数，就是几的平方； （2）规律：依次加5。 10．按规律填一填。 （1）1、2、2、4、8、　 　、　 　。 （2）1、4、9、16、　 　、　 　。 【答案】（1）32；256 （2）25；36 【解析】【解答】解：（1）1×2=2，2×2=4，2×4=8，4×8=32，8×32=256 （2）1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36 故答案为：（1）32；256；（2）25；36。 【分析】按规律确定所给数字前后的关系以及数字的关系与数字出现的顺序的关系进行分析。 11．找规律填数 96，48，24，　 　，6，　 　； 1，3，7，15，31，　 　，　 　。 【答案】12；3；63；127 【解析】【解答】解：24÷2=12，6÷2=3， 96，48，24，12，6，3； 31×2+1=63，63×2+1=127， 1，3，7，15，31，63，127。 故答案为：12；3；63；127。 【分析】第一题：规律：依次除以2； 第二题：规律：后面数字是前一数字的2倍加1。 12．按规律填数。 （1）300，600，900，　 　，　 　，　 　 （2）111，222，　 　，　 　，　 　，666 【答案】（1）1200；1500；1800 （2）333；444；555 【解析】【解答】解：（1）300×1=300；300×2=600；300×3=900；300×4=900=1200；300×5=900=1500；300×6=900=1800； （2）111×3=333；111×4=444；111×5=555。 故答案为：（1）1200；1500；1800；（2）333；444；555。 【分析】（1）规律是依次加300； （2）规律是111依次乘1、2、3、4、5、6。 13．按规律填数。 （1）4，7，10，13，　 　，　 　。 （2）84 ，72，60，　 　，　 　。 （3）2，6，18，　 　，　 　。 （4）625，125，25，　 　，　 　。 （5）1，4，9，16，　 　，　 　。 （6）2，6，12，20，　 　，　 　。 【答案】（1）16；19 （2）48；36 （3）54；162 （4）5；1 （5）25；36 （6）30；42 【解析】【解答】（1）13+3=16；16+3=19 故答案为：16；19 （2）60-12=48；48-12=36 故答案为：48；36 （3）18×3=54；54×3=162 故答案为：54；162 （4）25÷5=5，5÷5=1 故答案为：5；1 （5）5×5=25；6×6=36 故答案为：25；36 （6）20+（20-12）+2=30；30+（30-20）+2=42 故答案为：30；42 【分析】（1）前一个数加3等于后一个数； （2）前一个数减12等于后一个数； （3）前一个数乘3等于后一个数； （4）前一个数除以5等于后一个数； （5）第几项，就是第几项的平方即：n项=n2。 （6）从第三项起，第三项等于第二项加第二项减第一项加2，从第四项等于第三项加第三项减第二项加2，从第五项等于第四项加第四项减第三项加2，…… 二、图形中的规律 1.观察图形，☆○△□☆○△□☆○△□…第13个图形是　 　。第14个图形是　 　。 【答案】☆；○ 【解析】【解答】第12个图形是□，后面第13个：☆，第14个：○。 故答案为：☆；○。 【分析】循环单元“☆○△□”重复（4个图形一组）。 2.观察图形，■■■□■■■□■■■□…第13个图形是　 　。第14个图形是　 　。 【答案】■；■ 【解析】【解答】第12个图形是□，后面第13个：■，第14个：■。 故答案为：■；■。 【分析】循环单元“■■■□”重复（4个颜色一组）。 3.观察图形，，，…第5个图形有　 　个。 【答案】13 【解析】【解答】第3个图形是7个，后面第4个：7+3=10个，第5个：10+3=13个。 故答案为：13。 【分析】的数量依次加3（1，4，7…）。 4．观察如图形，依照此规律，图形⑤需要　 　个。 ​ 【答案】15 【解析】【解答】解：1+2+3+4+5 =3+3+4+5 =6+4+5 =10+5 =15 故答案为：15。 【分析】第一个图形有1个○，第二个图形有3个○，第三个图形有6个○，3=1+2，6=1+2+3，据此找出规律，所以第五个图形为1+2+3+4+5，据此算出即可。 5．按规律接着画。 →→→　 　→　 　 【答案】； 【解析】【解答】解：→→→→ 故答案为：；。 【分析】观察可知，图形是按照逆时针旋转，每次旋转90°。 6． ○○△□○○△□○○△□……，这样摆下去，第25个图形是　 　，第35个图形是　 　。 【答案】○；△ 【解析】【解答】解：，4个图形看做一组， 25÷4=6（组）......1（个），第25个图形是○， 35÷4=8（组）......3（个），第25个图形是 △ 。 故答案为：○； △ 。 【分析】图形的个数÷一组的个数=组数......余下的个数，余下的数字是几，图形就是下一组里面的第几个图形。 7．一组图形按以下规律排列，如果一共摆了24个“●”，那么“★”可能有　 　个或　 　个。 ●★●★●★…… 【答案】23；24 【解析】【解答】 一组图形按以下规律排列，如果一共摆了24个“●”，那么“★”可能有23个或24个。 ●★●★●★…… 故答案为：23；24。 【分析】观察图可得规律：这组图形是按“●★”循环排列的，由此得到“★”的数量。 8．……按规律往后摆，第45个图形是什么?前111个图形中有多少个? 【答案】第45个图形是 ；前111个图形中有28个。 【解析】【解答】解：45÷4=11（组）……1（个），即第45个图形是； 111÷4=27（组）……3（个），即第111个图形是，则一共有27+1=28（个）。 故答案为：C。 【分析】根据题意可知图形是按照共4个为一组重复排列的，因此，图形个数÷4=重复组数……剩余个数，如果有余数，则余数是几就是一组中的第几个图形，如果没有余数，则就是一组中的最后一个图形；因为一组中每一个图形都只能1个，所以有重复排列了几组，就有几个这样的图形，再根据余数判断所求图形有没有出现在不完整的一组中，如果有则图形个数=重复组数+1，如果没有则图形个数等于重复组数。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$