第3章 代数式 单元培优-2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第3章 代数式 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•麻章区期末）下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．圆的半径和它的面积 2．（2024秋•翠屏区校级期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 3．（2024秋•滦南县期末）下列选项中，能用2a+6表示的是（　　） A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个长方形的周长 D．这个图形的面积 4．（2024秋•高青县期末）当x＝2时，代数式px3+qx+1的值等于2024，那么当x＝﹣2时，代数式px3+qx+1的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2022 D．﹣2022 5．（2024秋•中江县期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（　　） A．27 B．9 C．3 D．1 6．（2024秋•山丹县校级期末）甲、乙同学关于“代数式2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x的2倍与y的和； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 7．（2025春•德清县期末）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的重叠部分是长方形BMHN，面积记为S1，四边形BKGM与四边形ELBN都为正方形，面积分别记为S2和S3，已知CM﹣AN＝2，则下列代数式的值为定值的是（　　） A．S3﹣S1 B．S2+S3﹣2S1 C． D． 8．（2025春•宝坻区期末）某学校改造一个边长为5米的正方形花坛，经规划后，南北方向要缩短x米（0＜x＜5），东西方向要加长x米，则改造后花坛的面积与原来的花坛面积相比（　　） A．增加了x平方米 B．减少了2x平方米 C．保持不变 D．减少了x2平方米 9．（2024秋•湘桥区期末）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是（　　） A．2a2﹣πb2 B．2a2b2 C．2ab﹣πb2 D．2abb2 10．（2024秋•商水县期末）如图，用16m长的铝合金做成一个长方形的窗框．设长方形窗框的横条长度为xm，则长方形窗框的面积为（　　） A．x（16﹣x）m2 B．x（8﹣x）m2 C．x（）m2 D．x（）m2 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•新乡期末）如图，剪纸课上王林从一张边长为mcm（m＞5）的正方形纸片上先截去一个宽为1cm的长方形纸条，再截去一个宽为2cm的长方形纸条，则共截去了 　 　 cm2的纸条． 12．（2025春•黔西南州期末）体育用品商店的每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，学校到体育用品商店购买3个排球，5个篮球共需的费用为　 　 元．（用含x、y的代数式表示） 13．（2024秋•南开区期末）一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，用含有a，b，c的式子表示这个三位数为 　 　 ． 14．（2025•商丘模拟）若一个足球m元，一个篮球n元，则买5个足球和10个篮球共需要 　 　 元． 15．（2024秋•开福区校级期末）已知m2﹣5m的值为4，则代数式3m2﹣15m+8的值为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•南陵县期末）书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为23cm，宽为16cm，厚度为2cm，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书．在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为acm．（1）该包书纸的长为 　 　 cm，宽为 　 　 cm；（用含a的代数式表示） （2）当a＝1时，求该包书纸的面积（含阴影部分）． 17．（2025•上城区校级三模）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米． （1）制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ （2）若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 18．（2024秋•嵩县期末）如图长方形的长为a，宽为2b． （1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S． （2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14） 19．（2024秋•阜平县期末）下表是小明家2024年上半年每月自来水用水情况． 月份 1 2 3 4 5 6 用水量/吨 7 9 8 7 6 10 水费/元 35 45 40 35 30 50 （1）每吨水的水费是 　 　 元；观察水费与用水量的比值，水费与用水量成什么比例关系？ （2）小明一次性买了60吨水，平均每月用水x吨，能使用的月数为y，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ 20．（2025春•广安区校级期中）背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为　 　 ； （2）在上述关系中，耗油量每增加1L，二氧化碳排放量就增加　 　 kg，当耗油量从3L增加到8L时，二氧化碳排放量就从　 　 kg增加到　 　 kg； （3）小明家本月家居用电约100kW•h，天然气10m3，自来水6t，开私家车耗油80L，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 第3章 代数式 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•麻章区期末）下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．圆的半径和它的面积 【考点】反比例． 【专题】分式；运算能力． 【答案】A 【分析】如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．据此逐一判断即可． 【解答】解：A、汽车的路程一定，行驶的时间和速度成反比关系，选项说法正确，符合题意； B、圆柱的高一定，体积和底面积成正比关系，选项说法错误，不符合题意； C、被减数一定，减数和差不成比例关系，选项说法错误，不符合题意； D、圆的面积和它的半径不成比例，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查反比例，掌握反比例的意义和辨别是关键． 2．（2024秋•翠屏区校级期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【考点】列代数式． 【专题】探究型． 【答案】A 【分析】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项A符合题意， x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故选项B不符合题意， 3（x+2）+x2，故选项C不符合题意， （x+3）（x+2）﹣2x，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．（2024秋•滦南县期末）下列选项中，能用2a+6表示的是（　　） A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个长方形的周长 D．这个图形的面积 【考点】代数式． 【专题】整式；应用意识． 【答案】C 【分析】分别计算各选项的结果，化简即可判断． 【解答】解：A、整条线段的长度为2+a+6＝a+8，故不合题意； B、整条线段的长度为a+6+6＝a+12，故不合题意； C、这个长方形的周长为2（a+3）＝2a+6，故符合题意； D、这个图形的面积为a×（2+6）＝8a，故不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握线段的长度和图形的周长、面积计算方法． 4．（2024秋•高青县期末）当x＝2时，代数式px3+qx+1的值等于2024，那么当x＝﹣2时，代数式px3+qx+1的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2022 D．﹣2022 【考点】代数式求值． 【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力． 【答案】D 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝2时，px3+qx+1＝8p+2q+1＝2024， ∴4p+q， ∴当x＝﹣2时，px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣2（4p+q）+11＝﹣2022． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 5．（2024秋•中江县期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（　　） A．27 B．9 C．3 D．1 【考点】代数式求值；有理数的混合运算． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律如下： 第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，1+8＝9， 第6次，， …， 以此类推，从第2次开始以9，3，1循环， ∵（2024﹣1）÷3＝674……1， ∴第2024次输出的结果为9． 故选：B． 【点评】本题考查了求代数式的值，正确找到规律是解题关键． 6．（2024秋•山丹县校级期末）甲、乙同学关于“代数式2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x的2倍与y的和； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【考点】代数式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】按照代数式的意义和运算顺序判断即可． 【解答】解：代数式2（x+y）的意义是x与y的和的2倍， 甲：x的2倍与y的和，说法错误； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费，说法正确； 故选：B． 【点评】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的运算顺序是解题的关键． 7．（2025春•德清县期末）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的重叠部分是长方形BMHN，面积记为S1，四边形BKGM与四边形ELBN都为正方形，面积分别记为S2和S3，已知CM﹣AN＝2，则下列代数式的值为定值的是（　　） A．S3﹣S1 B．S2+S3﹣2S1 C． D． 【考点】列代数式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】通过已知条件找出各正方形、长方形边长之间的关系，进而分析各代数式的值是否为定值． 【解答】解：设正方形ABCD边长为a，正方形EFGH边长为b，已知CM﹣AN＝2， ∴设AN＝x，则CM＝x+2．BN＝a﹣x，BM＝a﹣x﹣2， S1＝ （a﹣x﹣2）（a﹣x）， S2 ＝ （a﹣x﹣2）2， S3＝ （a﹣x）2， 选项B：S2+S3﹣2S1 ＝（a﹣x﹣2）2+（a﹣x）2﹣2（a﹣x﹣2）（a﹣x） ＝[（a﹣x﹣2）﹣（a﹣x）]2＝ （﹣2）2 ＝ 4， 因此，S2+S3﹣2S1的值为定值4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形和长方形的性质、面积计算，正确分析和计算是解题关键． 8．（2025春•宝坻区期末）某学校改造一个边长为5米的正方形花坛，经规划后，南北方向要缩短x米（0＜x＜5），东西方向要加长x米，则改造后花坛的面积与原来的花坛面积相比（　　） A．增加了x平方米 B．减少了2x平方米 C．保持不变 D．减少了x2平方米 【考点】列代数式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据题意得到改造后花坛的长为（5+x）米，宽为（5﹣x）米，则其面积为（5+x）（5﹣x）＝（25﹣x2）平方米，然后根据正方形的面积为52＝25平方米可得到改造后花坛的面积减少了x2平方米． 【解答】解：改造后其长为（5+x）米，宽为（5﹣x）米， 花坛的面积为（5+x）（5﹣x）＝（25﹣x2）平方米， 而原正方形面积为52＝25平方米， 减少了x2平方米． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何面积验证平方差公式，根据题意画出图形，数形结合思想解题是本题的解题关键． 9．（2024秋•湘桥区期末）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是（　　） A．2a2﹣πb2 B．2a2b2 C．2ab﹣πb2 D．2abb2 【考点】列代数式． 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式解答即可． 【解答】解：能射进阳光部分的面积是2abb2， 故选：D． 【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键． 10．（2024秋•商水县期末）如图，用16m长的铝合金做成一个长方形的窗框．设长方形窗框的横条长度为xm，则长方形窗框的面积为（　　） A．x（16﹣x）m2 B．x（8﹣x）m2 C．x（）m2 D．x（）m2 【考点】列代数式． 【答案】C 【分析】根据窗框材料的总长得出窗框的宽度，再利用面积公式即可得． 【解答】解：设长方形窗框的横条长度为xm，则长方形的宽为， ∴长方形窗框的面积为x•， 故选：C． 【点评】本题主要考查列代数式的能力，根据窗框材料的总长得出窗框的宽度是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•新乡期末）如图，剪纸课上王林从一张边长为mcm（m＞5）的正方形纸片上先截去一个宽为1cm的长方形纸条，再截去一个宽为2cm的长方形纸条，则共截去了 　（3m﹣2）　 cm2的纸条． 【考点】列代数式． 【专题】推理能力． 【答案】（3m﹣2）． 【分析】列出相应的代数式．根据图形，可以用含m的代数式表示出截取铁皮的面积． 【解答】解：截取的面积为：2m+（m﹣2）×1＝（3m﹣2）cm2， 故答案为：（3m﹣2）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意． 12．（2025春•黔西南州期末）体育用品商店的每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，学校到体育用品商店购买3个排球，5个篮球共需的费用为　（3x+5y）　 元．（用含x、y的代数式表示） 【考点】列代数式． 【专题】应用题． 【答案】（3x+5y）． 【分析】根据题意可得购买3个排球需要3x元，购买5个篮球需要5y元，最后二者相加即可． 【解答】解：∵每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元， ∴学校到体育用品商店购买3个排球，5个篮球共需的费用为（3x+5y）元， 故答案为：（3x+5y）． 【点评】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 13．（2024秋•南开区期末）一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，用含有a，b，c的式子表示这个三位数为 　100c+10b+a ． 【考点】列代数式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】100c+10b+a． 【分析】根据一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，然后即可用含a、b、c的代数式表示出这个三位数． 【解答】解：∵一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c， ∴这个三位数为：100c+10b+a， 故答案为：100c+10b+a． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 14．（2025•商丘模拟）若一个足球m元，一个篮球n元，则买5个足球和10个篮球共需要 　（5m+10n）　 元． 【考点】列代数式． 【专题】整式；应用意识． 【答案】（5m+10n）． 【分析】根据总费用等于足球的费用加上篮球的费用，列出代数式即可． 【解答】解：一个足球m元，一个篮球n元，则：买5个足球需要5m元，买10个篮球需要10n元， ∴买5个足球和10个篮球共需要：（5m+10n）元； 故答案为：（5m+10n）． 【点评】本题考查列代数式解决实际问题．根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键． 15．（2024秋•开福区校级期末）已知m2﹣5m的值为4，则代数式3m2﹣15m+8的值为 　20　 ． 【考点】代数式求值． 【专题】整式；运算能力． 【答案】20． 【分析】先将3 m2﹣15 m+8变形为3（m2﹣5m）+8，再整体代入计算即可． 【解答】解：∵m2﹣5m＝4， ∴3 m2﹣15 m+8 ＝3（m2﹣5m）+8 ＝3×4+8 ＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查代数式求值．将3 m2﹣15 m+8变形为3（m2﹣5m）+8是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•南陵县期末）书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为23cm，宽为16cm，厚度为2cm，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书．在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为acm．（1）该包书纸的长为 　（2a+34）　 cm，宽为 　（2a+23）　 cm；（用含a的代数式表示） （2）当a＝1时，求该包书纸的面积（含阴影部分）． 【考点】代数式求值． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）（2a+34），（2a+23）； （2）900cm2． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）把a＝1代入（1）中包书纸的长和宽中，即可求出其面积． 【解答】解：（1）该包书纸的长为16×2+2+2a＝（2a+34）cm，宽为（2a+23）cm； 故答案为：（2a+34），（2a+23）； （2）当a＝1时，2a+34＝36（cm），2a+23＝25（cm）， 所以该包书纸的面积为36×25＝900（cm2）， 答：该包书纸的面积为900cm2． 【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． 17．（2025•上城区校级三模）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米． （1）制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ （2）若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 【考点】列代数式． 【专题】整式；应用意识． 【答案】（1）（5x+5y）米的材料； （2）（21xa+19ya）元． 【分析】（1）先分别求出制作这两种造型的窗框各一个需要多少材料，再相加即可； （2）先求出总长度，再乘以a即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得，制作A种造型的窗框一个，需要材料（3x+2y）米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料（2x+3y）米， 则（3x+2y）+（2x+3y）＝5x+5y（米）． 即制作这两种造型的窗框各一个，共需要（5x+5y）米的材料； （2）共需材料的长度为：5（3x+2y）+3（2x+3y） ＝15x+10y+6x+9y ＝21x+19y（米）， ∵这种材料每米的价格为a元， ∴这位用户共需要花的钱数为（21xa+19ya）元． 【点评】本题考查列代数式，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键． 18．（2024秋•嵩县期末）如图长方形的长为a，宽为2b． （1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S． （2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14） 【考点】代数式求值；列代数式． 【专题】计算题；整式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由图可得，阴影部分的面积是长方形的面积与两个直径为2b的半圆的面积之差，由长方形的长为a，宽为2b，从而可以表示出阴影部分的面积； （2）将a＝5cm，b＝2cm，代入第（1）问中求得的代数式即可求得阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵长方形的长为a，宽为2b， ∴S阴影＝2ab﹣πb2； （2）a＝5cm，b＝2cm时， S阴影＝20﹣3.14×4＝7.44（cm2）， 即S阴影＝7.44（cm2）． 【点评】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． 19．（2024秋•阜平县期末）下表是小明家2024年上半年每月自来水用水情况． 月份 1 2 3 4 5 6 用水量/吨 7 9 8 7 6 10 水费/元 35 45 40 35 30 50 （1）每吨水的水费是 　5　 元；观察水费与用水量的比值，水费与用水量成什么比例关系？ （2）小明一次性买了60吨水，平均每月用水x吨，能使用的月数为y，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ 【考点】正比例；反比例． 【专题】分式；运算能力． 【答案】（1）5；正比例关系；（2）y与x成反比例关系． 【分析】（1）根据表格数据可知，每吨水的水费为5元，通过观察发水费与用水量的比值的为定值，再根据正比例的定义即可解答； （2）先根据题意用式子表示y与x的关系，然后分解成反比例的定义即可解答． 【解答】解：（1）根据表格数据可知，水费与用水量的比值的为5是定值，每吨水的水费为5元，水费与用水量成正比例关系． 故答案为：5； （2）根据题意可知，xy＝60， ∴y与x成反比例关系． 【点评】本题抓鱼考查了正比例、反比例，掌握两量之商为定值成正比例，之积为定值成反比例是解题的关键． 20．（2025春•广安区校级期中）背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为y＝2.7x ； （2）在上述关系中，耗油量每增加1L，二氧化碳排放量就增加　2.7　 kg，当耗油量从3L增加到8L时，二氧化碳排放量就从　8.1　 kg增加到　21.6　 kg； （3）小明家本月家居用电约100kW•h，天然气10m3，自来水6t，开私家车耗油80L，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【考点】列代数式． 【专题】数与式；运算能力． 【答案】（1）y＝2.7x； （2）2.7，8.1，21.6； （3）301.86kg． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）将已知条件代入计算即可； （3）根据题意，代入计算求和即． 【解答】解：（1）根据题意可列出，y＝2.7x， （2）当x＝1时，y＝2.7， 当x＝3时，y＝8.1， 当x＝8时，y＝21.6， （3）二氧化碳排放量的总和为100×0.785+80×2.7+10×0.19+6×0.91＝78.5+216+1.9+5.46＝301.86（kg）， ∴小明家这几项二氧化碳排放量的总和301.86kg． 【点评】本题主要考查代数式的运用，掌握代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$