专题01 勾股定理及其逆定理八类题型（专项训练）数学青岛版2024八年级上册

专题01 勾股定理及其逆定理（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用勾股定理解三角形（重点） 1 题型二、勾股树(数)问题 2 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 2 题型四、勾股定理与折叠问题（常考点） 3 题型五、勾股定理的证明方法 5 题型六、以弦图为背景的计算题 6 题型七、勾股定理的应用 6 题型八、勾股逆定理（难点） 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用勾股定理解三角形 1．下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 2．已知的三边分别为a，b，c，若斜边，则的值是（   ） A．5 B． C．15 D．25 3．如图，在中，，为上一点．若，的面积为90，则的长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．24 4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为 ． 5．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”．现有如图所示的“垂美四边形”，对角线，交于点O．若，则 ． 题型二、勾股树(数)问题 6．在下列各组数中，是勾股数组的是（   ） A．、、 B． C． D． 7．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 8．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 9．若、是一组勾股数，则的值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 10．下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④（是大于1的整数），其中是勾股数的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 11．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为 ． 13．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 14．如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 15．如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 题型四、勾股定理与折叠问题 16．如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 17．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 18．如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 19．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 20．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 题型五、勾股定理的证明方法 21．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 22．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    23．如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 24．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 题型六、以弦图为背景的计算题 25．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 26．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 27．如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 28．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 题型七、勾股定理的应用 29．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 30．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 31．如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 32．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 33．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 34．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 35．如图，A，B两个小镇在河岸同侧，到河岸的距离分别为，且．现在要在河边修建一个自来水厂，向A，B两个小镇供水．铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上确定自来水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出最低费用． 题型八、勾股逆定理 36．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 37．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 38．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 1．（2025·云南·模拟预测）如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏中卫·二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·甘肃定西·一模）如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为 5．（2025·云南丽江·模拟预测）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为 ． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 8．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 9．（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 10．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点在上，点在上，满足，，，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理及其逆定理（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用勾股定理解三角形（重点） 1 题型二、勾股树(数)问题 3 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型四、勾股定理与折叠问题（常考点） 7 题型五、勾股定理的证明方法 10 题型六、以弦图为背景的计算题 12 题型七、勾股定理的应用 14 题型八、勾股逆定理（难点） 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用勾股定理解三角形 1．下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 【答案】D 【解析】解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误； B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误； C、由，故是斜边，则，此说法错误； D、由，可得是斜边，故，此说法正确． 故选：D． 2．已知的三边分别为a，b，c，若斜边，则的值是（   ） A．5 B． C．15 D．25 【答案】D 【解析】解：在中，斜边，， 将代入得：， 故选：D． 3．如图，在中，，为上一点．若，的面积为90，则的长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．24 【答案】D 【解析】解：∵的面积为90，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，斜边长为， 故答案为：． 5．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”．现有如图所示的“垂美四边形”，对角线，交于点O．若，则 ． 【答案】80 【解析】解： 由勾股定理得：， 故答案为：80. 题型二、勾股树(数)问题 6．在下列各组数中，是勾股数组的是（   ） A．、、 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A. ∵，不能构成三角形，不是勾股数，不符合题意； B. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D. ∵，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意； 故选：D． 7．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 【答案】A 【解析】解：A、，是勾股数，故符合题意； B、∵，，不是整数，不是勾股数，故不符合题意； C、，不是勾股数，故不符合题意； D、，不是勾股数，故不符合题意； 故选：A． 8．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 【答案】B 【解析】解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误； B．，能构成勾股数，故该选项正确； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D．，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选B． 9．若、是一组勾股数，则的值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】解：当时，由勾股数定义得， 则，解得， 此时，满足勾股数定义，符合题意； 当时，由勾股数定义得， 则，解得，不是整数， 此时，不满足勾股数定义，不符合题意； 故选：B． 10．下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④（是大于1的整数），其中是勾股数的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】D 【解析】① ， ∴6，8，10是勾股数， ② ， ∴ 7，24，25是勾股数， ③， ∴ 9，12，15是勾股数， ④ ， ∴ 是勾股数， 综上所述，勾股数的有4组， 故答案选：D． 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 11．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设图中八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：A． 12．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为 ． 【答案】8 【解析】由题意得， ∴， 故答案为：8． 13．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【解析】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， …… ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：． 故选：A． 14．如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 【答案】 【解析】解：，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，， ． 又，，， ． 15．如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】25 【解析】解：在中，，， 由勾股定理得：， 以为直径半圆的面积； 以为直径半圆的面积； 以为直径半圆的面积； 的面积， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 题型四、勾股定理与折叠问题 16．如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 【答案】C 【解析】∵在长方形的长，宽， ∴，， ∵把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点D和B重合，设， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， 故选：C． 17．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【解析】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 18．如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得； 设，则， ， ， 即， 解得：； 即． 故选：A． 19．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 20．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【解析】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 题型五、勾股定理的证明方法 21．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【解析】解：甲得出的结果为：， 即，符合题意； 乙得出的结果为：，不符合题意； 故选：A． 22．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为， ∴， ∴， 化简，得． 23．如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， 整理，得， ∴． 24．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析 【解析】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 题型六、以弦图为背景的计算题 25．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【解析】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 26．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：B． 27．如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C． 28．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】1 【解析】解：由图可知小正方形边长为：， 小正方形面积为：， 故答案为：1． 题型七、勾股定理的应用 29．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【答案】D 【解析】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 故选：D． 30．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：过点B作于点E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 大树折断前的高度为． 故选：D． 31．如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 32．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【解析】解：在中，因为， 所以， 所以． 在中，因为， 所以， 所以， 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 33．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【解析】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 34．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【解析】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 35．如图，A，B两个小镇在河岸同侧，到河岸的距离分别为，且．现在要在河边修建一个自来水厂，向A，B两个小镇供水．铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上确定自来水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出最低费用． 【答案】150万元 【解析】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接与CD交于点P， 则点P为所求的自来水厂的位置．过点作，交的延长线于点E， 则为直角三角形，． 在中， 由题意，得． 由勾股定理，得， 所以，所以（万元）． 故铺设水管的最低费用为150万元． 题型八、勾股逆定理 36．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 【答案】劳动实践基地的面积为． 【解析】解：连接AC， 在中，由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ， ， 答：劳动实践基地的面积为． 37．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 答：这片绿地的面积是． 38．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【解析】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 1．（2025·云南·模拟预测）如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设点到边所在直线的距离为h， 等边的边长为3， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即点到边所在直线的距离为． 故选：D 2．（2025·宁夏中卫·二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意可得， 小正方形的边长． ∴ 故选：． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 4．（2025·甘肃定西·一模）如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为 【答案】6米/ 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故答案为：6米． 5．（2025·云南丽江·模拟预测）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为 ． 【答案】 【解析】解：由题意可得，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴绳索的长度为， 故答案为：． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【解析】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 7．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】(1)见解析 (2)最短矩离的长为 【解析】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 8．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【解析】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 9．（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）解：如图，点M即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，点N即为所求（答案不唯一）． 10．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点在上，点在上，满足，，，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【解析】（1）证明：如图，过点作，交于点， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ； （2）证明：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， 又，， ， ， ； （3）解：过点作，交于点，过点作于点， 由（1）（2）知，，，，， 设，， 则，， 是等边三角形，， ，， 在中，， 即， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$