第5章 勾股定理与实数（复习讲义）数学新教材青岛版八年级上册

第5章 勾股定理与实数（复习讲义） 1．了解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。 ①理解并掌握勾股定理的内容及其几何意义；②学会应用勾股定理解决实际问题；③理解勾股定理的逆定理，并能够运用逆定理判断三角形的类型。 2．理解算术平方根、平方根及立方根的概念及计算，并且能熟练应用在实际问题中。 ①理解算术平方根、平方根和立方根的概念；②学会计算一个数的算术平方根、平方根和立方根；③了解平方根、立方根在实际问题中的应用。 3．理解实数的概念及其分类，学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 ①理解无理数的定义及性质；②理解实数的概念及其分类；③学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 知识点01 勾股定理 1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，如果两条直角边长分别为，斜边长为，那么。 2）在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为“勾股定理”。 3）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 4）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 知识点02 算术平方根 1）算数平方根：如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，规定0的算术平方根是0，即=0。 2）正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 知识点03 无理数 1）无理数：无限不循环小数叫作无理数。 2）任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 知识点04 平方根 1）平方根：如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根或二次方根。 2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3）开平方：求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 知识点05 立方根 1）立方根：如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么x叫作ɑ的立方根或三次方根。 2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。 3）开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 4）数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 5）一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 知识点06 实数 1）实数：有理数与无理数统称为实数。 2）无理数是无限不循环小数，所有有理数都可以化作有限小数或无限循环小数。 3）实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数、0、负实数。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 4）每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数，实数与数轴上的点一一对应。 5）与有理数一样，数轴上原点表示0，一般来说，原点右边的点表示正实数，左边的点表示负实数。对于数轴上任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大。 6）将数的范围从有理数扩充至实数后，相反数、绝对值等有关概念也同样适用，有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立。 题型一 勾股定理 【例1】如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【变式1-1】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为 ． 【变式1-2】如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 【变式1-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 题型二 勾股定理的应用 【例2】如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【变式2-1】如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【变式2-2】如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【变式2-3】数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 题型三 勾股逆定理及其应用 【例3】如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【变式3-1】如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【变式3-2】口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【变式3-3】某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形ABCD中，，米，米，米，米，求空地的面积． 题型四 算数平方根 【例4】的算术平方根为 ． 【变式4-1】如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【变式4-2】估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 【变式4-3】已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 题型五 无理数 【例5】在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】下列各数是无理数的是（    ） A． B． C．0.2020020002 D．4 【变式5-2】一组数（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有 个． 【变式5-3】如图所示的是一个由16个边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B，C，D，E，F均在格点上．在线段中，长度是无理数的有 条． 题型六 平方根 【例6】若分别是16的两个平方根，则的值为 ． 【变式6-1】若m和n是10的两个平方根，则的值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 【变式6-2】已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是（    ） A．1 B．7 C．9 D．81 【变式6-3】已知，． （1）若，，则的值为 ； （2）若，则的值为 ； （3）若，则的值为 ． 题型七 立方根 【例7】9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【变式7-1】下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【变式7-2】根据你发现的规律填空：已知，若，则 【变式7-3】根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 题型八 实数 【例8】我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【变式8-1】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】的倒数是 ，的相反数是 ． 【变式8-3】把下列各数填入相应的集合内 ，，，46，0，，． (1)有理数集合：{_______……}； (2)无理数集合：{_______……}； (3)正实数集合：{________…}； (4)负实数集合：{________…}． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．在实数，，，，，，(两个之间依次多一个)中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（　　） A．7 B．3 C．49 D．49或 3．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，则的长是（　　） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 5．如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 二、填空题 6．的平方根为 ；的立方根为 ． 7．比较7 （填＞、＜或＝） 8．如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端 米． 9．如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 10．如图，把长方形按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长度是 cm． 三、解答题 11．把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 12．求下列各式中的值： (1) (2) 13．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 14．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 15．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列叙述正确的是（   ） A． B．的算术平方根是 C．64的立方根是 D．没有平方根 2．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．一个自然数的算术平方根是a，则与其相邻的后一个自然数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 5．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．的平方根是 ，的算术平方根是 ． 7．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是    8．若，则满足条件的最大整数a是 ． 9．一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 10．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 三、解答题 11．把下列各数填入相应的集合里： 0.4，，，，，…（两个1之间依次增加一个0）． 正数集合：{                               …}； 负数集合：{                               …}； 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}． 12．如图，有一块凹四边形的绿地，经测量知：，，，，， (1)求的长，并判断的形状； (2)求这块绿地的面积． 13．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 14．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 15．已知七个实数，，，，，，，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的实数用“”连接． ______________________________ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 勾股定理与实数（复习讲义） 1．了解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。 ①理解并掌握勾股定理的内容及其几何意义；②学会应用勾股定理解决实际问题；③理解勾股定理的逆定理，并能够运用逆定理判断三角形的类型。 2．理解算术平方根、平方根及立方根的概念及计算，并且能熟练应用在实际问题中。 ①理解算术平方根、平方根和立方根的概念；②学会计算一个数的算术平方根、平方根和立方根；③了解平方根、立方根在实际问题中的应用。 3．理解实数的概念及其分类，学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 ①理解无理数的定义及性质；②理解实数的概念及其分类；③学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 知识点01 勾股定理 1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，如果两条直角边长分别为，斜边长为，那么。 2）在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为“勾股定理”。 3）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 4）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 知识点02 算术平方根 1）算数平方根：如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，规定0的算术平方根是0，即=0。 2）正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 知识点03 无理数 1）无理数：无限不循环小数叫作无理数。 2）任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 知识点04 平方根 1）平方根：如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根或二次方根。 2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3）开平方：求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 知识点05 立方根 1）立方根：如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么x叫作ɑ的立方根或三次方根。 2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。 3）开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 4）数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 5）一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 知识点06 实数 1）实数：有理数与无理数统称为实数。 2）无理数是无限不循环小数，所有有理数都可以化作有限小数或无限循环小数。 3）实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数、0、负实数。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 4）每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数，实数与数轴上的点一一对应。 5）与有理数一样，数轴上原点表示0，一般来说，原点右边的点表示正实数，左边的点表示负实数。对于数轴上任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大。 6）将数的范围从有理数扩充至实数后，相反数、绝对值等有关概念也同样适用，有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立。 题型一 勾股定理 【例1】如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【答案】34 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理：，，， ∴， 故答案为：34． 【变式1-1】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为 ． 【答案】25 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 中，， ， ， ， 故答案为：25． 【变式1-2】如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，为的中点 ∴ 由题意， ∴， ∴，即 解得． ∴． 【变式1-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 题型二 勾股定理的应用 【例2】如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 【变式2-1】如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 【变式2-2】如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 【变式2-3】数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 题型三 勾股逆定理及其应用 【例3】如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【详解】（1）是直角三角形． 理由：， ， ， 是直角三角形． （2）由（1）可知，， ． 【变式3-1】如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 【变式3-2】口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【详解】解：连接． 由题意得， ∴． ∴． ∵，， ∴． 这块地的面积的面积的面积 （）． 【变式3-3】某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形ABCD中，，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】36平方米 【详解】解：如下图，连接， ，米，米， 米， ， ， 是直角三角形， ， 空地的面积为36平方米． 题型四 算数平方根 【例4】的算术平方根为 ． 【答案】 【详解】解：∵，的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 【变式4-1】如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【详解】解：根据题意：，， 解得：， 则， 解得：， ∴． 故选：D． 【变式4-2】估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴的值在2.2和2.3之间， 故选：B． 【变式4-3】已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 题型五 无理数 【例5】在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，3.1415926，是有理数； ， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个． 故选D． 【变式5-1】下列各数是无理数的是（    ） A． B． C．0.2020020002 D．4 【答案】A 【详解】解：A、，是无理数，故符合题意； B、，是整数，属于有理数，故不符合题意； C、0.2020020002是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D、4是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A． 【变式5-2】一组数（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有 个． 【答案】2 【详解】解：， 无理数有（相邻两个1之间2的个数逐次加1），共2个． 故答案为：2． 【变式5-3】如图所示的是一个由16个边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B，C，D，E，F均在格点上．在线段中，长度是无理数的有 条． 【答案】3 【详解】解：由图可知：，是有理数 由勾股定理，得：是无理数； ，是有理数； ，是无理数； ，是无理数； 故长度是无理数的有3条； 故答案为：3． 题型六 平方根 【例6】若分别是16的两个平方根，则的值为 ． 【答案】16 【详解】解：∵a，b是16的两个平方根，16的两个平方根为和， ∴， ∴， 故答案为：16． 【变式6-1】若m和n是10的两个平方根，则的值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 【答案】D 【详解】解： 和是的两个平方根， ， ，（或反之 ）， ∴． ． 故选：D． 【变式6-2】已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是（    ） A．1 B．7 C．9 D．81 【答案】C 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴这个正数的两个平方根分别是和， ∴这个正数是． 故选：C． 【变式6-3】已知，． （1）若，，则的值为 ； （2）若，则的值为 ； （3）若，则的值为 ． 【答案】 1 7或1 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）∵ ∴ ∴， ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：7或1； （3）∵ ∴，或， ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：． 题型七 立方根 【例7】9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的立方根是， 故选：B 【变式7-1】下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 【变式7-2】根据你发现的规律填空：已知，若，则 【答案】 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式7-3】根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 题型八 实数 【例8】我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 【变式8-1】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点表示的数为， 故选：． 【变式8-2】的倒数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， 故答案为：，． 【变式8-3】把下列各数填入相应的集合内 ，，，46，0，，． (1)有理数集合：{_______……}； (2)无理数集合：{_______……}； (3)正实数集合：{________…}； (4)负实数集合：{________…}． 【答案】(1)，，，46，0，； (2)； (3)，，46，； (4)，． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，46，0，}． （2）解：无理数集合：{}． （3）解：正实数集合：{，，46，}． （4）解：负实数集合：{，}． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．在实数，，，，，，(两个之间依次多一个)中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 2．已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（　　） A．7 B．3 C．49 D．49或 【答案】C 【详解】解：一个正数的两个平方根是和， ， 解得， 一个正数的两个平方根是和， 这个正数是． 故选：C． 3．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 4．在中，，，则的长是（　　） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 【答案】C 【详解】解：在中，，， 若，则， 若，则； 综上，的长是17或． 故选：C． 5．如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：过作， ， ， ， ∵是线段上的动点（不含端点、）． ， 或4， ∵线段长为正整数， ∴可以有三条，长为4，3，4， ∴点的个数共有 3 个， 故选：C． 二、填空题 6．的平方根为 ；的立方根为 ． 【答案】 【详解】解：的平方根为，的立方根为， 故答案为：，． 7．比较7 （填＞、＜或＝） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为 8．如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端 米． 【答案】4 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：4． 9．如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 【答案】20 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为=， ∴第27行最后一个数为， 则第28行从左至右第22个数是， 故答案为：20． 10．如图，把长方形按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长度是 cm． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴． 由翻折的性质可知；，． ∴． ∴． ∴． 设，则． 中，由勾股定理得；， 即， 解得：． ∴， 故答案为：5． 三、解答题 11．把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 【答案】，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 【详解】解：正分数集合{，，，，}； 非负整数集合{ ，，}； 无理数集合{，（相邻两个之间依次多一个），}； 有理数集合{，，，，，，，，}； 故答案为：，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 12．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 13．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 14．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 15．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列叙述正确的是（   ） A． B．的算术平方根是 C．64的立方根是 D．没有平方根 【答案】B 【详解】解：A、选项，，故A选项错误； B、选项，的算术平方根是，故B选项正确； C、选项，64的立方根是4，故C选项错误； D、选项，，9的平方根是，故D选项错误； 故选：B． 2．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正数n的两个不同平方根为和， 根据平方根互为相反数的性质，得方程： ， ， ， ， 将代入平方根表达式： 因此，n的平方根为1和． ∴， 故选：A． 3．一个自然数的算术平方根是a，则与其相邻的后一个自然数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是a， ∴这个自然数是， ∴与其相邻的下一个自然数是， ∴与其相邻的下一个自然数的算术平方根是， 故选：A． 4．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 5．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 图1中， ， ∵， ∴，故图1符合题意； 图2中，，，， ∵， ∴，故图2符合题意； 图3中，作于点G，则，， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴，故图3符合题意； 图4中，由图2中推导过程可得： ，故图4符合题意 综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个， 故选：D． 二、填空题 6．的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 /4和 【详解】解：， 16的平方根是：， 6的算术平方根是：， 故答案为：，． 7．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是    【答案】点/点 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点是Q点． 故答案为：点． 8．若，则满足条件的最大整数a是 ． 【答案】8 【详解】解：∵，即， ∴满足条件的最大整数a是， 故答案为：8． 9．一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【详解】解：展开后图形是： ∵底面周长为12cm，高18cm， ∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（）， 故答案为：30． 10．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 【答案】12米 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得： ， 故． 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 三、解答题 11．把下列各数填入相应的集合里： 0.4，，，，，…（两个1之间依次增加一个0）． 正数集合：{                               …}； 负数集合：{                               …}； 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}． 【答案】0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0）；0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0） 【详解】解：， 正数集合：{0.4，，，，…}； 负数集合：{，…（两个1之间依次增加一个0）…}； 有理数集合：{0.4，，，，…}； 无理数集合：{，…（两个1之间依次增加一个0）…}． 故答案为：0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0）；0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0） 12．如图，有一块凹四边形的绿地，经测量知：，，，，， (1)求的长，并判断的形状； (2)求这块绿地的面积． 【答案】(1)，直角三角形 (2)这块空地的面积是 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 13．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域． (1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)市不会受到台风的影响 (2)小时 【详解】（1）解：过A作于C， ∵台风向北偏西的方向移动， ∴， ∵市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处， ∴， ∴市不会受到台风的影响； （2）过A作，交于点D，E， ， ∵，A市气象站测得台风中心在A市正东方向千米的B处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动， ∴受台风影响的路程为， ∴该市受台风影响的时间为：（小时）， ∴如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间为小时． 14．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1) (2)秒 【详解】（1）解：由题意得，解得：， ∴，， ，即这个数为． （2）解：当，时，，解得：（舍弃）． 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 15．已知七个实数，，，，，，，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的实数用“”连接． ______________________________ 【答案】(1)，， (2)图见解析， 【详解】（1）解：根据、、、在数轴上的位置，可知， 点表示数0，点表示数，点表示数，点表示数， 故答案为：； （2）解：在数轴上准确地表示数如图所示： 由数轴可知，， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$