2.1《认识实数》课件2025－2026学年北师大版数学八年级上册

实数及分类 北师大数学八年级（上） 1.认识实数 第二章.实数 1 教学目标 知识与技能 通过面积计算理解无理数是无限不循环小数；掌握实数分类并能辨析有理数与无理数；理解实数与数轴的一一对应关系. 过程与方法 经历 “几何直观→数值逼近→抽象定义” 的探究链. 情感态度 体会数学认知的突破性（无理数发现史 ）。 如图是两个边长为 1 的正方形，剪拼出面积为 2 的大正方形，那么大正方形的边长是多少？ 情境引入 （1）如果设大正方形的边长为，那么满足什么条件？ 新知探究 根据正方形面积的计算公式： . （2）可能是整数吗？说说你的理由. 新知探究 不是整数，因为整数1的平方等于1，整数2的平方等于4，所以是一个介于整数1和整数2之间的数. . （3）那么可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流. 新知探究 也不是分数，因为没有一个分数的平方等于2. . 综上所述，既不是整数，也不是分数，也就是说不是有理数. . 尝试·思考 新知探究 问题1 设正方形的边长为 ，满足说明条件？ . 如图，一直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 根据勾股定理可知： . 尝试·思考 新知探究 问题2 是有理数吗？ . 如图，一直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 不是有理数，因为没有一个有理数的平方等于5 . 综上所述，上面的数和确实存在，但它们都不是有理数. . 思考·交流 新知探究 如图是边长为1，面积为1，边长为，面积为2和边长为2，面积为4的三个正方形. . 探究面积为2的正方形的边长究竟是多少？ 思考·交流 新知探究 利用数值逼近法，找一个平方后无限接近2的数，就是面积为2的正方形的边长的近似值. . 探究面积为2的正方形的边长究竟是多少？ 通过探究我们知道1.41422=1.99996164非常接近2，继续探究1.414213562=1.9999999932878736更接近2,继续探究发现中的是一个无限不循环的小数. . 思考·交流 新知探究 用同样的方法探究中的2.23606797也是一个无限不循环的小数. . 在数字的王国里，除了像、2.23606797这样无限不循环的小数外. 还有很多无限不循环的数，比如： 0.3030030003 (3后面依次增加一个0)，这将是我们学习的有理数之外的一类新数. . 新知探究 我们学习了有理数，知道有理数包括整数和分数. 利用所学知识将下面的有理数表示成小数，你有什么发现？ . 3，，，， . 解：3=3.0，=0.8，， ， . 通过探究发现：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 . 所以我们前面发现的无限不循环小数不是有理数。 认识无理数 新知探究 无限不循环小数不是有理数。我们称之为无理数. . . 无理数的定义：无限循不环小数称为无理数。 . 注意：无理数是我们学习的有理数之外的一类新数，常见的无理数除前面学习的面积为2或5的正方形的边长是无理数外，圆周率π也是一个无理数，还有一类是有规律，但无限不循环的小数，如：2.3143114311143(后面的3和4之间依次增加一个1)，这样的数也是无理数，后面还要学习其他类型的无理数. . 认识无理数 新知探究 学习了无理数后，我们学习的数就有了两大类——有理数和无理数，这两大类数我们称之为实数. . . 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 . 认识实数 注意：有理数有正负之分，无理数也有正负之分，因此实数也有正负之分. . 新知探究 我们可以按定义和正负性给实数分类. . . 实数的分类 新知探究 将下列个数填入相应的集合内：3.14, 0.213211321113(后面2与3之间依次增加一个1)，，，，. . . 尝试·思考 11 有理数 无理数 新知探究 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 . . 实数的相反数、倒数及绝对值 新知探究 前面我们讨论的两个正方形边长分别为、，且满足， . . 思考·交流 (1)如图， O A=O B，数轴上点 A 对应 中的哪个数? ∵OB是直角边为1的等腰直角三角形的斜边，∴=2， ∵OA=OB，∴OA=OB=，∴数轴上点A表示的数. . 新知探究 前面我们讨论的两个正方形边长分别为、，且满足， . . 思考·交流 (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?与同伴进行交流。 如图OC=OD，OD是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，∴=5， ∴OC=OD =，∴数轴上点C 表示的数. . 新知探究 通过前面的探究，我们知道，数轴上的点不但可以表示有理数，还可以表示无理数，即数轴上的点可以表示任何一个实数，反过来，任意一个实数都可以用数轴上的一个点表示。 . . 实数与数轴上的点 实数和数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来， 数轴上的每 一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 新知应用 1．下列四个数中，属于无理数的是（　　） A．0 B．1.3333 C．π D． 2．实数的相反数是（　　） A． B． C． D． C A 新知应用 3.如图1，小宇利用两个面积为1cm2的正方形拼成了一个面积为2cm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了平方后为2的无理数．为了感知更多无理数，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，如图2，利用四个直角边为3cm的等腰直角三角形，可以感知到的无理数平方后为是（　　） D A． B． C． D． 典例精析 例1. 下列数中：①-，②0.3，③，④，⑤，⑥中的，⑦0，⑧，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次多一个0） （请填序号） 无理数是 ，整数是 ，负分数是　 ，正数 . 典例精析 解：根据无理数的定义可知：无理数是③⑥⑨， 根据有理数的分类可知：整数是①⑦，负分数②⑧． 根据实数的分类可知：正数是③④⑤⑥⑨ 课堂小结 课外阅读 阅读·思考 阅读课本第28页至29页，了解无理数的发现历史. 课后巩固 完成相关作业． 谢谢观赏 结束新课 $$