广东省深圳市福田某校2025-2026学年高三上学期第一次模拟数学试题

西浦教育集团外国语高中 2025-2026学年度第一学期高三年级西浦一模考试 高二年级 数学科试卷 第 1页（共 2页） 西浦教育集团外国语高中 2025-2026 学年度第一学期 高三年级 西浦一模考试 数学学科试题 答题注意事项： 1.本试卷满分 150 分；考试用时 120 分钟； 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合 A={-2, -1, 0, 1, 2} ， }1)1({ 2  xxB 则 A∩B=（ ） A.  2, 1  B.  2, 1,0  C.  2,0 D.  2 2 , 2. 复数 4 3i 1 2i z   在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.△ABC内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2 sinb a B ， 4bc  ，则△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3 4. 已知向量 a与b  的夹角为60， 1a   ， 3a b   ，则 b  等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知定义在R 上的奇函数 ( )f x 满足    2 =f x f x ，当0 1x  时，   2 1xf x   ，则  2log 12f  （ ） A. 1 3  B. 1 4  C. 1 3 D. 12 6. 已知    sin 2f x x   （其中 π 2   ），将  f x 图象向左平移 π 3 个单位后得到  g x 的图象，若  f x 与  g x 的图象关于原点对称，则 （ ） A. π 6 B. π 3 C. π 6  D. π 3  7. 已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的两个焦点，以线段 1 2F F 为边作正三角形 1 2MF F ，若边 1MF 的中点 在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. 3 1 2  B. 3 2 2  C. 3 1 D. 4 2 3 8. 已知函数 y = f(x)定义域为(0, +∞)，f′(x)为其导函数，若 xf′(x) − 2f(x) > 0恒成立，且 f 1 2 = 1 4 ， 则不等式 f(x) < x2的解集为( ) A. (0,1) B. 0, 1 2 C. 1 2 , +∞ D. (1, +∞) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9.在 812x x      的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是1120 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 256 D. 各项的系数之和为 256 10. 高三年级安排甲、乙、丙三位同学到 A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只 能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有 53 种 B. 如果社区 A必须有同学选择，则不同的安排方法有 61种 C. 如果同学甲必须选择社区 A，则不同的安排方法有 25种 D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有 20种 11、已知数列 na 满足 1 1a  ，  *1 N2 n n n aa n a    ，则下列结论正确的是（ ） A. 1 1 na       为等比数列 B. 1n na a  C. 1 na       的前 n项和 12 2nnS n    D.  12n n na a  的前 n项和 111 2 1n nT    命题人：罗江云 西浦教育集团外国语高中 2025-2026学年度第一学期高三年级西浦一模考试 高二年级 数学科试卷 第 2页（共 2页） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12. 已知正数 a，b满足 4 12a b ab   ，则 ab的最大值为________． 13. 已知定义在 R上的函数 f(x)，满足 f(x) = 2f(x − 1)，且当 x ∈ ( − 1,0]时，f(x) =− 1 2 x(x + 1).若对任意 x ∈ ( −∞,m]，都有 f(x) ≤ 21 25 ，则 m的最大值是________． ． 14. 点 P在函数 exy  的图像上，点Q在函数 lny x 的图像上，则 PQ 的最小值为__________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC中，BC，AC，AB边的长分别为 a，b，c． (1) 利用向量知识证明：a2 = b2 + c2 − 2bccosA； (2) 在△ ABC中，a = 6, b − c = 1, sinC = 7 4 . 求 b的值及△ ABC的面积． 16、(本小题满分 15 分) 如图，在四棱锥� − ����中，底面����是边长为 2的正方形，�� ⊥底面����，�� = 2，�为��的中点， �为��的中点，解答以下问题： (1)证明：直线MN//平面 OCD； (2)求直线 AC与平面 OCD所成角的余弦值． (3)求点 N到平面 OCD的距离 17、(本小题满分 15 分) 甲、乙两个不透明的箱子中各装有 9个大小和质地完全相同的球，其中甲箱中有 4个白球，5个黑球， 乙箱中有 7个白球，2个黑球． (1) 若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得 2分，取出一个黑球得 1分.现从甲箱中任 取 2个球，设取出的 2个球的得分的和为 X，求随机变量 X的分布列; (2) 现从甲箱中任取 2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是 黑球的概率． 18.(本小题满分 17 分) 是偶函数，（已知 ） )kkxlog)( 13(3 Rxf x   （1）求实数 k的值； （2）若方程   23log 3 1 x f x m         有两个不等的实数解，求实数m的取值范围. 19.(本小题满分 17 分) 设函数 f(x) = ex+1 − x2 − kx． (1)当 k = 0 时，求曲线 y = f(x)在点( − 1, f( − 1))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间[− 1, +∞)上单调递增，求 k的取值范围; (3)当 x ≥− 1时，f(x) ≥ f( − 1)，求 k的取值范围． 西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第一学期 高三年级西浦一模考试 数学试题参考答案及评分标准 一。单进每小分。共4D 庭到 2 二，多远图：每小雄6分，共18分 脑与 9 11 养第 C 伞 总用：易9,1圈全部选对斜形分，远时一个待3分，有透错得0分：第且遥全年进解厚 6分，辱选对一个得2分。有这指行0分， 三.填学圈1每个意3分。共15什 n.月；.是：4万 14园【弹解】因为y=与y=x互为反请数，背西数阁象天干y三x对序 登点少为（名人据到直线y=*的师离为日=二 最x)=e-x,期(x]=-1,令(x)=0,镡x=0 以当xe-,0小时(x1<0,即(x)单周这减， 马xe(0,+o时x}>0,国(x单送增： L0-1.以方号 儒以Pg的最小槽为2d”5 检答雾为厅 昌，解答姓 5.(15分) 【答案】b=5, 西唐我育集法外国断商中2025-2026孕年设第一学潮高三年2 【解新】(1)证明，在△A0中，C=C-A通 =派-旷=+潘-2正西 4 =C+A-2IAC ABICosA. BQ=a.AC=b.B=c. .be2-2bccosA. aa-6b-t-1,anc-号 由b一t-1可得b>c。所以B>C,C是银角， 一7分 由c-冬可得oC- 所以2-36+e+12-9c+10 可得e=4,b=e+1=5 n 11分 -×6×5×9-平 16,(15分)正明， )如图。分别以AB。AD,AO所在直线n,y。轴建文坐标系. 1分 则A0Q0B100C220的D02k00,1N21.00A2) 丽=亿L,-00C-亿2，-：0石=0,2-20 3分 设平面0D的法内量霜=化y 产产产。保烟 3分 N节=，又N平面OCD. 直我平面GCGD. 分 解：因浸直线AC与平面0CD民成角为o, =r2小嘴a品- 10分 六emm-当 A直线AC与平面0CD情线的余签省为号 )段点N刻平0CD怕带离为d,则O西在向量行-@，11》上的影把对慎， o丽-(21-0.4-网日-2 .15分 新联N到半衡OD的距离为二 国庙一横考试数学试抛参考答案及汗汁杯酒 第1项（共1勇》 1,1价 解，1)x的顺重为2：3. 1分 x=-月-台g=动=等=g==- 所以X的分到内 (2)议事特A为·从乙霜中取出的这个球老国球” 事件都，为”从甲而中取出的？个球都光白球”+ 事件B:为”风甲相中取出们个白域1个幅球” 事件高为“从甲箱中取出2个球容是明球。 侧B,蓝处直斥，且B刷U2UB=B: P(B]-P-)-P(BJ)-P-3)-(B)-r-)- PaB,)-a)-齐AB,- 1什 FA)-PB,A》+PBA)十FBA -P(B)N P(AJB)+P(B]X P(AIB)+P(B)x P(A B) 4 -×+×品+品×片得 1g17分)【小月1详解】 由己如得f(-x-f(x,xeR 检g,(小+=1og,(3+)+ 化简释(2诚+1)x-0x∈R,所以k=- 2 6 【小同2#1自》g,3+小号=g3+3司 f(x)=log,m.3+1 化简解m35+=3+37 一-10分 印世=多”-3+1。做m=3一33+1有两个不等的实数制， ◆=3子≥0，甲m=「一+1>0)有两个不等的实数解， 西唐看有集楼外国断离中2025-2026孕年设第一学潮高 19(17分) 解：)t=0料，f0=t-,对=-2x, 图由线“)在点（一1，反一》处的切线斜害为一）■3 72分 又因为f-)=-(-1产=0 ae3分 情以由找一f)在友(-1，我-1》处的切线方程虾一3x+3 2r网-21-2x-上，由圆意料.x∈【-l,+以心0恤成立， 令F)-60.F回=e1-2,且P0在面一1+m)单得通增. 分 ◆P-o,解得x-lnm-13-1, 所以E《-L,2-1时，W《0,故F)率递减 室E2-L+m时，F阅>0，放F0单调适 分 情以F0m=F2-D=4-h2-k, 又00≥0，当且议当Fx.之0.<4-212. )因为填一1)=k,所以是意等价于当我>一1时。 xE(-1.+oo).-x-bzk. 整是.得F1-x2之+1). 同一1.所16故起意特价于兰2上 G的-xE(-t+m G0的号函数0'似=-2x-- 化商界G网“市1一X-. 13分 考联函数00=2一x-1×E(一的，+o小： 其导可气x<0,g0树<0gW单同送减 x>020>0. 枚在一时。o取到最小值。>网0-Q le≥x+1. 所以c2X+2妇et-×-2≥0， 情以当x∈{-1，，G)cQG)单调通走 xE04,G分>0，G0单调逢增， 16 所以G的最小物G侧=e, Mkce. 年藏西庙一镜考试数学试抛梦考答案及汗汁标深 第1暖（共1勇》