1.4 线段垂直平分线与角平分线（2）课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.4 线段垂直平分线与角平分线（2） 角是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 情境创设 角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴. O A B C O (A) B P D (C) 把∠DOC沿OP翻折，因为∠AOP＝∠BOP，所以OA与OB重合.因为PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC与PD重合，所以PC＝PD. 可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明PC＝PD. O A B P D C 任意画∠AOB，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD. PC与PD相等吗？为什么？ 合作探究 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边距离相等. 符号语言： ∵点P在∠AOB的平分线上 PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC=PD(角平分线上的点到角的两边距离相等) O A B P D C 数学化认识 在上述定理中，有两个条件 (1) OP平分∠AOB； (2) 点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB. 才能得出PD＝PE，两者缺一不可. 下图中PD＝PE吗？各缺少了什么条件？ O A B P D C 合作探究 如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等； 反过来，如果一个点到一个角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？ 提示：类比线段的垂直平分线 合作探究 如图，若点Q在∠AOB内部， QC⊥OA，QD⊥OB，且QC＝QD，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 通过上述研究，你得到了什么结论？ O A B Q D C 合作探究 7 7 ∴点Q在∠AOB的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) ∵ QC⊥OA，QD⊥OB，且QD=QC 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言： 数学化认识 O C D A B Q 例1. 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P. 求证：点P在∠C的平分线上. 例题教学 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N. ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴PF＝PN（角平分线的性质定理）. 同理，PF=PM. ∴PM＝PN. ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上（角平分线性质定理的逆定理） M N F A B O P M N 1. 射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，当PM＝2cm时，则PN＝_____cm. 基础训练 2 A B C D 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D. （1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是 . （2）若BD︰DC＝3︰2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 . 3 15 基础训练 基础训练 3. 利用网格画图: (1) 在BC上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等; (2) 在射线AP上找一点Q,使QB=QC. 4. 已知：如图，在△ABC中，O是△ABC的外角∠BAD、∠ABE的平分线的交点，那么点O在∠C的平分线上吗？为什么？ A B C D E 基础训练 O 1.如图，利用网格画图并回答问题： (1)选定四边形ABCD的两个内角，分别画它们的平分线，设这两条角平分线相交于点O； (2)观察点O是否在另两个内角的平分线上； (3)把四边形ABCD的顶点D向右平移4格，再向下平移2格还存在与上面相同的结论吗？ 反馈练习 2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．求证：D是BC的中点. 反馈练习 3.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF. 反馈练习 4.如图，某地要修建一个加油站，其设计要求是加油站到A，B两个小镇的距离相等，且到m，n两条公路的距离也相等，请在图中确定加油站的位置。 反馈练习 课堂小结 本节课你学会了什么？ $$