第2章 有理数的运算 单元培优-2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第2章 有理数的运算 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•新乡期末）中央政治局会议推出一揽子增量政策后，我省迅速传达学习，截至2024年10月25日，河南省汽车报废和置换更新申请量达19.9万辆．数据“19.9万”用科学记数法表示为（　　） A．1.99×104 B．19.9×104 C．1.99×105 D．0.199×106 2．（2024秋•江阳区期末）﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 3．（2025•绿园区一模）若2□（﹣2）＝0，则“□”中应填写的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 4．（2025•南关区校级一模）计算﹣5﹣3的结果是（　　） A．2 B．﹣8 C．8 D．﹣2 5．（2024秋•电白区期末）若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5或1 B．5或﹣13 C．﹣5或13 D．﹣5或﹣13 6．（2025春•松北区校级期末）某日天气预报显示，哈尔滨白天平均气温﹣3℃，海南白天平均气温12℃，两地当日白天的平均气温相差（　　）℃． A．15 B．12 C．9 D．6 7．（2025春•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 8．（2025•海珠区校级二模）下列各数中，是负数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．（﹣3）2 C．﹣3 D．|﹣3| 9．（2024秋•汉川市期末）如图所示的是某地12月28日的天气预报，图中关于温度的信息是（　　） A．当日温差为19℃ B．当日温差为10℃ C．最低气温为零下10℃ D．最低气温为零下19℃ 10．（2025春•河源期末）下列说法正确的是（　　） A．0的倒数是0 B．32的倒数是23 C．的倒数是﹣3 D．﹣2的倒数是﹣0.5 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•湘桥区期末）已知（x﹣3）2与|y+3|互为相反数，那么yx＝ 　 　 ． 12．（2025春•松北区校级期末）一台自行车前齿轮有60个齿，每分钟转40圈，后齿轮有50个齿，每分钟转　 　 圈． 13．（2024秋•商城县期末）已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　 　 ． 14．（2025春•南岗区期末）某商店周年店庆，一次性购物不超过100元不打折；一次性购物超过100元但不超过300元，一律九折；一次性购物超过300元，一律打八折．刘阿姨第一次买了一个豆浆机花了288元，第二次买了一桶油花了90元，如果一次购买两件商品需花 　 　 元． 15．（2025春•丽江期末）定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•任泽区期末）计算： （1）； （2）． 17．（2024秋•雨花区期末）请你先认真阅读材料： 计算（）÷（） 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：（）÷（）． 18．（2024秋•临漳县期末）某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500m的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：m）：+150，﹣32，﹣43，+205，﹣30，+25，﹣20，﹣5，+30，﹣25，+75． （1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ （2）登山时，5名队员全程都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04L，他们共使用了氧气多少升？ 19．（2025春•市南区期末）定义新运算：x※y＝（﹣x）y，x☆y＝x2﹣y2． （1）计算：（﹣0.2）※（﹣2）； （2）求[（a+2b）☆（a﹣2b）]※3． 20．（2025春•道外区期末）计算： （1）； （2）． 第2章 有理数的运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•新乡期末）中央政治局会议推出一揽子增量政策后，我省迅速传达学习，截至2024年10月25日，河南省汽车报废和置换更新申请量达19.9万辆．数据“19.9万”用科学记数法表示为（　　） A．1.99×104 B．19.9×104 C．1.99×105 D．0.199×106 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】实数；符号意识． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：19.9万＝199000＝1.99×105． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2024秋•江阳区期末）﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【考点】倒数． 【专题】实数；运算能力． 【答案】B 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：﹣2025的倒数是． 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 3．（2025•绿园区一模）若2□（﹣2）＝0，则“□”中应填写的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】A 【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：2+（﹣2）＝0， 2﹣（﹣2）＝4≠0， 2×（﹣2）＝﹣4≠0， 2÷（﹣2）＝﹣1≠0． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据有理数的加减乘除运算即可解答． 4．（2025•南关区校级一模）计算﹣5﹣3的结果是（　　） A．2 B．﹣8 C．8 D．﹣2 【考点】有理数的减法． 【答案】B 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：﹣5﹣3＝﹣8． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 5．（2024秋•电白区期末）若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5或1 B．5或﹣13 C．﹣5或13 D．﹣5或﹣13 【考点】有理数的减法；绝对值；有理数的加法． 【专题】运算能力． 【答案】D 【分析】根据|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，得到x＝﹣9，y＝±4，代入计算即可． 【解答】∵|x|＝9，|y|＝4， ∴x＝±9，y＝±4， ∵x+y＜0， ∴x﹣y＝﹣9﹣4＝﹣13或x﹣y＝﹣9﹣（﹣4）＝﹣5， 故选D． 【点评】本题考查了绝对值的化简计算，有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 6．（2025春•松北区校级期末）某日天气预报显示，哈尔滨白天平均气温﹣3℃，海南白天平均气温12℃，两地当日白天的平均气温相差（　　）℃． A．15 B．12 C．9 D．6 【考点】有理数的减法． 【专题】实数；运算能力． 【答案】A 【分析】根据温差＝高温﹣低温，列出算式，利用有理数的加减法则进行计算即可． 【解答】解：由题意得：12﹣（﹣3） ＝12+3 ＝15（℃）， ∴两地当日白天的平均气温相差15℃， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是理解题意，列出算式． 7．（2025春•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【考点】有理数的加减混合运算． 【答案】C 【分析】根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以将题目中的式子写成省略加号和的形式，本题得以解决． 【解答】解：﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） ＝﹣6﹣7﹣2+9， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法． 8．（2025•海珠区校级二模）下列各数中，是负数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．（﹣3）2 C．﹣3 D．|﹣3| 【考点】有理数的乘方；正数和负数；相反数；绝对值． 【专题】计算题；实数；符号意识． 【答案】C． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．﹣（﹣3）＝3＞0，是正数，不符合题意； B．（﹣3）2＝9＞0，是正数，不符合题意； C．﹣3＜0，是负数，符合题意； D．|﹣3|＝3＞0，是正数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 9．（2024秋•汉川市期末）如图所示的是某地12月28日的天气预报，图中关于温度的信息是（　　） A．当日温差为19℃ B．当日温差为10℃ C．最低气温为零下10℃ D．最低气温为零下19℃ 【考点】有理数的减法． 【专题】实数；数感． 【答案】C 【分析】由正负数的实际意义，即可选择． 【解答】A、当日温差为19℃，错误，应为10﹣（﹣10）＝20℃，故A不符合题意； B、当日温差为10℃，错误，应为10﹣（﹣10）＝20℃，故B不符合题意； C、当日气温为零下10℃，正确，故C符合题意； D、最低气温为零下19℃，错误，应为零下10℃，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数的实际意义． 10．（2025春•河源期末）下列说法正确的是（　　） A．0的倒数是0 B．32的倒数是23 C．的倒数是﹣3 D．﹣2的倒数是﹣0.5 【考点】倒数． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． 【解答】解：A、0没有倒数，故选项错误； B、32的倒数是，故选项错误； C、的倒数是3，故选项错误； D、﹣2的倒数是﹣0.5，故选项正确． 故选：D． 【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•湘桥区期末）已知（x﹣3）2与|y+3|互为相反数，那么yx＝ 　﹣27　 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；相反数；非负数的性质：绝对值；有理数的乘方． 【专题】计算题；实数；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（x﹣3）2和|y+3|互为相反数， ∴（x﹣3）2+|y+3|＝0， ∴x﹣3＝0，y+3＝0， ∴x＝3，y＝﹣3， ∴yx＝（﹣3）3＝﹣27． 故答案为：﹣27． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 12．（2025春•松北区校级期末）一台自行车前齿轮有60个齿，每分钟转40圈，后齿轮有50个齿，每分钟转　48　 圈． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】48． 【分析】根据题意，可以列出算式40×60÷50，然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， 40×60÷50 ＝2400÷50 ＝48（圈）， 即后齿轮有50个齿，每分钟转48圈， 故答案为：48． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 13．（2024秋•商城县期末）已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　﹣7　 ． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反数，倒数的意义可得m+n＝0，cd＝1，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵m、n互为相反数，c、d互为倒数， ∴m+n＝0，cd＝1， ∴m+n+3cd﹣10 ＝0+3×1﹣10 ＝0+3﹣10 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数的意义是解题的关键． 14．（2025春•南岗区期末）某商店周年店庆，一次性购物不超过100元不打折；一次性购物超过100元但不超过300元，一律九折；一次性购物超过300元，一律打八折．刘阿姨第一次买了一个豆浆机花了288元，第二次买了一桶油花了90元，如果一次购买两件商品需花 　360　 元． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】360． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：当一次性购物300元时，实际花费为300×0.9＝270（元）， 当一次性购物超过100元但不超过300元时，实际花费应大于90元，不超过270元， 那么刘阿姨第一次买了一个豆浆机花了288元，则她一次性购物超过了300元，即（288÷0.8）元， 第二次买了一桶油花了90元，则她一次性购物未超过100元， 那么（288÷0.8+90）×0.8 ＝450×0.8 ＝360（元）， 即如果一次购买两件商品需花360元， 故答案为：360． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 15．（2025春•丽江期末）定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　3　 ． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】新定义；实数；运算能力． 【答案】3． 【分析】根据，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵， ∴ ＝[﹣（﹣3）×22]⊗（） ＝（3×4）⊗（） ＝12⊗（） ＝12×（）2 ＝12 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•任泽区期末）计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用乘法分配律计算即可； （2）先算括号内的和乘方，再算乘法，最后算加减． 【解答】解：（1）原式＝﹣242424 ＝﹣8+20﹣9 ＝3； （2）原式＝﹣1（2﹣9） ＝﹣1（﹣7） ＝﹣1 ． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的运算律和相关运算的法则． 17．（2024秋•雨花区期末）请你先认真阅读材料： 计算（）÷（） 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：（）÷（）． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】． 【分析】根据阅读材料提供的解法解决问题即可． 【解答】解：原式的倒数是： （）÷（） ＝（）×（﹣42） ＝﹣（42424242） ＝﹣（7﹣9+28﹣12） ＝﹣14， 故原式． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． 18．（2024秋•临漳县期末）某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500m的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：m）：+150，﹣32，﹣43，+205，﹣30，+25，﹣20，﹣5，+30，﹣25，+75． （1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ （2）登山时，5名队员全程都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04L，他们共使用了氧气多少升？ 【考点】有理数的混合运算；正数和负数；有理数的加减混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将题目中的数据加在一起与500进行比较即可解答本题； （2）将所有数据的绝对值加在一起，再乘以5乘以0.04即可解答本题． 【解答】解：（1）150﹣32﹣43+205﹣30+25﹣20﹣5+30﹣25+75＝330（m）， 500﹣330＝170（m）． 答：他们最终没有登上顶峰，离顶峰还差170m； （2）（+150+|﹣32|+|﹣43|+205+|﹣30|+25+|﹣20|+|﹣5|+30+|﹣25|+75）×0.04×5＝128（L）， 答：他们共使用了氧气128L． 【点评】本题考查正负数的应用，有理数加减混合运算的应用，有理数四则混合运算的应用，理解正负数在本题的实际意义是解题关键． 19．（2025春•市南区期末）定义新运算：x※y＝（﹣x）y，x☆y＝x2﹣y2． （1）计算：（﹣0.2）※（﹣2）； （2）求[（a+2b）☆（a﹣2b）]※3． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）25； （2）﹣512a3b3． 【分析】（1）利用定义的新运算列式计算即可； （2）利用定义的新运算列式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝[﹣（﹣0.2）]﹣2 ＝（）﹣2 ＝25； （2）（a+2b）☆（a﹣2b） ＝（a+2b）2﹣（a﹣2b）2 ＝a2+4ab+4b2﹣a2+4ab﹣4b2 ＝8ab， 原式＝8ab※3 ＝（﹣8ab）3 ＝﹣512a3b3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 20．（2025春•道外区期末）计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先算括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1） ＝（） ； （2） ＝（） ＝1 ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$