精品解析：四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025年秋九年级开学测试试卷 （数学） 一．选择题（共36分） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得． 【详解】解：在函数中， 函数的自变量有意义的条件是，， 解得且， 即自变量的取值范围是且， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表： 年龄岁 13 14 15 16 17 18 人数/人 5 8 11 20 9 7 则这些学生年龄的众数是（ ） A. 13岁 B. 14岁 C. 15岁 D. 16岁 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：由表可知16岁出现了20次，出现次数最多， 所以众数为16岁， 故选：D． 【点睛】考查了众数．掌握众数的定义是解题的关键． 4. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，菱形、矩形的性质和判定，根据平行四边形的性质和判定，菱形、矩形的性质进行判断即可得答案． 根据平行四边形、矩形、菱形的性质及平行四边形的判定方法逐一分析选项即可。 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意； B. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C. 菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； D. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原叙述错误，符合题意； 故选：D． 5. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数 ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故选：A． 6. 如图，在中，AC，BD相交于点O，若，则线段AO的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AO = CO=AC，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= CO=AC= 4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 7. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可． 【详解】解：由题意得，不等式的解集可以看作是函数的图象在的图象上方部分对应的自变量的取值范围． ∵函数和的图象相交于点， ∴结合图象可得，不等式的解集为， 故选：D． 8. 如图，在中，，，若，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积计算公式得出，然后根据平行四边形的对边相等进行求解． 【详解】∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积是解题的关键． 9. 我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， 由题意，得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 矩形菱形矩形 B. 矩形正方形矩形 C. 平行四边形菱形平行四边形 D. 平行四边形正方形平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定是解决问题的关键． 根据得四边形是平行四边形，再根据得平行四边形是矩形，由此得在点的运动过程中，四边形始终是矩形，只有当时，矩形是正方形，据此即可得出答案． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 在点的运动过程中，四边形始终是矩形， 当时，矩形是正方形， 四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形． 故选：B． 11. 某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数以及方差．根据题意，商店老板最应关注的销售数据是众数． 【详解】解：如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的众数． 故选：B． 12. 如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定； 先作点关于，的对称点，，连接，由轴对称确定最短路线问题，，分别与，的交点即为，，与交于点，此时的周长最小，进而求得的最小值； 【详解】解：先作点关于，的对称点，，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值是 即的最小值是 故选：C 二．填空题（共24分） 13. 如果数据x1，x2，x3的平均数是5，那么数据x1＋2，x2＋2，x3＋2的平均数为____． 【答案】7 【解析】 【分析】直接用平均数的概念进行求解即可． 【详解】 x1，x2，x3的平均数是5 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平均数的概念，熟悉平均数的概念是解题的关键． 14. 已知直线向下平移个单位后经过点，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后得到， 将点代入可得， 故答案为：． 15. 某车间工人日加工零件数的情况如图所示，则这些工人日加工零件数的平均数是______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据图形确定某车间工人日加工零件数，再利用平均数的公式求得平均数． 【详解】解：依题意，（个） ∴这些工人日加工零件数的平均数为个 故答案为：6 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键． 17. 在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得点O为的中点，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵分别为的中点， ∴分别为的中位线，， ∴， ∵四边形的周长为6， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：12 18. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 三．解答题（共90分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 王大爷按每千克21元批发了一批樱桃到市场出售，为了方便，他带了一些零钱备用，先按市场价售出一些后，又降价出售，他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）与售出樱桃的质量x（kg）与之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）王大爷开始自备零钱是______元，降价前每千克樱桃的售价是______元． （2）卖了几天，樱桃卖相不好了，随后他按每千克下降10元将剩余的樱桃售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是5920元，问他一共批发了多少千克的樱桃？一共赚了多少元？ 【答案】（1）500；36 （2）他一共批发了170千克的樱桃；一共赚了1850元 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读从函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象可知，王大爷开始自备零钱是500元，降价前一共卖了100千克，再列式：（，再计算即可得到答案； （2）根据手中的钱（含备用的钱）是5920元，先求解销售数量，列式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，王大爷自带的零钱为500元， （元） 故答案为：500；36 【小问2详解】 解：（千克）， （千克）； （元）， 答：他一共批发了170千克的樱桃；一共赚了1850元． 21. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的、型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 90 89 26.6 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）95；90；20 （2）900台 （3）型号更好，在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m； （2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可； （3）可从众数的角度进行分析判断． 【小问1详解】 解：型中除尘量为95的有3个，数量最多， 所以众数a＝95； B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%， 所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20； 因为B型中“合格”等级所占百分比为20%， 所以B型中“合格”的有2个， 所以B型中中位数b＝； 故答案为：95；90；20； 【小问2详解】 （台）， 答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台； 【小问3详解】 型号更好， 理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90． 【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． 22. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 【答案】（1）旗杆距地面3米处折断 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解米，因为米，把数值代入，进行计算，即可作答． （2）先得出点距地面（米），把数值代入，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断， ∴米， ， ， 又米， ， 米， ∴米， ∴旗杆距地面3米处折断； 【小问2详解】 解：如图，点距地面（米）， （米）， （米） 23. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求的面积； （2）猜想的形状，并说明理由． 【答案】（1）5 （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 24. （1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系． （1）先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可； （2）由三角形三边关系求得，，，，再利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：（1）因为、都是实数，且满足， 则且，所以，则． 所以 ； （2）因为、、为的三边，所以，，，， 所以 ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点D是x轴负半轴上一点，连接，点C在第一象限内，，交AC于点C，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，，点F在上，点E在上，，，，连接交于点H，若，求点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3）H 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）证明，得到即可进一步求解； （3）证,，求出直线CG的解析式再求交点即可． 【小问1详解】 解：由，令，得， ∴ ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 把代入直线中，得 解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过A作交BC延长线于点E， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 如图，过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴F、G、N、M在同一条直线上，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 设直线CG的解析式为， 将点，代入，得， 解得： ∴直线CG的解析式为 由 解得： ∴H． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、求两直线的交点坐标等．根据条件进行严密的几何推导是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级开学测试试卷 （数学） 一．选择题（共36分） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表： 年龄岁 13 14 15 16 17 18 人数/人 5 8 11 20 9 7 则这些学生年龄的众数是（ ） A. 13岁 B. 14岁 C. 15岁 D. 16岁 4. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 5. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，在中，AC，BD相交于点O，若，则线段AO的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 16 7. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，若，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 矩形菱形矩形 B. 矩形正方形矩形 C. 平行四边形菱形平行四边形 D. 平行四边形正方形平行四边形 11. 某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 12. 如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共24分） 13. 如果数据x1，x2，x3的平均数是5，那么数据x1＋2，x2＋2，x3＋2的平均数为____． 14. 已知直线向下平移个单位后经过点，则值为______． 15. 某车间工人日加工零件数的情况如图所示，则这些工人日加工零件数的平均数是______个． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为 _______． 17. 在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为______． 18. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 三．解答题（共90分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 王大爷按每千克21元批发了一批樱桃到市场出售，为了方便，他带了一些零钱备用，先按市场价售出一些后，又降价出售，他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）与售出樱桃的质量x（kg）与之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）王大爷开始自备零钱是______元，降价前每千克樱桃的售价是______元． （2）卖了几天，樱桃卖相不好了，随后他按每千克下降10元将剩余的樱桃售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是5920元，问他一共批发了多少千克的樱桃？一共赚了多少元？ 21. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的、型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 90 89 26.6 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 22. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 23. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求的面积； （2）猜想的形状，并说明理由． 24. （1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点D是x轴负半轴上一点，连接，点C在第一象限内，，交AC于点C，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，，点F在上，点E在上，，，，连接交于点H，若，求点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $