内容正文:
专题01 一元一次不等式(原卷版)
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一元一次不等式的定义 1
题型二、列一元一次不等式 1
题型三、不等式的基本性质 2
题型四、求一元一次不等式的解集(重点) 2
题型五、求一元一次不等式的整数解 3
题型六、在数轴上表示不等式的解集(常考点) 3
题型七、用一元一次不等式解决实际问题(难点) 3
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一元一次不等式的定义
1.已知是关于x的一元一次不等式,则k的值是( )
A.3 B. C. D.无法确定
2.下列不等式中,属于一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
3.下列是一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
4.若是关于的一元一次不等式,则 .
5.已知是关于x的一元一次不等式,求b的值.
题型二、列一元一次不等式
6.年亚洲杯足球又掀起了一股足球热,某市组织一场业余足球联赛,每一支队伍需要进行场比赛,胜一场得分,平一场得分,负一场得分,其中一支队伍在前场比赛中,负场,积分超过了分,设该球队胜了场,则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
7.交通法规人人遵守,文明城市处处安全.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标志,这是限制车高的标志,则通过该桥洞的车高的范围可表示为( ).
A. B. C. D.
8.m与10的和不大于m的一半,用不等式表示为 .
9.根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”: .
10.的4倍与8的和比的5倍大,则可列不等式为 .
题型三、不等式的基本性质
11.已知,,是实数,若,则( )
A. B. C. D.
12.若,则,a,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
13.已知,下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
14.根据不等式的基本性质,下列变形正确的是( )
A.由,得 B.由,得
C.由,得 D.由,得
15.如果,那么 (填“”或“”).
题型四、求一元一次不等式的解集
16.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
17.解一元一次不等式时,去分母正确的是( )
A. B.
C. D.
18.当 时,不等式恒成立.
19.解不等式:.
20.解下列不等式:
(1);
(2).
题型五、求一元一次不等式的整数解
21.不等式的非负整数解的个数为 个.
22.不等式的正整数解是 .
23.不等式的正整数解是 .
24.不等式的最小整数解是 .
25.(1)解不等式:,并写出所有符合条件的正整数解.
(2)求不等式的非正整数解.
题型六、在数轴上表示不等式的解集
26.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
27.若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示,则a的值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
28.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
29.解不等式:,并把解集在数轴上表示出来.
30.解不等式,并把解集表示在数轴上:.
题型七、用一元一次不等式解决实际问题
31.湛江海湾大桥是一座连接坡头区与霞山区的跨海大桥.该大桥限重标志牌显示,载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行.现有一辆自重15吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少;
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥,一次最多可运输多少套这种设备.
32.某商场出售小套装和大套装两种,已知购买1个大套装比购买1个小套装多需70元;购买3个小套装和2个大套装,共需390元.
(1)试列二元一次方程组来求解这两种套装的单价;
(2)某校计划用不多于1350元的资金购买这两种吉祥物套装共20个作为奖品,则该校最多可以购买大套装多少个?
33.某商店购进一吉祥物的摆件和挂件共180个进行销售.已知摆件的进价为80元/个,挂件的进价为50元/个.
(1)若购进摆件和挂件共花费了11400元,请分别求出购进摆件和挂件的数量;
(2)该商店计划将摆件的售价定为100元/个,挂件的售价定为60元/个,若购进的180个摆件和挂件全部售完,且至少盈利2900元,求购进的挂件不能超过多少个.
34.某校欲租用租赁公司的甲、乙两种型号的大巴车共8辆(两种车型都要租用),将部分师生送去植物园游玩,相关的租车信息如下:
信息一:若租用3辆甲型大巴、5辆乙型大巴共可载客435人;
若租用6辆甲型大巴、2辆乙型大巴共可载客390人.
信息二:
型号
甲型大巴
乙型大巴
租金/元
500
700
(1)求每辆甲型大巴、乙型大巴的载客量.
(2)若此次游玩租车的总租金计划不超过4600元,则最少租用甲型大巴多少辆?此时可装载多少名师生去游玩?
35.在某市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为的区域进行绿化,经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完成绿化面积的2倍,如果两工程队各自独立完成的绿化面积,那么甲工程队比乙工程队少用6天.
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少?
(2)若甲工程队每天绿化费用为1.2万元,乙工程队每天绿化费用为0.5万元,社区要使这次绿化的总费用不超过40万元,且乙工程队施工时间不超过36天,则一共有多少种安排方案?(工作天数为整数)
1.(2025·吉林·中考真题)不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2.(2025·广西·中考真题)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,,都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( )
A. B. C. D.
3.(2025·陕西西安·模拟预测)不等式组的解集表示在数轴上正确的是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·北京朝阳·二模)不等式的所有非负整数解为 .
5.(2025·四川成都·一模)已知实数,满足,并且,,若,则的取值范围是 .
6.(2025·江苏常州·中考真题)若则 0.(填、或).
7.(2025·四川自贡·中考真题)解不等式组:,并在数轴上表示其解集.
8.(2025·吉林长春·模拟预测)国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录,成为全球动画电影票房榜首.某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售,已知“哪吒”纪念品每件35元,“敖丙”纪念品每件20元,若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件,求最多购进“哪吒”纪念品多少件.
9.(2025·宁夏·模拟预测)“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动,也是营造文明城市,做文明市民的重要标准,电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔.某商场欲购进一批头盔,已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元,购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元.
(1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元?
(2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔,总费用不超过元,则最多可购进乙型头盔多少个?
10.(2025·山东潍坊·中考真题)某企业为提高生产效率,采购了相同数量的型、型两种智能机器人,购买型机器人的总费用为90万元,购买型机器人的总费用为60万元,型机器人单价比型机器人单价低3万元.
(1)求型、型两种机器人的单价;
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线,要求两种型号的机器人各至少配备1台,且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案.
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专题01 一元一次不等式(解析版)
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一元一次不等式的定义 1
题型二、列一元一次不等式 2
题型三、不等式的基本性质 3
题型四、求一元一次不等式的解集(重点) 4
题型五、求一元一次不等式的整数解 6
题型六、在数轴上表示不等式的解集(常考点) 8
题型七、用一元一次不等式解决实际问题(难点) 9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一元一次不等式的定义
1.已知是关于x的一元一次不等式,则k的值是( )
A.3 B. C. D.无法确定
【答案】A
【解析】解:∵是关于的一元一次不等式,
∴且,
解得,
故选:A.
2.下列不等式中,属于一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解:A、中含有2个未知数,故该选项不符合题意,
B、符合一元一次不等式的定义,故该选项符合题意,
C、是方程,故该选项不符合题意,
D、,不含有未知数,故该选项不符合题意,
故选:B
3.下列是一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:A、 含两个未知数x和y,是二元一次不等式,不符合“一元”条件。
B、 是等式而非不等式,且含两个未知数,排除。
C、 是等式,且未知数次数为1,属于一元一次方程,但非不等式,排除。
D、 仅含一个未知数x,次数为1,且为不等式,符合所有条件;
故选:D
4.若是关于的一元一次不等式,则 .
【答案】
【解析】解:∵是关于的一元一次不等式,
∴,
∴,
故答案为:.
5.已知是关于x的一元一次不等式,求b的值.
【答案】1
【解析】解:∵是关于x的一元一次不等式,
∴且,
解得:.
故答案为:1.
题型二、列一元一次不等式
6.年亚洲杯足球又掀起了一股足球热,某市组织一场业余足球联赛,每一支队伍需要进行场比赛,胜一场得分,平一场得分,负一场得分,其中一支队伍在前场比赛中,负场,积分超过了分,设该球队胜了场,则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解:根据题意,得
故选:.
7.交通法规人人遵守,文明城市处处安全.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标志,这是限制车高的标志,则通过该桥洞的车高的范围可表示为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:由题意可得,.
故选:C.
8.m与10的和不大于m的一半,用不等式表示为 .
【答案】
【解析】解:m与10的和不大于m的一半,用不等式表示为.
故答案为:.
9.根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”: .
【答案】
【解析】解:由题意可得:;
故答案为:.
10.的4倍与8的和比的5倍大,则可列不等式为 .
【答案】
【解析】解:∵x的4倍与8的和为:;
x的5倍为:,
∴x的4倍与8的和比x的5倍大,
∴,
故答案为:.
题型三、不等式的基本性质
11.已知,,是实数,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:A、∵,∴,故选项A不正确,不符合题意;
B、,若,则,故选项B不正确,不符合题意;
C、∵,当,时,,故选项C不正确,不符合题意;
D、∵,两边同时乘以再同时加上,得,故选项D正确,符合题意;
故选:D.
12.若,则,a,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解:,
,
,
三个式子同时加上,
,
故选:D.
13.已知,下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解:A、∵,∴,故选项A错误,不符合题意;
B、∵,∴,故选项B正确,符合题意;
C、∵,∴,故选项C错误,不符合题意;
D、∵,∴,故选项D错误,不符合题意.
故选:B.
14.根据不等式的基本性质,下列变形正确的是( )
A.由,得 B.由,得
C.由,得 D.由,得
【答案】B
【解析】解:A、由,得,故选项不符合题意;
B、由,可知,两边同时除以得,故选项符合题意;
C、由,得,故选项不符合题意;
D、由,得,故选项不符合题意;
故选:B.
15.如果,那么 (填“”或“”).
【答案】
【解析】解:,
.
故答案为:.
题型四、求一元一次不等式的解集
16.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:
,
解得:,
故选:A.
17.解一元一次不等式时,去分母正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解:解一元一次不等式时,
去分母得:;
故选:D.
18.当 时,不等式恒成立.
【答案】6
【解析】解:
∵不等式恒成立,
,
∴,
解得,
故答案为:.
19.解不等式:.
【答案】
【解析】解:去分母,得:,
去括号,得:,
移项,得:
合并同类项,得:,
系数化为,得:.
20.解下列不等式:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解:(1)去括号,得:,
移项,得:,
合并同类项,得:,
系数化为1,得:;
(2)解:去分母,得:,
去括号,得:,
移项,得:,
合并同类项,得:,
系数化为1,得:.
题型五、求一元一次不等式的整数解
21.不等式的非负整数解的个数为 个.
【答案】
【解析】解:,
整理得:,
解得:,
∴不等式的非负整数解为,共个,
故答案为:.
22.不等式的正整数解是 .
【答案】1,2
【解析】解:解不等式得
,
不等式的正整数解是:1,2,
故答案为:1,.
23.不等式的正整数解是 .
【答案】1和2/2和1
【解析】解:
,
所以该不等式的正整数解为:1和2.
故答案为:1和2.
24.不等式的最小整数解是 .
【答案】
【解析】解:系数化为1,得:,
∴不等式的最小整数解为,
故答案为:.
25.(1)解不等式:,并写出所有符合条件的正整数解.
(2)求不等式的非正整数解.
【答案】(1);1,2,3,4;(2);,0.
【解析】解:(1)
去分母,
去括号,
移项,
合并同类项,
系数化为1,
∴正整数解为:1,2,3,4;
(2)
去分母,得:.
去括号,得:.
移项、合并同类项,得:.
系数化为1,得.
所以不等式的非正整数解为,0.
题型六、在数轴上表示不等式的解集
26.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:去括号,得:,
移项,得:,
合并同类项,得:,
在数轴上表示解集为:
故选:A.
27.若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示,则a的值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】C
【解析】由得,;
由数轴可知,不等式的解集为,
所以,
解得.
故选:C.
28.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解:,
移项、合并同类项,得:,
在数轴上表示为:
故选:D.
29.解不等式:,并把解集在数轴上表示出来.
【答案】,详见解析
【解析】解:,
∴,
,
,
则,
将解集表示在数轴上如下:
30.解不等式,并把解集表示在数轴上:.
【答案】,见解析
【解析】解:,
去分母,得,
去括号,得,
移项,得,
合并同类项,得,
系数化为1,得,
在数轴上表示如图所示:
题型七、用一元一次不等式解决实际问题
31.湛江海湾大桥是一座连接坡头区与霞山区的跨海大桥.该大桥限重标志牌显示,载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行.现有一辆自重15吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少;
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥,一次最多可运输多少套这种设备.
【答案】(1)1个A部件的质量为吨,1个B部件的质量为吨
(2)该卡车一次最多可运输9套这种设备通过此大桥
【解析】(1)解:设1个A部件的质量为x吨,1个B部件的质量为y吨,
由题意得:,
解得:,
答:1个A部件的质量为吨,1个B部件的质量为吨
(2)解:设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥.
根据题意得:,
解得:.
∵m为整数,
∴m的最大值是9,
答:该卡车一次最多可运输9套这种设备通过此大桥.
32.某商场出售小套装和大套装两种,已知购买1个大套装比购买1个小套装多需70元;购买3个小套装和2个大套装,共需390元.
(1)试列二元一次方程组来求解这两种套装的单价;
(2)某校计划用不多于1350元的资金购买这两种吉祥物套装共20个作为奖品,则该校最多可以购买大套装多少个?
【答案】(1)小套装的单价为50元;大套装的单价为120元
(2)该校最多可以购买大套装5个
【解析】(1)解:设小套装的单价为x元,大套装的单价为y元,依题意得:
,
解得:.
答:小套装的单价为50元,大套装的单价为120元.
(2)解:设该校购买大套装m个,则购买小套装个,
依题意得:,
解得:.
又∵m为正整数,
∴m的最大值为5.
答:该校最多可以购买大套装5个.
33.某商店购进一吉祥物的摆件和挂件共180个进行销售.已知摆件的进价为80元/个,挂件的进价为50元/个.
(1)若购进摆件和挂件共花费了11400元,请分别求出购进摆件和挂件的数量;
(2)该商店计划将摆件的售价定为100元/个,挂件的售价定为60元/个,若购进的180个摆件和挂件全部售完,且至少盈利2900元,求购进的挂件不能超过多少个.
【答案】(1)购进摆件80个,挂件100个
(2)购进的挂件不能超过70个
【解析】(1)解:设购进摆件x个,挂件y个,
依题意得:
,
解得:,
答:购进摆件80个,挂件100个;
(2)设购进挂件m个,则购进摆件个,
依题意得:,
解得:.
答:购进的挂件不能超过70个.
34.某校欲租用租赁公司的甲、乙两种型号的大巴车共8辆(两种车型都要租用),将部分师生送去植物园游玩,相关的租车信息如下:
信息一:若租用3辆甲型大巴、5辆乙型大巴共可载客435人;
若租用6辆甲型大巴、2辆乙型大巴共可载客390人.
信息二:
型号
甲型大巴
乙型大巴
租金/元
500
700
(1)求每辆甲型大巴、乙型大巴的载客量.
(2)若此次游玩租车的总租金计划不超过4600元,则最少租用甲型大巴多少辆?此时可装载多少名师生去游玩?
【答案】(1)每辆甲型大巴的载客量是45人,每辆乙型大巴的载客量是60人
(2)最少租用甲型大巴5辆,此时可装载405名师生去游玩
【解析】(1)解:设每辆甲型大巴的载客量是x人,每辆乙型大巴的载客量是y人,
根据题意,
得
解得
答:每辆甲型大巴的载客量是45人,每辆乙型大巴的载客量是60人.
(2)解:设租用甲型大巴m辆,则租用乙型大巴辆,
根据题意,得,
解得,
∴m的最小值为5,
此时
答:最少租用甲型大巴5辆,此时可装载405名师生去游玩.
35.在某市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为的区域进行绿化,经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完成绿化面积的2倍,如果两工程队各自独立完成的绿化面积,那么甲工程队比乙工程队少用6天.
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少?
(2)若甲工程队每天绿化费用为1.2万元,乙工程队每天绿化费用为0.5万元,社区要使这次绿化的总费用不超过40万元,且乙工程队施工时间不超过36天,则一共有多少种安排方案?(工作天数为整数)
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、;
(2)一共有3种安排方案.
【解析】(1)解:设乙工程队每天能完成绿化的面积是,
根据题意得:,
解得:,
经检验,是原方程的解,
则甲工程队每天能完成绿化的面积是,
答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、;
(2)解:设甲工程队施工天,乙工程队施工天刚好完成绿化任务,
由题意得:,则,
根据题意得:,
解得:,
因为:,
所以,
又是整数,可取32或33或34或35或36,
且也是整数,则可取32或34或36,
答:一共有3种安排方案.
1.(2025·吉林·中考真题)不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:不等式为,
移项,得:,
不等式的解集为.
故选:A.
2.(2025·广西·中考真题)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,,都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:∵初始时,两杯水的质量分别为克和克,
∴加入克水后,两杯水的质量变为克和克,
∵,
∴,
故选:A
3.(2025·陕西西安·模拟预测)不等式组的解集表示在数轴上正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解:解不等式得:,
解不等式得:,
∴不等式组的解集为,
该解集在数轴上表示为:
故选:B.
4.(2025·北京朝阳·二模)不等式的所有非负整数解为 .
【答案】
【解析】解:,
,
,
所以所有非负整数解为,
故答案为:.
5.(2025·四川成都·一模)已知实数,满足,并且,,若,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】解:∵,
∴,
∵,
∴,
解得:,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
6.(2025·江苏常州·中考真题)若则 0.(填、或).
【答案】
【解析】解:∵,
∴,
∴,
故答案为:.
7.(2025·四川自贡·中考真题)解不等式组:,并在数轴上表示其解集.
【答案】,见解析
【解析】解:,
由①得:,
由②得:,
在数轴上表示其解集如下:
∴不等式组的解集为:.
8.(2025·吉林长春·模拟预测)国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录,成为全球动画电影票房榜首.某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售,已知“哪吒”纪念品每件35元,“敖丙”纪念品每件20元,若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件,求最多购进“哪吒”纪念品多少件.
【答案】33件
【解析】解:设购进“哪吒”纪念品m件,则“敖丙”纪念品件,
根据题意得:.
解得:,
m为整数,
m的最大值为33.
答:最多购进“哪吒”纪念品33件.
9.(2025·宁夏·模拟预测)“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动,也是营造文明城市,做文明市民的重要标准,电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔.某商场欲购进一批头盔,已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元,购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元.
(1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元?
(2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔,总费用不超过元,则最多可购进乙型头盔多少个?
【答案】(1)购进个甲型头盔需要元,购进个乙型头盔需要元;
(2)最多可购进乙型头盔个.
【解析】(1)解:设购进个甲型头盔需要元,购进个乙型头盔需要元,
根据题意得,
解得,
答:购进个甲型头盔需要元,购进个乙型头盔需要元.
(2)解:设购进乙型头盔个,则购进甲型头盔个,
根据题意得:
解得,
∴的最大值为,
答:最多可购进乙型头盔个.
10.(2025·山东潍坊·中考真题)某企业为提高生产效率,采购了相同数量的型、型两种智能机器人,购买型机器人的总费用为90万元,购买型机器人的总费用为60万元,型机器人单价比型机器人单价低3万元.
(1)求型、型两种机器人的单价;
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线,要求两种型号的机器人各至少配备1台,且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案.
【答案】(1)型机器人单价为9万元,型机器人单价为6万元
(2)方案一:型机器人1台,型机器人9台;方案二:型机器人2台,型机器人8台;方案三:型机器人3台,型机器人7台
【解析】(1)解:设型机器人单价为万元,则型机器人单价为万元,
根据题意,得,
解得,
经检验,是原分式方程的根,且符合题意,
所以,.
所以,型机器人单价为9万元,型机器人单价为6万元.
(2)设配备型机器人台,则配备型机器人台,
根据题意,得,
解得,
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台,且y为正整数
∴的取值为1,2,3,共有3种方案:
方案一:型机器人1台,型机器人9台;
方案二:型机器人2台,型机器人8台;
方案三:型机器人3台,型机器人7台.
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