重难点专题2.2与圆有关的最值问题（高效培优专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

第 1 页 共 11 页 重难点专题 2-2 与圆有关的最值问题 题型一：圆上点与定点距离的最值 题型二：圆上一点与另一曲线上一点的距离的最值 题型三：与圆的切线有关的最值 题型四：其它距离的最值 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 题型一：圆上点与定点距离的最值 ⨀C上一点�到圆外一点�的距离的最值 ���� = �� + r ���� = �� − r 1-1.(24-25 高二上·广西河池·阶段练习)点M 在直线3 4 5 5 0x y   上，O为原点，则 OM 的最小值是( ) A．1 B．2 C． 5 D． 2 5 1-2.(24-25 高二上·云南昆明·阶段练习)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏 饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出 发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 4x y  ，若将军从点  3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y  ，并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A． 17 B． 17 2 C．2 17 D． 17 2 1-3. (24-25 高二下·贵州遵义·期中)已知点  ,P x y 满足 24y x x  ，点  2,3A  ，则 PA的最大值为( ) A．3 B． 2 5 C．3 5 D．6 1-4.(2024·贵州六盘水·模拟预测)已知 ( 2, 3), ( 2,5), (4, 3)A B C    三点，点 P为∆ABC内切圆上一点，则点 P 到直线4 3 20 0x y   的最小距离为( ) A． 11 5 B． 13 5 C． 17 5 D． 33 5 1-5.(24-25 高二上·浙江杭州·期中)已知实数 1 2 1 2, , ,x x y y 满足， 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21, 1, 0x y x y x x y y      ，则 第 2 页 共 11 页 1 1 2 23 3x y x y     的最大值为( ) A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8 1-6.(多选)(24-25 高二上·山西太原·期中)已知点  ,P x y 是圆  2 2: 2 1M x y   上的动点，则下列说法正确的 是( ) A． y x 的最小值为 3 3  B． 2 2 2 6x y x y   的最小值为9 6 2 C． x y- 的最大值为 2 1 D． 2x y 的最大值为 4 5 1-7.(多选)(2025 高三·全国·专题练习)已知点 A，B是圆 2 2: ( 2) 1C x y   上的两个动点，圆 2 21 : 1C x y  ， 点 P是直线 : 0l x y  上的动点，且 0, 0CA PB CBPA         ，下列说法正确的是( ) A．直线 1x  是圆C与圆 1C 的公切线 B．｜PA｜的最小值为 2 1 C．四边形 ACBP面积的最小值为 2 D．直线 AB恒过定点 3 1, 2 2      1-8.(多选)(2025·四川凉山·三模)已知 2 2 4x y  ，则( ) A． 2 2 3( 2) 2 x y       的最小值是 1 2 B． | 3 4 12 |x y  的最小值是 2 5 C． 5 2 13 6x y   的最小值是 10 D． 2 13 6 20 8y x   的最大值是 2 10 1-9.(23-24 高二下·吉林延边·阶段练习)已知  P m n, 是圆    2 2: 4 4 8C x y    上的一个动点，则 2 2m n 的取值范围为 ． 1-10.(24-25 高二上·广东·期中)已知圆 2 2: ( 1) ( 3) 4C x y    ，直线 : 2 8 0l x y   ，M 为圆C上一动点，N 为直线 l上一动点，定点 ( 7, 4)P   ，则 | | | |MN PN 的最小值为 . 1-11.(24-25高二上·四川广安·期中)若点 A是圆    2 2: 3 4 25C x y    上的动点，点 B是直线3 4 14x y  上 的动点，定点  6,1P ，则 PA PB   的最小值为 . 1-12.(24-25 高一上·山东淄博·期中)已知点  7,0 ,A B 为直线 : 4 3 11 0l x y   上的动点， P为圆 2 2: ( 2) 9C x y   上的动点，则 3PA PB 的最小值为 . 第 3 页 共 11 页 题型二：圆上一点与直线上一点的距离的最值 ⨀C上一点�到直线�距离的最值 ���� = ��−� + r ���� = ��−� − r 2-1. (24-25 高二上·辽宁·阶段练习)已知直线 : 2 2 0( )l kx y k k    R 过定点Q，若 P为圆 2 2: ( 5) ( 6) 4C x y    上任意一点，则 PQ 的最大值为( ) A．3 B．5 C．7 D．9 2-2.(2024·贵州黔南·一模)若M 为圆 2 2( 1) 2x y   上的动点，则点M 到直线 3 0x y   的距离的最小值为 ( ) A． 2 B．3 2 C． 2 2 D．3 2 2-3.(24-25 高二上·福建福州·期中)若实数 x，y满足 2 2 4 1 0x y x    ，则 | 2 2 |x y  的取值范围是( ) A．  2,4 B． 2,7 C． 1,7 D． 2,4 2-4.(23-24 高二下·陕西宝鸡·期中)已知点 A为直线3 4 5 0x y   上一动点，点    2,1 , 2,0P m n B  ，且满 足 2 2 2 4 4m n n m   ，则 2 AP BP 的最小值为( ) A． 6 5 B． 7 3 C． 65 5 D． 7 5 2-5.(多选)(24-25 高二上·河南商丘·期中)已知直线 l的方程为    2 3 (0 ),m n x m n y n m n     R ，圆C的方 程为  2 21 12x y   ，则下列结论正确的是( ) A．直线 l恒过定点  2,1 B．圆C的半径为 12 C．直线 l与圆C恒有两个交点 D．圆心C到直线 l距离的最大值为 10 2-6.(多选)(24-25 高二上·福建福州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前 262~前 190)发现：平面内到 两个定点 , A B的距离之比为定值 ( 1)   的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波 罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 xOy中，已知 (1, 0)A ， ( 2, 0)B  ，动点 P满足 | | 1 | | 2 PA PB  ，直线 : 1 0l mx y m    ，则( ) A．直线 l过定点 ( )1, 1 B．动点 P的轨迹方程为 2 2( 2) 4x y   C．动点 P到直线 l的距离的最大值为 10 D．若点D的坐标为 (1, 1) ，则 2PD PA 的最小值为 10 2-7.(多选)(24-25 高二上·福建宁德·期末)已知直线 l： 1 0kx y k    ，圆 C： 2 2( 2) ( 1) 1x y    ，则( ) 第 4 页 共 11 页 A．直线 l过定点  0,1 B．圆上的点到 l的距离最大值为 5 1 C．当 l与圆 C相切时，直线 l方程为3 4 7 0x y   D．当 2k   时，圆 C上有三个点到 l的距离为 1 2-8.(多选)(24-25 高二上·陕西榆林·期末)在平面直角坐标系中，曲线 2 2: 2 2C x y x y   是一条形状优美的 曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( ) A．曲线C围成的图形有 4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是8 2π C．曲线C上任意两点间的距离最大值是 4 2 D．若  ,T a b 是曲线C上任意一点，则 4 3 18a b  的最小值是11 5 2 2-9.(23-24 高二上·广东江门·期中)已知圆 2 2: 2 8 0C x y x    ，点 P是圆C上一动点，则点 P到直线 5 12 8 0x y   的距离的最大值为 . 2-10.(24-25 高二上·上海·课后作业)圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2x y  的距离最小值是 ． 2-11.(24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中)已知点    1,0 , 0,3A B ，点 P是圆 2 2 2( 3) 5 x y   上任意一点，则 P 到直线 AB距离的最小值为 . 2-12.(2025·吉林·三模)已知复数 1z 满足 1 11 iz z   ，复数 2z 满足 2 4 2z   ，则 1 2z z 的最小值为 ． 题型三：与圆的切线有关的最值 圆的切线长：过圆 O 外一点 P 作圆 O 的切线，切点为 M，则切线长 �� = �� 2 − �2. 3-1.(2025·四川成都·模拟预测)过点 ( ,3)P m 作圆 2 2: ( 2) ( 2) 1C x y    的切线，切点为Q，则 PQ 的最小值 为( ) A． 2 6 B．5 C． 26 D． 4 2 3-2.(23-24 高二上·广东深圳·期末)若直线 : 1 0l mx ny   圆 2 2 2 0x y x   相切，则原点O到直线 l距离的最 大值为( ) A． 3 B．2 C．2 2 D．1 3-3.(22-23 高二上·四川德阳·期末)过直线3 4 0x y m   上一点 P作圆 2 2: 1O x y  的两条切线，切点分别为 A 、 B，若使得四边形PAOB的面积为 2 2 的点 P恰有两个，则实数m的取值范围为( ) A． 15 15m   B． 15m   或 15m  C． 5 3 5 3m   D． 5 3m   或 5 3m  第 5 页 共 11 页 3-4.(24-25 高二上·江苏常州·阶段练习)若圆    2 2: 3 4 4C x y    上总存在两点关于直线 4 3 12 0ax by   对称，则过圆 C外一点  ,a b 向圆 C所作的切线长的最小值是( ) A．4 B． 4 2 C． 2 5 D． 2 7 3-5.(多选)(24-25 高二上·重庆·阶段练习)已知动点 P在直线 : 6 0l x y   上，动点Q在圆 2 2: ( 1) ( 1) 4C x y    上，过点 P作圆C的两条切线，切点分别为 A、B，则下列描述正确的有( ) A．直线 l与圆 C相交 B． PQ 的最小值为 2 2 2 C．四边形PACB面积的最小值为 4 D．存在 P点，使得 120APB   3-6.(24-25 高二上·广东深圳·期中)设 P是直线 : 2 0l x y   上的动点，过 P作圆 2 2: ( 1) ( 1) 1C x y    的切线， 则切线长的最小值为 . 3-7.(23-24 高二下·云南曲靖·期末)过直线 2 5 0x y   上一点 P向圆 2 2: ( 1) ( 2) 4C x y    作切线，切点为 M ，则 PM 的最小值为 . 3-8.(24-25 高二上·陕西咸阳·期中)由直线 2 0x y   上的一点 P向圆  2 23 1x y   引切线，切点为Q，则 PQ 的最小值为 . 3-9.(2025·甘肃白银·二模)已知圆 2 2: ( 1) 1C x y   ，直线  : 1l y k x  ，若直线 l与 x轴交于点A ，过直线 l 上一点 P作圆C的切线，切点为T ，且 3PA PT ，则 k的取值范围是 . 3-10.(24-25 高二上·福建厦门·期中)已知圆 1C ： 2 2( 1) 1x y   ，圆 2C ： 2 2( ) ( ) 4x a y b    ，其中 a， Rb . 若两圆外切，则 3 3 b a   的取值范围为 . 3-11.(24-25 高二上·辽宁大连·期中)下列命题 ①若两直线 2 0ax y  与  1 4 0x a y    平行，则实数 a的值为 1 ②圆 2 2 36x y  上的动点 P与定点  4,0Q 所连线段的中点M 的轨迹方程为  2 22 9x y   ③若圆      2 2 2: 4 4 0M x y r r     上恰有两点到点  1,0N 的距离为 1，则 r的取值范围是 4 6（ ，） ④已知动点 P在直线 : 6 0l x y   上，圆    2 2: 1 1 4C x y    ，过点 P作圆C的两条切线，切点分别为A 、 B，则四边形 PACB面积的最小值为 4 第 6 页 共 11 页 正确的是 (请填序号) 3-12.(23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试)在平面直角坐标系 xOy中，过点  ,0P t 向圆    2 2: 1 4 7C x y    引切线，切线长为 1d ．设点 P到直线 3 12 0x y   的距离为 2d ，则 1 2d d 的最小值为 ． 题型四：其它距离的最值 4-1.(2025·湖南益阳·三模)已知圆 C： 2 2 6 2 8 0x y x y     的一条直径的两个端点分别是 A，B，则它们到 直线 l： 4 0x y   的距离分别为 1d ， 2d ，则 1 2d d 的最大值为( ) A．16 B．32 C．48 D．64 4-2.(24-25 高二上·浙江宁波·期中)已知点  3,0A ，  5,0B ，  0,5C ，圆    2 2: 2 2 1M x y    ，一条光线 从A 点发出，经直线 BC反射到圆M 上的最短路程为( ) A．3 B． 4 C．5 D．6 4-3. (25-26 高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系 xOy中，一只蚂蚁从点  4, 2M   出发，爬到 y轴后又 爬到圆    2 2: 2 2 1C x y    上，则它爬行的最短路程是( ) A． 2 13 1 B．4 C．8 D． 2 10 1 4-4.(2025·北京昌平·二模)已知半径为 1 的圆经过原点，其圆心到直线 3 4 15 0x y   的距离为 d，则 d的最大 值为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 4-5.(2025·北京东城·一模)长度为 2 的线段 AB的两个端点分别在 x轴及 y轴上运动，则线段 AB的中点到直线 3 4 10 0x y   距离的最小值为( ) A．1 B． 2 C．2 D．3 4-6.(多选)(24-25 高三上·湖北黄冈·阶段练习)已知直线 1 :l  2 3 0m x y m     与圆 :C 2 2 2 3 0x y x    ， 则( ) A．直线 l过定点  1,1 B．圆C的半径为 4 C．直线 l与圆C一定相交 D．圆心C到直线 l的距离的最大值是 1 4-7.(多选)(24-25 高二上·浙江杭州·阶段练习)已知点 P在圆    2 24 4 9x y    上，点  3,0A 、  0,1B ，则( ) 第 7 页 共 11 页 A．点 P到直线 AB的距离小于7 B． P点 到直线 AB的距离大于 1 C．当 PBA 最小时， 4PB  D．当 PBA 最大时， 4PB  4-8.(多选)(24-25 高二下·山东菏泽·开学考试)已知直线  : 2 0l mx y m m   R ，圆 2 2: 6 7 0C x y x    ， 则( ) A．当 1m  时，直线 l与圆C相离 B．当直线 l与圆C相切时，m的值为 4 3  C．圆心C到直线 l的距离的最大值是 5 D．圆C与圆 2 2: 8 15 0D x y y    外切 4-9.(多选)(23-24 高二上·浙江台州·期中)已知    4 2 4 0P A， ， ， ，点Q为圆 2 2: 4O x y  上一动点，过点 P作圆 O的切线，切点分别为M N、 ，下列说法正确的是( ) A．若圆    2 2: 2 3 1C x y    ，则圆O与圆C有四条公切线 B．若 x y， 满足 2 2 4x y  ，则 4 3 4x y    C．直线MN的方程为 2 1 0x y   D． 1 2 PQ AQ 的最小值为 13 4-10.(23-24 高二上·河南商丘·期中)已知    1 1 2 2, , ,M x y N x y 是圆 2 2: ( 1) ( 5) 4C x y    上的两个不同的点， 若 2 2MN  ，则 1 1 2 2x y x y   的取值范围为 ． 4-11.(24-25 高二上·福建福州·期中)在直角坐标平面内，  1 1,P x y 、  2 2,Q x y ，    2 21 2 1 2x x y y   是 P、Q 两点的直线距离，定义： 1 2 1 2x x y y   叫做 P、Q两点的“城市街区距离”.已知A 是圆 2 2 4x y  上一点，B 是直线 2 6 0x y   上一点，则A 、 B两点的直线距离最小值是 ，A 、 B两点的“城市街区距离” 最小值是 . 4-12.(24-25 高二上·江苏南京·阶段练习)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在 直角坐标平面上任意两点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 的曼哈顿距离为：   1 2 1 2,d A B x x y y    ．已知点 M在圆 2 2: 1O x y  上，点 N在直线 : 3 9 0l x y   上，则  ,d M N 的最小值为 ． 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 5-1.(2025·北京海淀·三模)已知直线 2y kx  与圆    2 2: 1 1 1C x y    有公共点，则 k的最小值是( ) A． 2 3 B． 3 4 C． 4 3 D． 3 2 5-2.(24-25 高二下·江苏南京·期中)若圆 2 2: ( 2) ( 3) 16C x y    上恰好有 4 个不同的点到直线 :l y kx 的距离 第 8 页 共 11 页 为 3，则实数 k的取值范围是( ) A． 12 ,0 5      B． 120, 5       C． 2 3 2 32 ,2 3 3        D． 2 3 2 32 , 2 3 3          5-3.(24-25 高二上·四川成都·期末)已知圆 2 2: 16C x y  ，直线 : 3l y x b  ，若圆C上至少有 3 个点到直线 l的距离为 1，则b的取值范围为( ) A． 6 6b   B． 2 2b ≤ ≤ C． 6b   或 6b  D． 2b   或 2b  5-4.(24-25 高二上·四川南充·期中)已知圆C： 2 2( 4) 16x y   ，若曲线C上存在 4 个点到直线3 4 0x y m   的距离为 2，则m的取值范围为( ) A． ( 22, 2)  B．[ 22, 2]  C． ( 22) ( 2 )   ， ， D． ( 22] [ 2 )   ， ， 5-5.(24-25 高二上·山东济南·期中)若直线 : 2 0l kx y   与曲线  2: 4 1 1C y x    有两个不同的交点，则 实数 k的取值范围是( ) A． 3 2 6 3 k   B． 3 2 6 5 3 k    C． 3 2 6 3 2 6 3 3 k     D． 3 2 6 1 3 k    5-6.(24-25 高三上·云南·阶段练习)已知集合   2, | 9 , 0M x y y x y    ，   , |N x y y x b   ，若 M N  ，则b的取值范围是( ) A． 3 2,3 2   B．  3,3 2  C．  3,3 D． 3,3 2   5-7.(24-25 高二上·浙江绍兴·期中)已知圆 2 2: ( 5) ( 3) 3C x y    ，直线 : 1 l y ax ，点M 、N为圆C上的两 个动点，若直线 l上存在点 P，使得 120MPN  ，则 a的最大值为( ) A． 7 6 B． 6 7 C． 21 20 D． 20 21 5-8.(24-25 高二上·江苏盐城·阶段练习)已知圆C： 2 2 6 4 9 0x y x y     关于直线 3 0ax by   对称，过点  ,P a b 作圆C的切线，切点分别为 ,A B，则 cos APB 的最小值为( ) A． 27 64 B． 29 64 C． 19 32 D． 27 32 5-9.(23-24 高二上·湖南邵阳·阶段练习)过点  1, 3P 作斜率为 k的直线 l交圆 2 2: 8E x y  于A ， B两点，动 第 9 页 共 11 页 点Q满足 PA QA PB QB  ，若对每一个确定的实数 k，记 PQ 的最大值为 maxd ，则当 k变化时， maxd 的最小值是( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 5-10.(多选)(24-25 高二上·重庆渝中·期中)已知实数 x y､ 满足方程 24y x  ，则下列说法正确的是( ) A． 3 y x  的取值范围是 2 50, 5       B．3x y 的取值范围是 6,2 10   C． 2 2( 3)x y  的取值范围是 1,5 D． 4 2x y  的取值范围是 2 2, 4 2 2   5-11.(多选)(24-25 高二上·江苏连云港·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前 262 年至前 190 年)与欧 几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 ( 1)   的点 所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系 xOy中， (2,4), (2,1)A B .点 P满足 | | 2 | | PA PB  ，设点 P的轨迹为曲线 E，下列结论正确的是( ) A．曲线 E的方程为 2 2( 2) 4x y   B．过点 ( 2,0)C  的直线 l与曲线 E有公共点，则直线 l的斜率范围是 3 3,3 3       C．曲线 E上的点到直线 1 0x y   的最小距离为 3 2 1 2  D．过点 ( 1, 4)D   作曲线 E的一条切线，切点为 F，则 DF 等于 21 5-12.(2025·重庆·二模)过点  2,0P  的直线 l与曲线 2 2 2y x x    有公共点，则直线 l的斜率的最大值 为 . 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 6-1.(24-25 高二上·浙江温州·期中)直线 1 0x y   分别与 x轴，y轴交于 A，B两点，点 P在圆 2 2( 2) 2x y   上，则 ABP 面积的取值范围是( ) A． 1 5, 2 2      B．[1,5] C． 2 3 2, 2 2       D． 3 22, 2       6-2.(24-25 高二上·河北邢台·期中)在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 : 3 2 3 0l x y   与圆 2 2: 4O x y  交于点 ,A B，动点 P在圆    2 2 2: 2 0C x y r r    上运动，若 PAB 的面积的取值范围为 3,3 3   ，则 r的 值为( ) 第 10 页 共 11 页 A． 3 B．1 C．2 3 D． 3 3 6-3.(24-25 高二上·江苏南京·阶段练习)设 ,A B分别是 x轴、 y轴上的动点.若以 AB为直径的圆C与直线 3 5 0x y   相切，则圆C面积的最小值为( ) A． 3π 8 B． 5π 8 C． π D． 5π 4 6-4.(24-25 高二上·江苏南京·期中)若直线上存在到曲线 T上一点的距离为 d的点，则称该直线为曲线 T的 d 距离可相邻直线．已知直线 : 4 3 0l x y m   为圆    2 2: 2 7 16C x y    的 3 距离可相邻直线，则 m的取 值范围是( ) A．  48,22 B． 18, 8  C．    , 48 22,   D．    , 18 8,    6-5.(23-24 高二上·浙江金华·期中)已知圆 2 2: 4C x y  ，直线 l过点  1,1 ，把圆分成面积为 1 2,S S 的两部分  1 2S S ，则 1 2 S S 的最大值所在区间为( ) A．  5,7 B．  7,9 C．  9,11 D．  11,13 6-6.(24-25 高二下·安徽·阶段练习)在平面直角坐标系中， (0,3), (0, 1)A B  ，点 P满足 | | 2 | |PA PB ，则 PAB 面 积的最大值是( ) A．2 B． 8 3 C． 16 3 D． 32 3 6-7.(24-25 高二上·云南曲靖·期中)点 P在圆  2 2: 2 2  C x y 上运动，直线 1 0x y   与圆C交于Q、S两 点，则 PQS△ 面积的最大值是( ) A． 3 3 2 B． 3 2 C． 9 2 8 D． 3 2 8 6-8.(2025·云南大理·模拟预测)在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 : 2 0  l x y 与圆 2 2: 4O x y  交于点 ,A B，动点 P在圆    2 2 2: 2 0C x y r r    上运动，若 PAB 的面积的取值范围为 2,6 ，则 r的值为( ) A． 2 2 B． 2 C．2 D． 2 2 6-9.(多选)(2025 高三下·全国·专题练习)已知点    1,0 , 0,2A B ，点 P是圆 2 2( 1) 1x y   上任意一点，若 第 11 页 共 11 页 PAB 面积的最大值为 a，最小值为b，则( ) A． 2a  B． 52 2 a   C． 52 2 b   D． 5 1 2 b   6-10.(2025·天津和平·二模)已知点 P，Q在直线 l： 2 0x y   上运动，点 H在圆 C： 2 2( 1) ( 1) 8x y- + - = 上， 且有 2PQ  ，则 HPQ△ 的面积的最大值为 . 6-11.(24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系 xOy中，点    2,0 , 2,0A B ，动点M 满足 2MA MB ，则 MAB△ 面积的最大值为 . 6-12.(24-25 高二上·山东·期中)已知点A 是圆C： 2 2 4x y  上的动点，点  4,2B ，则线段 AB的中点D的轨迹 方程是 ；若直线 l： 2 4 0x y   ， F 为直线 l上的动点，过点 F 作点D的轨迹的切线，切点为M ， N，设  2,1E ，当四边形MENF的面积最小时，面积为 ． 重难点专题2-2 与圆有关的最值问题 题型一：圆上点与定点距离的最值 题型二：圆上一点与另一曲线上一点的距离的最值 题型三：与圆的切线有关的最值 题型四：其它距离的最值 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 题型一：圆上点与定点距离的最值 上一点到圆外一点的距离的最值 1-1.(24-25高二上·广西河池·阶段练习)点在直线上，为原点，则的最小值是(   ) A．1 B．2 C． D． 1-2.(24-25高二上·云南昆明·阶段练习)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A． B． C． D． 1-3. (24-25高二下·贵州遵义·期中)已知点满足，点，则的最大值为(   ) A．3 B． C． D．6 1-4.(2024·贵州六盘水·模拟预测)已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为(    ) A． B． C． D． 1-5.(24-25高二上·浙江杭州·期中)已知实数满足，，则的最大值为(    ) A． B．4 C． D．8 1-6.(多选)(24-25高二上·山西太原·期中)已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是(   ) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 1-7.(多选)(2025高三·全国·专题练习)已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是(    ) A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 1-8.(多选)(2025·四川凉山·三模)已知，则(   ) A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 1-9.(23-24高二下·吉林延边·阶段练习)已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 1-10.(24-25高二上·广东·期中)已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 . 1-11.(24-25高二上·四川广安·期中)若点A是圆上的动点，点B是直线上的动点，定点，则的最小值为 . 1-12.(24-25高一上·山东淄博·期中)已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 题型二：圆上一点与直线上一点的距离的最值 上一点到直线距离的最值 2-1. (24-25高二上·辽宁·阶段练习)已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为(    ) A．3 B．5 C．7 D．9 2-2.(2024·贵州黔南·一模)若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 2-3.(24-25高二上·福建福州·期中)若实数x，y满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 2-4.(23-24高二下·陕西宝鸡·期中)已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 2-5.(多选)(24-25高二上·河南商丘·期中)已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是(   ) A．直线恒过定点 B．圆的半径为12 C．直线与圆恒有两个交点 D．圆心到直线距离的最大值为 2-6.(多选)(24-25高二上·福建福州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262~前190)发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则(    ) A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 2-7.(多选)(24-25高二上·福建宁德·期末)已知直线l：，圆C：，则(   ) A．直线l过定点 B．圆上的点到l的距离最大值为 C．当l与圆C相切时，直线l方程为 D．当时，圆C上有三个点到l的距离为1 2-8.(多选)(24-25高二上·陕西榆林·期末)在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有(    ) A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 2-9.(23-24高二上·广东江门·期中)已知圆，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 . 2-10.(24-25高二上·上海·课后作业)圆上的点到直线的距离最小值是 ． 2-11.(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中)已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 2-12.(2025·吉林·三模)已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 题型三：与圆的切线有关的最值 圆的切线长：过圆O外一点P作圆O的切线，切点为M，则切线长. 3-1.(2025·四川成都·模拟预测)过点作圆的切线，切点为，则的最小值为(   ) A． B．5 C． D． 3-2.(23-24高二上·广东深圳·期末)若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为(    ) A． B．2 C． D．1 3-3.(22-23高二上·四川德阳·期末)过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若使得四边形的面积为的点恰有两个，则实数的取值范围为(   ) A． B．或 C． D．或 3-4.(24-25高二上·江苏常州·阶段练习)若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆C外一点向圆C所作的切线长的最小值是(    ) A．4 B． C． D． 3-5.(多选)(24-25高二上·重庆·阶段练习)已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有(    ) A．直线l与圆C相交 B．的最小值为 C．四边形面积的最小值为4 D．存在点，使得 3-6.(24-25高二上·广东深圳·期中)设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 3-7.(23-24高二下·云南曲靖·期末)过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 3-8.(24-25高二上·陕西咸阳·期中)由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 3-9.(2025·甘肃白银·二模)已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 3-10.(24-25高二上·福建厦门·期中)已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 3-11.(24-25高二上·辽宁大连·期中)下列命题 ①若两直线与平行，则实数的值为1 ②圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 ③若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 ④已知动点在直线上，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为4 正确的是 (请填序号) 3-12.(23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试)在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为．设点P到直线的距离为，则的最小值为 ． 题型四：其它距离的最值 4-1.(2025·湖南益阳·三模)已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为(   ) A．16 B．32 C．48 D．64 4-2.(24-25高二上·浙江宁波·期中)已知点，，，圆，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为(    ) A． B． C． D． 4-3. (25-26高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是(    ) A． B．4 C．8 D． 4-4.(2025·北京昌平·二模)已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 4-5.(2025·北京东城·一模)长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D．3 4-6.(多选)(24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习)已知直线与圆，则(   ) A．直线过定点 B．圆的半径为4 C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1 4-7.(多选)(24-25高二上·浙江杭州·阶段练习)已知点在圆上，点、，则(  ) A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 4-8.(多选)(24-25高二下·山东菏泽·开学考试)已知直线，圆，则(    ) A．当时，直线与圆相离 B．当直线与圆相切时，的值为 C．圆心到直线的距离的最大值是5 D．圆与圆外切 4-9.(多选)(23-24高二上·浙江台州·期中)已知，点为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，下列说法正确的是(    ) A．若圆，则圆与圆有四条公切线 B．若满足，则 C．直线的方程为 D．的最小值为 4-10.(23-24高二上·河南商丘·期中)已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ． 4-11.(24-25高二上·福建福州·期中)在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 . 4-12.(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 5-1.(2025·北京海淀·三模)已知直线与圆有公共点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 5-2.(24-25高二下·江苏南京·期中)若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5-3.(24-25高二上·四川成都·期末)已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为(    ) A． B． C．或 D．或 5-4.(24-25高二上·四川南充·期中)已知圆：，若曲线上存在4个点到直线的距离为2，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 5-5.(24-25高二上·山东济南·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5-6.(24-25高三上·云南·阶段练习)已知集合，，若，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5-7.(24-25高二上·浙江绍兴·期中)已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为(   ) A． B． C． D． 5-8.(24-25高二上·江苏盐城·阶段练习)已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 5-9.(23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习)过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是(    ) A．1 B． C． D．2 5-10.(多选)(24-25高二上·重庆渝中·期中)已知实数满足方程，则下列说法正确的是(    ) A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 5-11.(多选)(24-25高二上·江苏连云港·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是(   ) A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 5-12.(2025·重庆·二模)过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 6-1.(24-25高二上·浙江温州·期中)直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6-2.(24-25高二上·河北邢台·期中)在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为(   ) A． B．1 C． D． 6-3.(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)设分别是轴、轴上的动点.若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 6-4.(24-25高二上·江苏南京·期中)若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6-5.(23-24高二上·浙江金华·期中)已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为(    ) A． B． C． D． 6-6.(24-25高二下·安徽·阶段练习)在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是(    ) A．2 B． C． D． 6-7.(24-25高二上·云南曲靖·期中)点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是(   ) A． B． C． D． 6-8.(2025·云南大理·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为(   ) A． B． C．2 D． 6-9.(多选)(2025高三下·全国·专题练习)已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则(   ) A． B． C． D． 6-10.(2025·天津和平·二模)已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 6-11.(24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，点，动点满足，则面积的最大值为 . 6-12.(24-25高二上·山东·期中)已知点是圆：上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是 ；若直线：，为直线上的动点，过点作点的轨迹的切线，切点为，，设，当四边形的面积最小时，面积为 ． 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题2-2 与圆有关的最值问题 题型一：圆上点与定点距离的最值 题型二：圆上一点与另一曲线上一点的距离的最值 题型三：与圆的切线有关的最值 题型四：其它距离的最值 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 题型一：圆上点与定点距离的最值 上一点到圆外一点的距离的最值 1-1.(24-25高二上·广西河池·阶段练习)点在直线上，为原点，则的最小值是(   ) A．1 B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线的距离，即为的最小值. 【详解】原点到直线上的点的距离的最小值为原点到直线的距离， 由点到线的距离公式可得原点到直线的距离， 所以的最小值为.故选：C. 1-2.(24-25高二上·云南昆明·阶段练习)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 问题转化为求点到圆上点的距离的最小值， 所以此“将军饮马”的最短总路程为.故选：B. 1-3. (24-25高二下·贵州遵义·期中)已知点满足，点，则的最大值为(   ) A．3 B． C． D．6 【答案】C【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围) 【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】因为，变形得， 所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示， 则当与点重合时线段长度最大，可知当与点重合时，, 在中根据勾股定理可知.故选：C. 1-4.(2024·贵州六盘水·模拟预测)已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】已知切线求参数、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为，所以，， 则，故，所以， 设内切圆的圆心为，半径为， 则，解得， 又由可知轴，故，则， 由可知轴，故，则， 所以内切圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的最小距离为.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解. 1-5.(24-25高二上·浙江杭州·期中)已知实数满足，，则的最大值为(    ) A． B．4 C． D．8 【答案】D【难度】0.4【知识点】点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)的最值(范围) 【分析】依题可得点在圆上，且，原问题等价为求解点和点到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可. 【详解】由题意，可知在圆上， 由,可得,则, 因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点， 则，且. 又,即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大. 由点到直线的距离为， 故，此时， 故.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题. 解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点，由条件得，将所求式理解为点到直线距离之和的倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值. 1-6.(多选)(24-25高二上·山西太原·期中)已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是(   ) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、定点到圆上点的最值(范围)、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时有最值，则，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确；故选：ABD 1-7.(多选)(2025高三·全国·专题练习)已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是(    ) A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 【答案】AD【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、轨迹问题——圆 【分析】对于A，根据两圆半径判断两圆位置关系； 对于B，由向量性质判断垂直关系，用参数表示，继而得到最小的情况； 对于C，代入三角形面积公式即的值，得到面积； 对于D，两圆相交，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1，所以圆，圆外切，结合草图可知，，则圆，圆的公切线方程为，A正确．    对于B，如图，因为，，所以，连接CP，则，所以当最小时，最小．当，即为圆心到直线的距离时，最小，，所以，B错误． 对于C，由题意得，，所以四边形ACBP的面积，由选项B可知，C错误． 对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上． 因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线AB的方程为，化简得， 由得即直线AB恒过定点，D正确．故选：AD 1-8.(多选)(2025·四川凉山·三模)已知，则(   ) A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点到直线的距离、将军饮马问题求最值 【分析】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离，， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确.故选：ACD. 1-9.(23-24高二下·吉林延边·阶段练习)已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】定点到圆上点的最值(范围)【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为，所以原点在圆外， ，所以，即， 即.故答案为：. 1-10.(24-25高二上·广东·期中)已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 . 【答案】11【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点关于直线的对称点、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】先设C的对称点根据斜率关系及中点在对称直线上求出点,再根据数形结合得出距离和最小最后应用两点间距离公式计算即可. 【详解】设圆心关于对称的点为， 则解得即，连接，， 所以， 所以当三点共线时距离和最小为， 故的最小值为.故答案为：11. 1-11.(24-25高二上·四川广安·期中)若点A是圆上的动点，点B是直线上的动点，定点，则的最小值为 . 【答案】6【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先根据点关于直线对称求出B关于P点对称点为，再结合向量线性运算得出，最后应用圆心到直线的距离减半径计算即可. 【详解】如图所示：设B关于P点对称点为，， 题意可知，解得，由B在直线，代入整理得， 所以， 点A是圆上动点， 所以最小值为圆C的圆心到直线的距离减去半径， 所以，所以，的最小值6.故答案为：6. 1-12.(24-25高一上·山东淄博·期中)已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】9【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、由标准方程确定圆心和半径 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】可知圆的圆心为，半径， 设，，则， 所以， 所以，，过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为，所以的最小值为.故答案为：9. 题型二：圆上一点与直线上一点的距离的最值 上一点到直线距离的最值 2-1. (24-25高二上·辽宁·阶段练习)已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为(    ) A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C【难度】0.94【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值(范围) 【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径. 【详解】由，得，所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，所以在圆外，故的最大值为.故选：C. 2-2.(2024·贵州黔南·一模)若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为.故选：A 2-3.(24-25高二上·福建福州·期中)若实数x，y满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】由题意知点在圆上，则点到直线的距离为， 得，从而根据圆的几何性质可求范围. 【详解】设直线的方程为，由得， 由题意知点在圆上，故点到直线的距离为，则， 易知的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为， 所以，即，所以，即，故选：C. 2-4.(23-24高二下·陕西宝鸡·期中)已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、平面解析综合 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. 设P点坐标为，由题意，则， ∴P点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，记为圆， 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则，化简得， 又∵，代入得，要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则，当A，P，M三点共线(位于两侧)时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则.故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 2-5.(多选)(24-25高二上·河南商丘·期中)已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是(   ) A．直线恒过定点 B．圆的半径为12 C．直线与圆恒有两个交点 D．圆心到直线距离的最大值为 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】将直线方程变形为，令，即可求出直线过定点坐标，即可判断A，根据圆的方程判断半径，从而判断B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断C、D. 【详解】因为直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过定点，不妨设定点为，故A正确； 圆的方程为，则圆心，半径，故B错误； 因为，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点，故C正确； 当且仅当时，圆心到直线距离的最大值为，故D正确.故选：ACD 2-6.(多选)(24-25高二上·福建福州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262~前190)发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则(    ) A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值(范围)、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程，选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外，所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号.故选：ABD 2-7.(多选)(24-25高二上·福建宁德·期末)已知直线l：，圆C：，则(   ) A．直线l过定点 B．圆上的点到l的距离最大值为 C．当l与圆C相切时，直线l方程为 D．当时，圆C上有三个点到l的距离为1 【答案】BC【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】将l的方程化为，可知l经过直线与的交点，从而判断出A项的正误；求出圆心C到直线l距离的最大值，进而算出圆上的点到直线l距离的最大值，由此判断出B项的正误；根据切线的性质、点到直线的距离公式，算出直线l与圆C相切时的斜率k值，进而判断出C项的正误；当时，圆心C恰好在直线l上，结合圆的半径，判断出D项的正误． 【详解】对于A，直线l：可化为， 所以直线l经过直线与直线的交点，故A项不正确； 对于B，圆C：的圆心为，半径 根据直线l经过定点，可知点C到直线l的最大距离为 因此，圆C上的点到l的距离最大值为，故B项正确； 对于C，当l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离， 即，解得，可得直线l的方程为，即，故C项正确； 对于D，当时，直线l方程为，此时圆心C恰好在直线l上， 根据圆的半径，可知圆C上仅有两个点到l的距离等于1，故D项不正确．故选：BC. 2-8.(多选)(24-25高二上·陕西榆林·期末)在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有(    ) A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、由方程研究曲线的性质、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示，    对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 所以的最小值为，故D正确.故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线的四段方程，作出图象，数形结合求解. 2-9.(23-24高二上·广东江门·期中)已知圆，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】4【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先求出圆心到直线的距离，加上半径即可得点到直线距离的最大值. 【详解】由题圆，可得，圆心，半径， 圆心到直线的距离等于， 所以点到直线的距离的最大值为.故答案为：4. 2-10.(24-25高二上·上海·课后作业)圆上的点到直线的距离最小值是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】圆化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式， 求出圆心到直线的距离，从而算出圆上的点到直线的距离最小值. 【详解】因为圆，化为标准方程为：，其圆心为，半径为1， 因为直线，所以圆心到该直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离最小值是.故答案为：. 2-11.(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中)已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，然后减去半径，即可求解. 【详解】因为，所以直线的方程为，即， 又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最小值为.故答案为：. 2-12.(2025·吉林·三模)已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】设，，根据条件可得复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，在复平面内对应的点的轨迹是圆，利用圆上的点到直线距离最小值的求法可得结果. 【详解】设，由得， ∴，整理得，∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线. 设，则， 由得，，即， ∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为， ∴的最小值为.故答案为：. 题型三：与圆的切线有关的最值 圆的切线长：过圆O外一点P作圆O的切线，切点为M，则切线长. 3-1.(2025·四川成都·模拟预测)过点作圆的切线，切点为，则的最小值为(   ) A． B．5 C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】切线长【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以，在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，，则. 的最小值为.故选：A. 3-2.(23-24高二上·广东深圳·期末)若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为(    ) A． B．2 C． D．1 【答案】B【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、直线与圆的位置关系求距离的最值、由标准方程确定圆心和半径 【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径. 【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1， 直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1， 原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为.故选：B 3-3.(22-23高二上·四川德阳·期末)过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若使得四边形的面积为的点恰有两个，则实数的取值范围为(   ) A． B．或 C． D．或 【答案】A【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】根据对称性得到，从而得到，，到点的距离有2个，由点到直线距离得到不等式，求出答案. 【详解】由对称性可知，， 又圆的半径为1，即，故， 由勾股定理得，即到点的距离为3的点有2个，   故，解得.故选：A 3-4.(24-25高二上·江苏常州·阶段练习)若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆C外一点向圆C所作的切线长的最小值是(    ) A．4 B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、切线长、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】圆心在直线上，代入得到，当与圆心的连线与直线垂直时，点到圆心的距离最小，最小值为，此时切线长最小，由勾股定理求出最短的切线长. 【详解】由题意得，圆心在直线上，故，即， 圆心到直线的距离为，故与圆相离， 当与圆心的连线与直线垂直时， 点到圆心的距离最小，最小值为， 此时过向圆C所作的切线长最小，其中圆的半径为， 由勾股定理得，切线长为.故选：D 3-5.(多选)(24-25高二上·重庆·阶段练习)已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有(    ) A．直线l与圆C相交 B．的最小值为 C．四边形面积的最小值为4 D．存在点，使得 【答案】BC【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，四边形面积： ， 当且仅当时取等号，因此四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，D错误.故选：BC 3-6.(24-25高二上·广东深圳·期中)设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】切线长【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】圆的圆心，半径，设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值为：．故答案为：． 3-7.(23-24高二下·云南曲靖·期末)过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4【难度】0.85【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可; 【详解】由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且，所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立，所以的最小值为4.故答案为：4. 3-8.(24-25高二上·陕西咸阳·期中)由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】/【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离， 结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以.故答案为：. 3-9.(2025·甘肃白银·二模)已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、求平面两点间的距离【分析】设，得再由，得到点在圆上，又点在直线上，求解的范围. 【详解】设，则 ;，整理得，， 即点在圆上， 又点在直线上，故直线与圆有交点， 即，则，解得.故答案为：. 3-10.(24-25高二上·福建厦门·期中)已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆外切得到，从而将转化为点与形成直线的斜率，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 所以，解得.故答案为： 3-11.(24-25高二上·辽宁大连·期中)下列命题 ①若两直线与平行，则实数的值为1 ②圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 ③若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 ④已知动点在直线上，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为4 正确的是 (请填序号) 【答案】②③④【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆、切线长、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线平行的条件判断①，根据转移法求轨迹方程判断②，转化为两圆相交可求半径范围判断判断③，转化为三角形面积后再转化为求的最值即可利用圆心到直线的距离得解判断④. 【详解】当两直线与平行，则， 解得或，经检验，或时，两直线不重合，故实数的值为1或，故①错误； 设，则，代入圆的方程可得，故②正确； 圆上恰有两点到点的距离为1， 问题转化为以为圆心，半径为1的圆与圆相交即可， 所以，解得，故③正确； 因为, 所以当最小时，四边形面积有最小值，由圆的性质知，的最小值即为 圆心到直线的距离，所以四边形面积的最小值为，故④正确. 故答案为：②③④ 3-12.(23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试)在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为．设点P到直线的距离为，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、切线长、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】依题意由圆的性质可得，设可得，再结合图形利用几何关系由点到直线距离可求得结果. 【详解】连接，过点作圆的任意一条切线，切点为，连接；如下图所示： 易知圆的圆心，半径；由圆的性质可得， 在直角三角形中，， 设，则，由题意可知为点P到直线的距离， 由点作直线的垂线交轴与点，垂足为； 所以当取最小值时，点与点重合， 即的最小值即为点到直线的距离.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将切线长表示成定点到点的距离的形式，再根据几何关系求得点到直线距离即可得出结果. 题型四：其它距离的最值 4-1.(2025·湖南益阳·三模)已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为(   ) A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】B【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的方程化为标准方程，利用参数表示点坐标，最后利用三角函数即可求解. 【详解】由有， 设点， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 所以当，即时，取最大值为.故选：B. 4-2.(24-25高二上·浙江宁波·期中)已知点，，，圆，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点 【分析】根据点关于直线的对称可得，即可根据三角形三边关系结合共线求解. 【详解】直线方程为，即，设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 圆心为，半径为，故， 因此过经过反射在处，由于， 故光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为，故选：B 4-3. (25-26高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是(    ) A． B．4 C．8 D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离．故选：A. 4-4.(2025·北京昌平·二模)已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【详解】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为.故选：D. 4-5.(2025·北京东城·一模)长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，所以， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最小值为，故选：A 4-6.(多选)(24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习)已知直线与圆，则(   ) A．直线过定点 B．圆的半径为4 C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】将直线变形为，即可求解定点，判断A，将圆转化为标准式，即可求解B，根据定点在圆内，即可判断C，根据定点与圆心的距离即可求解D. 【详解】直线变形为， 故，解得，故直线过定点，A正确， 圆为，故半径为2，B错误， 由于定点在圆内，故直线与圆一定相交，C正确， 到圆心的距离为1，故当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大， 故圆心到直线的距离的最大值是1，D正确，故选：ACD 4-7.(多选)(24-25高二上·浙江杭州·阶段练习)已知点在圆上，点、，则(  ) A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆的位置关系、切线长 【分析】先求出直线的方程，圆心和半径.利用几何法求出点到直线的距离的范围，判断A、B；判断出当过的直线与圆相切时,满足最小或最大，利用勾股定理求出，可判断C、D. 【详解】因为点、，所以过的直线方程为即. 圆的圆心坐标为，半径. 因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的范围为. 因为,所以. 因为,所以. 所以点到直线的距离不一定小于7,但一定大于1，故A错误, B正确.如图, 当过的直线与圆相切时,满足最小或最大(点位于时最小,位于时最大), 此时,所以,故C、D正确.故选：BCD 4-8.(多选)(24-25高二下·山东菏泽·开学考试)已知直线，圆，则(    ) A．当时，直线与圆相离 B．当直线与圆相切时，的值为 C．圆心到直线的距离的最大值是5 D．圆与圆外切 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较可判断A；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断B；求出圆心到动直线的最大距离即可判断C；根据两圆位置关系判断D. 【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点； 圆的标准方程为，所以圆心，半径. 对于A，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故A错误. 对于B，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故B正确. 对于C，当过点的直线与直线垂直时，圆心到该直线的距离有最大值5， 此时因为直线的斜率为0，所以过点的直线的斜率不存在. 因为直线的斜率为，所以圆心到直线的距离的取值范围为， 即圆心到直线的距离不存在最大值，故C错误. 对于D，圆的标准方程为，所以圆心，半径. 因为，所以圆与圆外切.故D正确.故选：BD. 4-9.(多选)(23-24高二上·浙江台州·期中)已知，点为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，下列说法正确的是(    ) A．若圆，则圆与圆有四条公切线 B．若满足，则 C．直线的方程为 D．的最小值为 【答案】ABD【难度】0.15 【知识点】直线与圆的实际应用、圆的公切线条数、切点弦及其方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出的取值范围，再由切线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可. 【详解】圆的圆心为，， 对于A：圆的圆心为，半径，所以， 所以两个圆外离，所以有4条公切线，A正确； 对于B：因为满足，所以是圆上的点， 所以可令，其中，此时，B正确； 对于C：若过点的直线斜率不存在，此时直线为，不是圆的切线， 所以圆的切线斜率存在，设为，则切线方程为， 圆心到直线的距离为，解得或者，所以切线方程为和， 联立，解得，联立，解得， 所以(或者)， 所以，直线，C错误； 对于D：设轴上存在点使得圆上任意的一点点满足， 即，解得， 所以，解得，所以存在点在圆内使得， 所以，D正确，故选：ABD 【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD选项. 4-10.(23-24高二上·河南商丘·期中)已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先确定出中点的轨迹为圆，根据题意构造点到直线的距离，则所求问题可转化为圆上动点到直线的距离，利用圆的几何性质即可得解. 【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点到直线的距离分别为， 所以，，所以． 因为点到直线的距离为， 所以，即，所以．故答案为： 4-11.(24-25高二上·福建福州·期中)在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 . 【答案】;【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】分析可知，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，可求得、两点的直线距离最小值；由折线距离的定义设直线上点，可得“城市街区距离”公式，化简成分段函数的形式，由函数的单调性可得“城市街区距离”的最小值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径， 故、两点的直线距离最小值为，不妨设点、，则， 则、两点的“城市街区距离”为 ， 令， 则关于的函数在连续，则该函数在上递减，在上单调递增， 所以，， 为锐角，且，所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题求解圆上的点到直线上的点的“城市街区距离”最小值的关键是能够通过分类讨论的方式，结合三角恒等变换的知识，将问题转化为正弦型函数最值的求解问题. 4-12.(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、直线的一般式方程及辨析、求平面两点间的距离【分析】过点作平行于轴的直线，过点作，得到表示的长度，根据，求得，得到，进而化简得到，得出垂直直线时，最小，利用圆的性质，求得的值，结合，即可求解. 【详解】如图(1)所示，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点，表示的长度， 因为直线的方程为，即直线的斜率，则， 又因为，所以， 所以，可得，即，所以， 当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合， 此时为定值，此时为0时，最小，如图(2)所示， 过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 可得， 又由直线的斜率，可得， 在直角中，可得.故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用直线斜率，结合新定义将所求转化为点到直线的距离问题求解即可. 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 5-1.(2025·北京海淀·三模)已知直线与圆有公共点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为.故选：C. 5-2.(24-25高二下·江苏南京·期中)若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】把点到直线距离为3的个数得出圆心到直线距离范围计算求参. 【详解】由圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3， 可知圆心到直线的距离，即， 所以，解得，故选:D. 5-3.(24-25高二上·四川成都·期末)已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以.故选：A. 5-4.(24-25高二上·四川南充·期中)已知圆：，若曲线上存在4个点到直线的距离为2，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于2，列出不等式，即可求解 【详解】由圆：，可得圆心，半径为4， 要使圆上存在4个点到直线的距离为2， 则满足圆心到直线的距离小于2，可得，解得， 即实数的取值范围是.故选：A 5-5.(24-25高二上·山东济南·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可. 【详解】直线l恒过定点，曲线C的方程可整理为， 所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线l的距离，解得，则， 所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点.故选：D. 5-6.(24-25高三上·云南·阶段练习)已知集合，，若，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】采用数形结合的方法，结合直线与圆的位置关系求参数的取值范围. 【详解】分别作出函数与的图象，如下： 当直线与半圆，相切时，设切点为，则，，此时； 结合图形可知，当时，直线与半圆，无公共点. 当时，直线与半圆，有公共点，即.故选：B 5-7.(24-25高二上·浙江绍兴·期中)已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】取中点为，连，CE，分析可得当共线时，有最大值，结合圆的对称性与正弦定理可得，即，转化为圆心到直线的距离即可得的取值范围，即可得所求. 【详解】如图，取中点为，连，CE，   已知，圆心，半径，则当共线时，有最大值， 因为，则此时， 又由正弦定理得，故， 所以当的时，， 由于点在直线上，所以圆心到直线的距离， 整理解得，故的最大值为.故选：D. 5-8.(24-25高二上·江苏盐城·阶段练习)已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、二倍角的余弦公式 【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上，所以，即， 所以在直线，又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 5-9.(23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习)过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】D【难度】0.15【知识点】由直线与圆的位置关系求参数【分析】本题涉及到动点的轨迹，根据比例，经分析可知，所在轨迹为圆，结合圆的几何性质即可求解. 【详解】由题可知，在圆内， 令，且，显然是的内比分点，设为其外比分点， 则，此时的中点为所在阿氏圆的圆心，      对每一个确定的实数，的最大值为即重合时为对应圆的直径， 根据圆的对称性，如图，讨论的情况，而 当为直径时，；此时，所以 故的最大值为 当不为直径时，，，且增减趋势相同， 由得， 显然接近于1时趋向无穷大，此时的最大值趋向无穷大， 综上，的最小值为2.故选：D 【点睛】方法点睛：本题涉及到动点到两个定点的距离之比为定值，此时该动点的轨迹为阿氏圆，结合阿氏圆分析点的位置再求的最值即可. 5-10.(多选)(24-25高二上·重庆渝中·期中)已知实数满足方程，则下列说法正确的是(    ) A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用表达式的几何意义，结合图形求范围即可. 【详解】由题意，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为半圆，即圆位于轴上方(包括轴上两点)的部分； 选项A：如图所示，的几何意义为半圆上的点与点的连线的斜率； 设过点的直线的方程为，即， 由，解得或(舍去)；因此，的取值范围是，故A正确； 选项B：设，则， 故的几何意义为过半圆上的点的斜率为的直线系的纵截距； 当直线过点时，有最小值，最小值为； 由，解得或(舍去)，此时有最大值，最大值为， 因此，的取值范围是，故B正确； 选项C：如图所示，几何意义为半圆上的点到的距离的平方； 由图可知，半圆上点到的距离最大，最大距离为5； 点到的距离最小，最小距离为1；因此，的取值范围是，故C错误； 选项D：如图，的为半圆上的点到直线的距离的倍； 由图可知，距离的最小值为，最大值为， 因此，的取值范围是，故D正确；故选：ABD. 5-11.(多选)(24-25高二上·江苏连云港·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是(   ) A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值、轨迹问题——圆、切线长【分析】设，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，由，得，而， 所以，整理得，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为，半径为， 设直线的方程为，到直线的距离， ，两边平方并化简得，解得，所以范围是，B选项正确. C选项，到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误. D选项，，，，所以，D选项正确.故选：ABD    5-12.(2025·重庆·二模)过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】把曲线方程变形，设出过点且与圆的一部分，相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案． 【详解】由曲线，得，作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即．由，解得或(舍去)， 直线的斜率的最大值为．故答案为： 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 6-1.(24-25高二上·浙江温州·期中)直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【详解】解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点， 所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为.故选：A. 6-2.(24-25高二上·河北邢台·期中)在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为(   ) A． B．1 C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】先求弦长，结合图形，得的面积的取值范围即点到直线的距离的范围，因动点在圆上运动，故得点到直线的距离的范围即，根据题意即得. 【详解】如图，圆的圆心到直线的距离为， 故弦,记点到直线的距离为， 则的面积，其范围即的范围. 由图知.当点为过点且与直线垂直的直线与圆的交点时，取到最大和最小.(即图中的点) 因圆心到直线的距离为，故的取值范围为， 则的面积的取值范围为，故.故选：A． 6-3.(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)设分别是轴、轴上的动点.若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】由题意得点必在圆上，由向直线作垂线，垂足为，当点恰好为切点时，圆的半径最小，此时直径为点到直线的距离，进而求解. 【详解】为直径，，点必在圆上， 由点向直线作垂线，垂足为，当点恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小， 此时的圆直径为到直线的距离，即半径. 所以圆面积的最小值.故选：B. 6-4.(24-25高二上·江苏南京·期中)若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】将问题转化为圆心到直线l的距离，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】圆C的半径为4，直线l上存在到圆C上一点的距离为3的点， 故圆心到直线l的距离，即，解得，故选：A． 6-5.(23-24高二上·浙江金华·期中)已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意画出图形，找出最小，即时，然后计算即可. 【详解】如图所示，圆的面积为：.,要使最大，则最小. 由圆的性质知道，当时，最小. ，则，则.与圆的交点为. 此时..故选：C. 6-6.(24-25高二下·安徽·阶段练习)在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是(    ) A．2 B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】设点，因为可得点P的轨迹是以为圆，以为半径的圆，进而求出点P到直线的最大距离即可求得面积的最大值. 【详解】设点，因为，所以，整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以点P到直线的最大距离， 所以面积的最大值为．故选：C. 6-7.(24-25高二上·云南曲靖·期中)点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、圆内接三角形的面积 【分析】求出圆心到直线的距离，可求出点到直线距离的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为.故选：A. 6-8.(2025·云南大理·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的圆心到直线的距离为，所以， 记点到直线的距离为，则的面积，所以， 又圆心到直线的距离为，所以， 又，所以，故选：B 6-9.(多选)(2025高三下·全国·专题练习)已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】根据题意可得圆的半径以及圆心到直线的距离，结合圆的性质就三角形面积的最值. 【详解】由题意知：，，且圆心坐标为，半径为1， 因为圆心到直线的距离． 所以的最大值，故A错误，B正确； 的最小值，故C正确，D错误；故选：BC. 6-10.(2025·天津和平·二模)已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3【难度】0.85 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】利用圆的性质求出点到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为.故答案为：3 6-11.(24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，点，动点满足，则面积的最大值为 . 【答案】/【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】满足的动点的轨迹是圆，当点到轴距离最大时，面积最大. 【详解】设，由得， 化简，整理得，即动点的轨迹方程为：， 的面积, 当点到轴距离=时， 为最大值.故答案为：. 6-12.(24-25高二上·山东·期中)已知点是圆：上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是 ；若直线：，为直线上的动点，过点作点的轨迹的切线，切点为，，设，当四边形的面积最小时，面积为 ． 【答案】;【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、切线长 【分析】利用中点坐标公式求线段的中点的轨迹方程，再根据切线长定理确定，从而当最小时，四边形面积最小，即可求解. 【详解】设，，则有， 根据中点坐标公式可得，，解得， 所以，整理得， 所以线段的中点的轨迹方程是； 所以可知点为圆的圆心，且 所以, 所以要使四边形的面积最小，则最小， 当时，最小，为点到直线的距离， 此时，所以.故答案为: ;. 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 41 页 重难点专题 2-2 与圆有关的最值问题 题型一：圆上点与定点距离的最值 题型二：圆上一点与另一曲线上一点的距离的最值 题型三：与圆的切线有关的最值 题型四：其它距离的最值 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 题型六：直线与圆位置关系中有关面积的最值 题型一：圆上点与定点距离的最值 ⨀C上一点�到圆外一点�的距离的最值 ���� = �� + r ���� = �� − r 1-1.(24-25 高二上·广西河池·阶段练习)点M 在直线3 4 5 5 0x y   上，O为原点，则 OM 的最小值是( ) A．1 B．2 C． 5 D． 2 5 【答案】C【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线3 4 5 5 0x y   的距离，即为 | |OM 的最小值. 【详解】原点到直线上的点的距离的最小值为原点到直线的距离， 由点到线的距离公式可得原点到直线3 4 5 5 0x y   的距离 2 2 | 0 0 5 5 | 5 3 ( 4) d      ， 所以 | |OM 的最小值为 5 .故选：C. 1-2.(24-25 高二上·云南昆明·阶段练习)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏 饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出 发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 4x y  ，若将军从点  3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y  ，并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A． 17 B． 17 2 C．2 17 D． 17 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点 【详解】设点  3,0A 关于直线 4x y  的对称点为 ( , )B x y ， 第 2 页 共 41 页 则 0 1 3 3 4 2 2 y x x y         ，解得 4 1 x y    ，即 (4,1)B ， 问题转化为求点 (4,1)B 到圆 2 2 4x y  上点的距离的最小值， 所以此“将军饮马”的最短总路程为 17 2OB r   .故选：B. 1-3. (24-25 高二下·贵州遵义·期中)已知点  ,P x y 满足 24y x x  ，点  2,3A  ，则 PA的最大值为( ) A．3 B． 2 5 C．3 5 D．6 【答案】C【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围) 【分析】根据函数解析式，分析出点 P的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】因为 24y x x  ，变形得 2 2( 2) 4( 0)x y y    ， 所以 P轨迹是以 (2,0)为圆心，以 2为半径的圆的上半部分，如图所示， 则当 P与点 (4,0)重合时线段 PA长度最大，可知当 P与点 (4,0)重合时， 2, 6AQ PQ  , 在 PQA△ 中根据勾股定理可知 9 36 3 5PA    .故选：C. 1-4.(2024·贵州六盘水·模拟预测)已知 ( 2, 3), ( 2,5), (4, 3)A B C    三点，点 P为∆ABC内切圆上一点，则点 P 到直线4 3 20 0x y   的最小距离为( ) A． 11 5 B． 13 5 C． 17 5 D． 33 5 【答案】B【难度】0.4【知识点】已知切线求参数、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】利用两点距离公式判断得 AB AC ，进而利用三角形等面积法求得∆ABC内切圆的半径，再利用直 线与圆相切的性质数形结合求得∆ABC内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为 ( 2, 3), ( 2,5), (4, 3)A B C    ，所以 5 3 8, 4 2 6AB AC      ，    2 24 2 5 3 10BC      ， 则 2 2 2AB AC BC  ，故 AB AC ，所以 1 1 8 6 24 2 2ABC S AB AC     ， 设∆ABC内切圆的圆心为   , 2 4, 3 5a b a b      ，半径为 r， 第 3 页 共 41 页 则    1 1 8 6 10 24 2 2ABC S AB AC BC r r       ，解得 2r  ， 又由 ( 2, 3), ( 2,5)A B   可知 AB x 轴，故  2 2a r    ，则 0a  ， 由 ( 2, 3), (4, 3)A C   可知 / /AC x轴，故  3 2b r    ，则 1b   ， 所以∆ABC内切圆的圆心为  0, 1 ，则圆心到直线 4 3 20 0x y   的距离为  4 0 3 1 20 23 516 9 d         ， 所以点 P到直线 4 3 20 0x y   的最小距离为 23 1325 5d r    .故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现 ABCV 是直角三角形，进而求得 ABCV 内 切圆的半径，从而得解. 1-5.(24-25 高二上·浙江杭州·期中)已知实数 1 2 1 2, , ,x x y y 满足， 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21, 1, 0x y x y x x y y      ，则 1 1 2 23 3x y x y     的最大值为( ) A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8 【答案】D【难度】0.4【知识点】点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)的最值(范围) 【分析】依题可得点 1 1 2 2 )( , ), ( ,P x y Q x y 在圆 2 2: 1O x y  上，且OP OQ ，原问题等价为求解点 P和点Q到 直线 : 3 0l x y   距离之和的 2 倍的最大值，据此数形结合确定 1 1 2 23 3    x y x y 的最大值即可. 【详解】由题意，可知 1 1 2 2 )( , ), ( ,P x y Q x y 在圆 2 2: 1O x y  上， 由 1 2 1 2 0OP OQ x x y y     ,可得OP OQ ,则 | | 2PQ  , 因 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 2( ) 2 2 x y x y x y x y            ， 而 1 1 3 2 x y  和 2 2 3 2 x y  可理解为点 1 1 2 2 )( , ), ( ,P x y Q x y 到直线 : 3 0l x y   的距离 1d 和 2d . 如图，取 PQ中点M ，连接OM ,分别作 1PP l 于点 1P， 1MM l 于点 1M ， 1QQ l 于点 1Q ， 则 1 1 1/ / / /PP MM QQ，且 1 1 1 1 2 1 1| | (| | | |) ( ) 2 2 MM PP QQ d d    . 第 4 页 共 41 页 又 1 2| | | | 2 2 OM PQ  ,即点M 的轨迹方程为 2 2 1 2 x y  ， 要使 1 1 2 23 3    x y x y 最大值，需使 1| |MM 取最大值， 由图知，显然当线段 1MM 经过圆心 (0,0)O 时， 1| |MM 的值最大. 由点 (0,0)O 到直线 : 3 0l x y   的距离为 3 3 2 22 d   ， 故 1 max 3 2 2| | 2 2 2 2 MM d r     ，此时 1 2 12 | | 4 2d d MM   ， 故 1 1 2 2 1 1 2 2 max max 1 2 max 3 3 ( 3 3 ) 2( ) 2( ) 8 2 2 x y x y x y x y d d               .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题. 解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点 ,P Q，由条件得OP OQ ，将所求式 理解为点 ,P Q到直线 : 3 0l x y   距离之和的 2 倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值. 1-6.(多选)(24-25 高二上·山西太原·期中)已知点  ,P x y 是圆  2 2: 2 1M x y   上的动点，则下列说法正确的 是( ) A． y x 的最小值为 3 3  B． 2 2 2 6x y x y   的最小值为9 6 2 C． x y- 的最大值为 2 1 D． 2x y 的最大值为 4 5 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、定点到圆上点的最值(范围)、圆上点 到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解. 【详解】由圆  2 2: 2 1M x y   可知，圆心为 (2,0)，半径为 1r  ， A 选项，设 y k x  ，则 y kx ， 当直线与圆相切时有最值，则 2 2 1 1 k d k    ，解得 3 3 k   ，则 y x 的最小值为 3 3  ，故 A 选项正确； B 选项，因为 2 2 2 22 6 ( 1) ( 3) 10x y x y x y        ， 2 2( 1) ( 3)d x y    表示圆上的点到 ( 1,3) 距离的平方和， 第 5 页 共 41 页 故     2 22 2 min 2 1 3 1 3 2 1 19 6 2d             ，则  2 2 min 2 6 9 6 2x y x y     ，故 B 选项正确； C 选项，当 (3,0)P 时，此时 3 2 1x y    ，故 C 选项错误； D选项，令 2x y z  ，则当直线与圆相切时有最值， 即 4 1 4 1 z d     ，解得 4 5z   ，所以 2x y 的最大值为4 5 ，故 D 选项正确；故选：ABD 1-7.(多选)(2025 高三·全国·专题练习)已知点 A，B是圆 2 2: ( 2) 1C x y   上的两个动点，圆 2 21 : 1C x y  ， 点 P是直线 : 0l x y  上的动点，且 0, 0CA PB CBPA         ，下列说法正确的是( ) A．直线 1x  是圆C与圆 1C 的公切线 B．｜PA｜的最小值为 2 1 C．四边形 ACBP面积的最小值为 2 D．直线 AB恒过定点 3 1, 2 2      【答案】AD【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、轨迹问题——圆 【分析】对于 A，根据两圆半径判断两圆位置关系； 对于 B，由向量性质判断垂直关系，用参数表示 | |PA ，继而得到 | |PA 最小的情况； 对于 C，代入三角形面积公式即 | |PA 的值，得到面积； 对于 D，两圆相交，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】对于 A，连接 1C C，因为 1 2CC  ，圆 1C ，圆C的半径均为 1，所以圆 1C ，圆C外切，结合草图可 知，      1,0 , 0,1 , 0, 1D H G  ，则圆 1C ，圆C的公切线方程为 1, 1, 1y y x    ，A 正确． 对于 B，如图，因为 0PA CA    ， 0PB CB    ，所以 ,PA CA PB CB  ，连接 CP，则 | |PA  2 2 2| | | | | | 1CP CA CP   ，所以当 | |CP 最小时， | |PA 最小．当CP l ，即 | |CP 为圆心 (2,0)C 到直 线 l的距离时， | |CP 最小， min| | 2CP  ，所以 min| |PA  2 1 1  ，B 错误． 第 6 页 共 41 页 对于 C，由题意得， | | | |PA PB ，所以四边形 ACBP的面积 S  12 | | | | | | 2ACP BCP S S AP AC AP     △ △ ，由选 项 B 可知 min 1S  ，C 错误． 对于 D，设 ( , )P t t ，因为 PA，PB是圆C的切线，所以点A ， B在以 PC为直径的圆上． 因为 (2,0)C ，所以以 PC为直径的圆的方程为 ( )(x t x  2) ( )( 0) 0y t y    ， 整理得 2 2 2) 2 0(x y t x ty t    ，与圆C的方程 2 2( 2) 1x y   相减得直线 AB的方程为 ( 2)( 2)x t   ( ) 1y t  ，化简得 2 3 ( 2) 0x t x y     ， 由 2 3 0, 2 0 x x y       得 3 , 2 1 , 2 x y        即直线 AB恒过定点 3 1, 2 2      ，D 正确．故选：AD 1-8.(多选)(2025·四川凉山·三模)已知 2 2 4x y  ，则( ) A． 2 2 3( 2) 2 x y       的最小值是 1 2 B． | 3 4 12 |x y  的最小值是 2 5 C． 5 2 13 6x y   的最小值是 10 D． 2 13 6 20 8y x   的最大值是 2 10 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点到直线的距离、将军饮马问题求最值 【分析】A 选项表示圆上一点  ,x y 到点 32, 2 A     的距离，即最小值为 AO r；圆上一点  ,x y 到直线 3 4 12 0x y   的距离为 d， 3 4 12 5x y d   ， mind 即为  0,0O 到直线3 4 12 0x y   的距离减半径，求出 mind ，即可得判断 B； 5 2 13 6x y   表示圆上一点  ,P x y 到点    1,0 , 0,3B C 距离之和，由此求解可判 断 C；化简 D 选项可知 D表示圆上一点  ,P x y 到点    0,3 , 1,0C B 距离之差的 2 倍，由此求解可判断 D. 【详解】方程 2 2 4x y  的圆心为  0,0 , 2O r  ， 对于 A， 2 2 3( 2) 2 x y       表示圆上一点  ,x y 到点 32, 2 A     的距离， 2 2 3 52 2 2 AO        ， 所以 2 2 3( 2) 2 x y       的最小值是 5 12 2 2 AO r    ，故 A 正确； 对于 B，圆上一点  ,x y 到直线3 4 12 0x y   的距离为 3 4 12 5 x y d    ， 3 4 12 5x y d   ，所以求 | 3 4 12 |x y  的最小值，即求 mind ， 所以 mind 即为  0,0O 到直线3 4 12 0x y   的距离减半径， 所以  0,0O 到直线3 4 12 0x y   的距离为 1 12 12 5 5 d    ， 所以 min 1 12 22 5 5 d d r     ，所以 | 3 4 12 |x y  的最小值为 min5 2d  ，故 B 错误； 对于 C，因为 2 2 4x y  ，所以 2 2 2 25 2 13 6 1 2 9 6x y x y x x y y           第 7 页 共 41 页    2 22 21 3x y x y      表示圆上一点  ,P x y 到点    1,0 , 0,3B C 距离之和， 所以 2 21 3 10PC PB CB     ，当 , ,P C B三点在一条直线上时取等， 故 5 2 13 6x y   的最小值是 10 ，故 C 正确； 对于 D，因为 2 2 4x y  ，所以  2 2 2 22 13 6 20 8 2 9 6 4 4 8y x x y y x y x              2 22 2 2 2 2 22 9 6 2 1 2 2 3 1x y y x y x x y x y                  ， 表示圆上一点  ,P x y 到点    0,3 , 1,0C B 距离之差的 2 倍， 所以 2 22 2 1 3 2 10PC PB BC     ，当 , ,P C B三点在一条直线上时取等， 2 13 6 20 8y x   的最大值是 2 10 ，故 D 正确.故选：ACD. 1-9.(23-24 高二下·吉林延边·阶段练习)已知  P m n, 是圆    2 2: 4 4 8C x y    上的一个动点，则 2 2m n 的取值范围为 ． 【答案】 2 2,6 2  【难度】0.85【知识点】定点到圆上点的最值(范围)【分析】 2 2m n 表示圆上的点  P m n, 到原点  0,0O 之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】圆    2 2: 4 4 8C x y    的圆心  4,4C ，半径 2 2r  ， 2 2m n 表示圆上的点  P m n, 到原点  0,0O 之间的距离， 因为    2 20 4 0 4 32 8     ，所以原点  0,0O 在圆C外， 16 16 4 2OC    ，所以 4 2 2 2 4 2 2 2OP    ，即 2 2 6 2OP  ， 即 2 2 2 2,6 2m n      .故答案为： 2 2,6 2   . 1-10.(24-25 高二上·广东·期中)已知圆 2 2: ( 1) ( 3) 4C x y    ，直线 : 2 8 0l x y   ，M 为圆C上一动点，N 为直线 l上一动点，定点 ( 7, 4)P   ，则 | | | |MN PN 的最小值为 . 【答案】11【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点关于直线的对称点、圆上点到定直 线(图形)上的最值(范围)【分析】先设 C的对称点根据斜率关系及中点在对称直线上求出点 0C ,再根据数形结 合得出距离和最小最后应用两点间距离公式计算即可. 【详解】设圆心 ( 1,3)C  关于 l对称的点为  0 0 0,C x y ， 则 0 0 0 0 1 32 8 0, 2 2 3 2, 1 x y y x            解得 0 0 5, 9, x y     即 0 (5, 9)C  ，连接 0C N ， 0C P， 所以 2 20 0 12 5 13CN PN C N PN C P       ， 所以当 0 , ,C N P三点共线时距离和最小为13， 第 8 页 共 41 页 故 2MN PN CN PN    的最小值为13 2 11  .故答案为：11. 1-11.(24-25高二上·四川广安·期中)若点 A是圆    2 2: 3 4 25C x y    上的动点，点 B是直线3 4 14x y  上 的动点，定点  6,1P ，则 PA PB   的最小值为 . 【答案】6【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和 半径、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先根据点关于直线对称求出 B关于 P点对称点为  ,B x y ，再结合向量线性运算得出 PA PB PA PB B A          ，最后应用圆心到直线的距离减半径计算即可. 【详解】如图所示：设 B关于 P点对称点为  ,B x y ，  0 0,B x y ， 题意可知 0 0 12 2 x x y y      ，解得 0 0 12 2 x x y y      ，由 B在直线3 4 14x y  ，代入整理得3 4 30 0x y   ， 所以 PA PB PA PB B A          ， 点 A是圆    2 2: 3 4 25C x y    上动点， 所以 B A  最小值为圆 C的圆心到直线3 4 30 0x y   的距离减去半径， 所以 2 2min 3 3 4 4 30 5 6 3 4 B A            ，所以， PA PB   的最小值 6.故答案为：6. 1-12.(24-25 高一上·山东淄博·期中)已知点  7,0 ,A B 为直线 : 4 3 11 0l x y   上的动点， P为圆 2 2: ( 2) 9C x y   上的动点，则 3PA PB 的最小值为 . 【答案】9【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、由标准方程确定圆心和半径 【分析】取点  1,0D ，计算出 3PA PD ，  3 3PA PB PD PB   ，数形结合得到 PD PB 的最小值 为3，从而得到 3PA PB 的最小值. 【详解】可知圆C的圆心为  2,0 ，半径 3r  ， 设  1,0D ，  ,P a b ，则  2 22 9a b   ， 第 9 页 共 41 页 所以         2 22 22 2 2 2 2 22 2 7 14 49 9 214 49 2 11 2 1 9 2 a b a a aPA a a b PD a a ba b a a a                      18 54 3 2 6 3 2 6 2 6 a a a a        ， 所以 3PA PD ，  3 3PA PB PD PB   ，过点D作DB⊥ l，交圆  2 22 9x y   于点 P， 故 PD PB 的最小值为 4 11 3 16 9 B D     ，所以 3PA PB 的最小值为3 3 9  .故答案为：9. 题型二：圆上一点与直线上一点的距离的最值 ⨀C上一点�到直线�距离的最值 ���� = ��−� + r ���� = ��−� − r 2-1. (24-25 高二上·辽宁·阶段练习)已知直线 : 2 2 0( )l kx y k k     R 过定点Q，若 P为圆 2 2: ( 5) ( 6) 4C x y    上任意一点，则 PQ 的最大值为( ) A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C【难度】0.94【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值(范围) 【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径. 【详解】由 : 2 2 0( )l kx y k k     R ，得 (2 2)y k x   ，所以直线 l过定点 (2,2)Q ， 由 2 2: ( 5) ( 6) 4C x y    ，知圆心坐标 (5,6) ，半径为 2， 所以Q到圆心的距离为 2 2(5 2) (6 2) 5 2d       ，所以Q在圆外，故 PQ 的最大值为 2 7d   .故选：C. 2-2.(2024·贵州黔南·一模)若M 为圆 2 2( 1) 2x y   上的动点，则点M 到直线 3 0x y   的距离的最小值为 ( ) A． 2 B．3 2 C． 2 2 D．3 2 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆 2 2( 1) 2x y   的圆心 ( 1,0)C  ，半径 2r  ， 点 ( 1,0)C  到直线 3 0x y   的距离 | 1 0 3 | 2 2 2 2 d      ， 即直线 3 0x y   与圆 2 2( 1) 2x y   相离，又点M 在该圆上， 所以点M 到直线 3 0x y   的距离的最小值为 2d r  .故选：A 2-3.(24-25 高二上·福建福州·期中)若实数 x，y满足 2 2 4 1 0x y x    ，则 | 2 2 |x y  的取值范围是( ) A．  2,4 B． 2,7 C． 1,7 D． 2,4 第 10 页 共 41 页 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】由题意知点  ,P x y 在圆 2 2 4 1 0x y x    上，则点  ,P x y 到直线 2 2 0x y   的距离为 2 | 3 | 2x y  ， 得 | 2 2 | 3x y d   ，从而根据圆的几何性质可求范围. 【详解】设直线 l的方程为 2 2 0x y   ，由 2 2 4 1 0x y x    得  2 22 3x y   ， 由题意知点  ,P x y 在圆  2 22 3x y   上，故点  ,P x y 到直线 l的距离为 | 2 2 | 3 x yd   ，则 | 2 2 | 3x y d   ， 易知  2 22 3x y   的圆心坐标为  2,0 ，半径 3r  ，圆心  2,0 到直线 l的距离为 4 4 333  ， 所以 4 3 4 33 3 3 3 d    ，即 3 7 3 3 3 d  ，所以1 3 7d  ，即1 | 2 2 | 7x y    ，故选：C. 2-4.(23-24 高二下·陕西宝鸡·期中)已知点 A为直线3 4 5 0x y   上一动点，点    2,1 , 2,0P m n B  ，且满 足 2 2 2 4 4m n n m   ，则 2 AP BP 的最小值为( ) A． 6 5 B． 7 3 C． 65 5 D． 7 5 【答案】D【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、平面解析综合 【分析】通过构造关系 2PB PM 找到定点M ，将最值转化为求  2 PA PM 的最值，进而转化为 AM 最 值，则点线距求解可得. 【详解】∵ 2 2 2 4 4m n n m   ，∴    2 22 1 1m n    . 设 P点坐标为  ,x y ，由题意 2, 1x m y n    ，则 2 2 1x y  ， ∴P点轨迹是以  0,0O 点为圆心，1 为半径的圆，记为圆O， 设在 x轴上存在定点 ( ,0)M a ，使得圆上任意一点 ( , )P x y ，满足 2PB PM ， 则    2 22 22 2x y x a y     ，化简得 2 2 23( ) 4(2 1) 4( 1) 0x y a x a      ， 又∵ 2 2 1x y  ，代入得 24(1 2 ) 4 1 0a x a    ，要使等式恒成立，则1 2 0a  ，即 1 2 a  . ∴存在定点 1 ,0 2 M      ，使圆上任意一点 P满足 2PB PM ， 则  2 2 2 2 2AP BP AP MP AP MP AM      ，当 A，P，M三点共线( ,A M 位于 P两侧)时，等号成立. 又A 点为直线3 4 5 0x y   上一动点，则 AM 的最小值即为点M 到直线的距离， 由 1 ,0 2 M      到直线距离 2 2 3 5 72 103 4 d     ，则 min 7 10 AM  .故 72 2 2 5 AP BP AM d    . 如图，过M 作直线3 4 5 0x y   的垂线段，垂线段与圆O的交点即为取最值时的点 P，此时取到最小值 7 5 . 故选：D. 第 11 页 共 41 页 【点睛】借助阿氏圆探究最值问题：若 ,A B为两定点，动点 P满足 PA PB ，则 1  时，动点 P的轨迹 为直线；当 0  且 1  时，动点 P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆， 可以转化动点到定点的距离，化系数 为1，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 2-5.(多选)(24-25 高二上·河南商丘·期中)已知直线 l的方程为    2 3 (0 ),m n x m n y n m n     R ，圆C的方 程为  2 21 12x y   ，则下列结论正确的是( ) A．直线 l恒过定点  2,1 B．圆C的半径为 12 C．直线 l与圆C恒有两个交点 D．圆心C到直线 l距离的最大值为 10 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、由标准方程确 定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】将直线方程变形为    2 3 0x y m x y n     ，令 2 0 3 0 x y x y       ，即可求出直线过定点坐标，即可 判断 A，根据圆的方程判断半径，从而判断 B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断 C、D. 【详解】因为直线 l的方程为    2 3 (0 ),m n x m n y n m n     R ， 即    2 3 0x y m x y n     ，令 2 0 3 0 x y x y       ，解得 2 1 x y     ， 所以直线 l恒过定点  2,1 ，不妨设定点为  2,1P  ，故 A 正确； 圆C的方程为  2 21 12x y   ，则圆心  1,0C ，半径 12 2 3r   ，故 B 错误； 因为  2 22 1 1 10PC r      ，所以点  2,1P  在圆内，所以直线 l与圆C恒有两个交点，故 C 正确； 当且仅当 PC l 时，圆心C到直线 l距离的最大值为 10PC  ，故 D 正确.故选：ACD 2-6.(多选)(24-25 高二上·福建福州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前 262~前 190)发现：平面内到 两个定点 , A B的距离之比为定值 ( 1)   的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波 罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 xOy中，已知 (1, 0)A ， ( 2, 0)B  ，动点 P满足 | | 1 | | 2 PA PB  ，直线 : 1 0l mx y m    ，则( ) A．直线 l过定点 ( )1, 1 B．动点 P的轨迹方程为 2 2( 2) 4x y   C．动点 P到直线 l的距离的最大值为 10 D．若点D的坐标为 (1, 1) ，则 2PD PA 的最小值为 10 【答案】ABD【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值(范围)、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 第 12 页 共 41 页 【分析】选项 A：利用直线过定点求解即可，选项 B：设动点 ( , )P x y ，然后根据条件列出 2 2 2 2 ( 1) 1 2( 2) x y x y      ， 然后整理得到阿氏圆的方程，选项 C:易知最大值为    2 22 1 0 1 2 10 2MC r        .选项 D：分析可 知当且仅当 P为线段DB与圆C的交点时取最小值. 【详解】对 A,直线 : 1 0l mx y m    ， ( 1) 1 0m x y    ，所以直线 l过定点 ( 1,1)M  ，A 正确； 对 B，设 ( , )P x y ，因为动点 P满足 | | 1 | | 2 PA PB  ，所以 2 2 2 2 ( 1) 1 2( 2) x y x y      ，整理可得 2 2 4 0x y x   ， 即 2 2( 2) 4x y   ，所以动点 P的轨迹是以 (2,0)C 为圆心， 2r  为半径的圆， 动点 P的轨迹方程为圆 2 2: ( 2) 4C x y   ，B 正确； 对于 C，当直线 l与MC垂直时, 动点 P到直线 l的距离最大， 且最大值为    2 22 1 0 1 2 10 2MC r        ，C 错误； 对于 D，由 | | 1 | | 2 PA PB  ，得 2 | | | |PA PB ，所以 2PD PA PD PB   ， 又因为点D在圆C内，点 B在圆C外，所以 2 10PD PA PD PB BD     ， 当且仅当 P为线段DB与圆C的交点时取等号.故选：ABD 2-7.(多选)(24-25 高二上·福建宁德·期末)已知直线 l： 1 0kx y k    ，圆 C： 2 2( 2) ( 1) 1x y    ，则( ) A．直线 l过定点  0,1 B．圆上的点到 l的距离最大值为 5 1 C．当 l与圆 C相切时，直线 l方程为3 4 7 0x y   D．当 2k   时，圆 C上有三个点到 l的距离为 1 【答案】BC【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】将 l的方程化为    1 1 0k x y     ，可知 l经过直线 1 0x   与 1 0y   的交点，从而判断出 A 项的正误；求出圆心 C到直线 l距离的最大值，进而算出圆上的点到直线 l距离的最大值，由此判断出 B 项 的正误；根据切线的性质、点到直线的距离公式，算出直线 l与圆 C相切时的斜率 k值，进而判断出 C 项的 正误；当 2k  时，圆心 C恰好在直线 l上，结合圆的半径 1r  ，判断出 D 项的正误． 【详解】对于 A，直线 l： 1 0kx y k    可化为    1 1 0k x y     ， 所以直线 l经过直线 1 0x   与直线 1 0y   的交点  11P ，，故 A 项不正确； 对于 B，圆 C： 2 2( 2) ( 1) 1x y    的圆心为  2, 1C  ，半径 1.r  根据直线 l经过定点  1,1P ，可知点 C到直线 l的最大距离为 2 2(2 1) ( 1 1) 5.PC       因此，圆 C上的点到 l的距离最大值为 5 1PC r   ，故 B 项正确； 对于 C，当 l与圆 C相切时，圆心 C到直线 l的距离 d r ， 即 2 2 1 1 1 1 k k k      ，解得 3 4 k   ，可得直线 l的方程为 3 3 1 0 4 4 x y     ，即3 4 7 0x y   ，故 C 项正确； 对于 D，当 2k   时，直线 l方程为2 3 0x y   ，此时圆心 C恰好在直线 l上， 第 13 页 共 41 页 根据圆的半径 1r  ，可知圆 C上仅有两个点到 l的距离等于 1，故 D项不正确．故选：BC. 2-8.(多选)(24-25 高二上·陕西榆林·期末)在平面直角坐标系中，曲线 2 2: 2 2C x y x y   是一条形状优美的 曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( ) A．曲线C围成的图形有 4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是8 2π C．曲线C上任意两点间的距离最大值是 4 2 D．若  ,T a b 是曲线C上任意一点，则 4 3 18a b  的最小值是11 5 2 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、由方程研究曲线的性质、由标准方程确定圆心和 半径、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线C的四段关系式，从而 作出曲线C的图象，由曲线C图象判断各选项即可. 【详解】当 0, 0x y  时，曲线C的方程可化为    2 21 1 2x y    ， 当 0, 0x y  时，曲线C的方程可化为    2 21 1 2x y    ， 当 0, 0x y  时，曲线C的方程可化为    2 21 1 2x y    ， 当 0, 0x y  时，曲线C的方程可化为    2 21 1 2x y    ， 所以曲线C的图象如图所示， 对于 A，由图可知曲线C围成的图形有 4 条对称轴，故 A 正确； 对于 B，曲线C由 4 个半圆组成，其周长为 2 2π 2 4 2π   ，故 B 错误； 对于 C，由图可知曲线C上任意两点间的最大距离为 4 2 ，故 C 正确； 对于 D，  ,T a b 到直线 4 3 18 0x y   的距离 4 3 18 5 a b d    ， 点  1,1 到直线 4 3 18 0x y   的距离为 4 3 18 11 5 5    ， 由圆的性质得曲线C上一点到直线 4 3 18 0x y   的距离最小为 11 2 5  ， 所以 4 3 18a b  的最小值为11 5 2 ，故 D 正确.故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线C的四段方程，作出图象，数形 结合求解. 2-9.(23-24 高二上·广东江门·期中)已知圆 2 2: 2 8 0C x y x    ，点 P是圆C上一动点，则点 P到直线 5 12 8 0x y   的距离的最大值为 . 第 14 页 共 41 页 【答案】4【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先求出圆心 (1,0)C 到直线的距离，加上半径即可得点 P到直线距离的最大值. 【详解】由题圆 2 2: 2 8 0C x y x    ，可得，圆心 (1,0)C ，半径 3r  ， 圆心 (1,0)C 到直线5 12 8 0x y   的距离等于 | 5 8 | 1 25 144    ， 所以点 P到直线的距离的最大值为3 1 4 .故答案为：4. 2-10.(24-25 高二上·上海·课后作业)圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2x y  的距离最小值是 ． 【答案】 2 1 【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】圆 2 2 2 2 1 0x y x y     化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式， 求出圆心到直线的距离，从而算出圆上的点到直线 2x y  的距离最小值. 【详解】因为圆 2 2 2 2 1 0x y x y     ，化为标准方程为：   2 21 1 1x y    ，其圆心为  1,1 ，半径为 r  1， 因为直线 2x y  ，所以圆心到该直线的距离  22 1 1 2 2 1 1 d r        ， 所以圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2x y  的距离最小值是 2 1d r   .故答案为： 2 1 . 2-11.(24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中)已知点    1,0 , 0,3A B ，点 P是圆 2 2 2( 3) 5 x y   上任意一点，则 P 到直线 AB距离的最小值为 . 【答案】 10 【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先求出直线 AB的方程，再求出圆心到直线的距离，然后减去半径，即可求解. 【详解】因为    1,0 , 0,3A B ，所以直线 AB的方程为 3 3y x  ，即3 3 0x y   ， 又圆 2 2 2( 3) 5 x y   的圆心为 (3,0)，半径为 10 5 ，所以圆心到直线的距离为 3 3 0 3 6 10 59 1 d       ， 故 P到直线 AB距离的最小值为 6 10 10 10 5 5   .故答案为： 10 . 2-12.(2025·吉林·三模)已知复数 1z 满足 1 11 iz z   ，复数 2z 满足 2 4 2z   ，则 1 2z z 的最小值为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】设  1 i ,  z x y x y R ，  2 i ,  z m n m n R ，根据条件可得复数 1z 在复平面内对应的点的轨迹为 直线， 2z 在复平面内对应的点的轨迹是圆，利用圆上的点到直线距离最小值的求法可得结果. 【详解】设  1 i ,  z x y x y R ，由 1 11 iz z   得  1 i 1 ix y x y     ， ∴    2 22 21 1x y x y     ，整理得 y x ，∴复数 1z 在复平面内对应的点  ,x y 的轨迹为直线 y x . 设  2 i ,  z m n m n R ，则 2 4 4 iz m n    ， 第 15 页 共 41 页 由 2 4 2z   得，  2 24 2m n   ，即   2 24 2m n   ， ∴复数 2z 在复平面内对应的点  ,m n 的轨迹是以  4,0 为圆心， 2 为半径的圆， ∵ 1 2z z 表示复平面内 1z 与 2z 所对应的点之间的距离，圆心  4,0 到直线 y x 的距离为 ( )22 4 0 2 2 1 1 d - = = + - ， ∴ 1 2z z 的最小值为 2 2 2 2  .故答案为： 2 . 题型三：与圆的切线有关的最值 圆的切线长：过圆 O 外一点 P 作圆 O 的切线，切点为 M，则切线长 �� = �� 2 − �2. 3-1.(2025·四川成都·模拟预测)过点 ( ,3)P m 作圆 2 2: ( 2) ( 2) 1C x y    的切线，切点为Q，则 PQ 的最小值 为( ) A． 2 6 B．5 C． 26 D． 4 2 【答案】A【难度】0.94【知识点】切线长【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的 性质得到 | |PQ 与 | |PC 的关系，最后根据 | |PC 的最小值求出 | |PQ 的最小值. 【详解】已知圆C的方程为 2 2( 2) ( 2) 1x y    ，可得圆心 ( 2, 2)C   ，半径 1r  . 因为 PQ为圆C的切线，所以CQ PQ ，在Rt PCQ△ 中，根据勾股定理可得 2 2 2| | | | | |PQ PC CQ  . 已知 | | 1CQ r  ，则 2 2| | | | 1PQ PC  . 点 ( ,3)P m ，可得 2 2 2| | ( 2) (3 2) ( 2) 25PC m m       . 因为 2( 2) 0m  ≥ ，当且仅当 2m   时， 2( 2) 0m  ，此时 | |PC 取得最小值， min| | 0 25 5PC    . 因为 2 2| | | | 1PQ PC  ，当 | |PC 取最小值5时， 2 2min| | 5 1 24PQ    ，则 min| | 24 2 6PQ   . | |PQ 的最小值为2 6 .故选：A. 3-2.(23-24 高二上·广东深圳·期末)若直线 : 1 0l mx ny   圆 2 2 2 0x y x   相切，则原点O到直线 l距离的最 大值为( ) A． 3 B．2 C．2 2 D．1 【答案】B【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、直线与圆的位置关系求距离的最 值、由标准方程确定圆心和半径 【分析】原点O在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径. 【详解】圆 2 2 2 0x y x   ，即  2 21 1x y   ，圆心坐标  1,0 ，半径为 1， 直线 : 1 0l mx ny   与圆相切，则圆心到直线距离等于半径 1， 原点O在圆上，所以原点O到直线 l距离的最大值为1 1 2  .故选：B 3-3.(22-23 高二上·四川德阳·期末)过直线3 4 0x y m   上一点 P作圆 2 2: 1O x y  的两条切线，切点分别为 A 、 B，若使得四边形PAOB的面积为 2 2 的点 P恰有两个，则实数m的取值范围为( ) A． 15 15m   B． 15m   或 15m  C． 5 3 5 3m   D． 5 3m   或 5 3m  【答案】A【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数 第 16 页 共 41 页 【分析】根据对称性得到 2PAO PBOS S   ，从而得到 2 2PA PB= = ， 3OP  ，到点O的距离 P有 2 个， 由点到直线距离得到不等式，求出答案. 【详解】由对称性可知， 1 2 2 2 2PAO PBO S S     ， 又圆的半径为 1，即 1AO BO  ，故 2 2 2PAOSPA PB AO    ， 由勾股定理得 2 2 8 1 3OP PA AO     ，即到点O的距离为 3 的点 P有 2 个， 故  22 0 0 3 3 4 m     ，解得 15 15m   .故选：A 3-4.(24-25 高二上·江苏常州·阶段练习)若圆    2 2: 3 4 4C x y    上总存在两点关于直线 4 3 12 0ax by   对称，则过圆 C外一点  ,a b 向圆 C所作的切线长的最小值是( ) A．4 B． 4 2 C． 2 5 D． 2 7 【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、切线长、 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】圆心  3,4C 在直线 4 3 12 0ax by   上，代入得到 1 0a b   ，当  ,M a b 与圆心  3,4C 的连线与 直线 1 0x y   垂直时，点  ,M a b 到圆心  3,4C 的距离最小，最小值为 4 2 ，此时切线长最小，由勾股定 理求出最短的切线长. 【详解】由题意得，圆心  3,4C 在直线4 3 12 0ax by   上，故12 12 12 0a b   ，即 1 0a b   ， 圆心  3,4C 到直线 1 0x y   的距离为 3 4 1 4 2 2 1 1      ，故 1 0x y   与圆相离， 当  ,M a b 与圆心  3,4C 的连线与直线 1 0x y   垂直时， 点  ,M a b 到圆心  3,4C 的距离最小，最小值为 4 2 ， 此时过  ,M a b 向圆 C所作的切线长最小，其中圆的半径为 2r  ， 由勾股定理得，切线长为  2 24 2 2 7r  .故选：D 3-5.(多选)(24-25 高二上·重庆·阶段练习)已知动点 P在直线 : 6 0l x y   上，动点Q在圆 2 2: ( 1) ( 1) 4C x y    上，过点 P作圆C的两条切线，切点分别为 A、B，则下列描述正确的有( ) A．直线 l与圆 C相交 B． PQ 的最小值为 2 2 2 C．四边形PACB面积的最小值为 4 D．存在 P点，使得 120APB   第 17 页 共 41 页 【答案】BC【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、圆上点到定直 线(图形)上的最值(范围)【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可. 【详解】圆 2 2: ( 1) ( 1) 4C x y    的圆心 (1,1)C ，半径 2r  ，连接 PC， 对于 A，点C到直线 : 6 0l x y   的距离 4 2 2 2 2 d r    ，直线 l与圆 C相离，A 错误； 对于 B，点Q在圆C上，则 min 2 2 2PQ d r    ，B 正确； 对于 C，由切线长定理知，四边形 PACB面积： 2 2 2 212 2 | | | | 2 | | 2 | | | | 2 4 2PAC S S PA AC PA PC AC d r          ， 当且仅当 PC l 时取等号，因此四边形PACB面积的最小值为 4 ，C 正确； 对于 D，由切线长定理知， 2APB APC   ，而 | | 2 2 2sin | | | | 2 ACAPC PC PC d      ， 又 APC 是锐角，正弦函数 siny x 在 π(0, ) 2 上单调递增，则 APC 的最大值为 π 4 ， 当且仅当 PC l 时取等号，因此 APB 的最大值为 π 2 ，D错误.故选：BC 3-6.(24-25 高二上·广东深圳·期中)设 P是直线 : 2 0l x y   上的动点，过 P作圆 2 2: ( 1) ( 1) 1C x y    的切线， 则切线长的最小值为 . 【答案】 7【难度】0.85【知识点】切线长【分析】由题意得当 PQ 最小时，CP连线与直线 : 2 0l x y   垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】圆 2 2: ( 1) ( 1) 1C x y    的圆心 (1,1)C ，半径 1r  ，设切点为Q， 由题意可知，点 P到圆 2 2: 4C x y  的切线长 PQ 最小时，CP l ， 因为圆心 (1,1)C 到直线 : 2 0l x y   的距离 |1 1 2 | 2 2 2 d    ， 所以切线长的最小值为： 2 2 7d r  ．故答案为： 7 ． 第 18 页 共 41 页 3-7.(23-24 高二下·云南曲靖·期末)过直线 2 5 0x y   上一点 P向圆 2 2: ( 1) ( 2) 4C x y    作切线，切点为 M ，则 PM 的最小值为 . 【答案】4【难度】0.85【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】首先判断直线与圆的位置关 系，由切线性质有 2 2| |PM PC r  ，结合点线距离求 PM 的最小值即可; 【详解】由题知，圆心  1, 2C  ，半径 2r  ， 圆心C到直线 2 5 0x y   的距离 1 2 2 5 2 5 2 1 4 d        . 因为 PCM△ 为直角三角形，且 PM CM ，所以 2 2 2| | 4 4PM PC r d     ， 当且仅当 PC与直线 2 5 0x y   垂直时，等号成立，所以 PM 的最小值为 4.故答案为：4. 3-8.(24-25 高二上·陕西咸阳·期中)由直线 2 0x y   上的一点 P向圆  2 23 1x y   引切线，切点为Q，则 PQ 的最小值为 . 【答案】 46 2 / 1 46 2 【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长 【分析】先确定圆的圆心  3,0C  和半径 1r  ，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离 5 2 2 d  ， 结合 2 2 2PC PQ r  得 PC 取得最小值时 PQ 取得最小值和 PC 的最小值为 5 2 2 d  即可求解. 【详解】圆  2 23 1x y   的圆心坐标为  3,0C  ，半径为 1r  ， 所以圆心  3,0C  到直线 2 0x y   的距离为 5 23 0 2 1 22 d      ， 因为 2 2 2PC PQ r  ，所以当 PC 取得最小值时， PQ 取得最小值， 而 PC 的最小值为 5 2 2 d  ，所以 2 2 2 2 min 465 2 1 22 PQ d r          .故答案为： 46 2 . 3-9.(2025·甘肃白银·二模)已知圆 2 2: ( 1) 1C x y   ，直线  : 1l y k x  ，若直线 l与 x轴交于点A ，过直线 l 上一点 P作圆C的切线，切点为T ，且 3PA PT ，则 k的取值范围是 . 【答案】  1,1 【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、求平面两点间 的距离【分析】设  0 0,P x y ，得 2 20 0 02 ,PA x x y   再由 3PA PT ，得到点 P在圆 2 2 9( 2) 2 x y   上， 第 19 页 共 41 页 又点 P在直线  : 1l y k x  上，求解 k的范围. 【详解】设  0 0,P x y ，则    2 22 2 2 20 0 0 0 0 0 01 , 1 1 2 ,PA x y PT x y x x y          3PA P T ;  2 2 2 20 0 0 0 01 3 2x y x x y       ，整理得， 2 2 0 0 02 8 2 1 0x x y    ， 即  2 20 0 92 , 2 x y   点 P在圆 2 2 9( 2) 2 x y   上， 又点 P在直线  : 1l y k x  上，故直线  1y k x  与圆 2 2 9( 2) 2 x y   有交点， 即 2 2 3 21 k k k     ，则 2 2 1 1 2 k k   ，解得 1 1k   .故答案为： 1,1 . 3-10.(24-25 高二上·福建厦门·期中)已知圆 1C ： 2 2( 1) 1x y   ，圆 2C ： 2 2( ) ( ) 4x a y b    ，其中 a， Rb . 若两圆外切，则 3 3 b a   的取值范围为 . 【答案】 24 ,0 7     【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆外切得到  2 21 9a b   ，从而将 3 3 b a   转化为点  ,P a b 与  3,3M  形成直线的斜率 k， 从而得到关于 k的不等式，解之即可得解. 【详解】圆 2 2 1 : ( 1) 1C x y   和圆 2 2 2 : ( ) ( ) 4C x a y b    外切， 则  2 21 1 2a b    ，整理得到  2 21 9a b   ， 3 3 b a   表示圆  2 21 9x y   的点  ,P a b 与  3,3M  形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线方程为  3 3y k x   ，即 3 3 0kx y k    ， 所以 2 3 3 3 1 k k d k      ，解得 24 0 7 k   .故答案为： 24 ,0 7     3-11.(24-25 高二上·辽宁大连·期中)下列命题 ①若两直线 2 0ax y  与  1 4 0x a y    平行，则实数 a的值为 1 ②圆 2 2 36x y  上的动点 P与定点  4,0Q 所连线段的中点M 的轨迹方程为  2 22 9x y   ③若圆      2 2 2: 4 4 0M x y r r     上恰有两点到点  1,0N 的距离为 1，则 r的取值范围是 4 6（ ，） 第 20 页 共 41 页 ④已知动点 P在直线 : 6 0l x y   上，圆    2 2: 1 1 4C x y    ，过点 P作圆C的两条切线，切点分别为A 、 B，则四边形 PACB面积的最小值为 4 正确的是 (请填序号) 【答案】②③④【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆、切线长、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线平行的条件判断①，根据转移法求轨迹方程判断②，转化为两圆相交可求半径范围判断 判断③，转化为三角形面积后再转化为求 PC 的最值即可利用圆心到直线的距离得解判断④. 【详解】当两直线 2 0ax y  与  1 4 0x a y    平行，则  1 2 0a a    ， 解得 1a  或 2a   ，经检验， 1a  或 2a   时，两直线不重合，故实数 a的值为 1或 2 ，故①错误； 设  ,M x y ，则  2 4,2P x y ，代入圆的方程可得  2 22 9x y   ，故②正确； 圆      2 2 2: 4 4 0M x y r r     上恰有两点到点  1,0N 的距离为 1， 问题转化为以  1,0N 为圆心，半径为 1 的圆与圆M 相交即可， 所以    2 21 1 4 0 4 5 1r NM r         ，解得 4 6r  ，故③正确； 因为 22 2 2 4PACPACBS S PA AC PA PC     四边形 , 所以当 PC 最小时，四边形面积有最小值，由圆的性质知， PC 的最小值即为 圆心到直线的距离 1 1 6 2 2 2 d     ，所以四边形PACB面积的最小值为  22 2 2 4 4  ，故④正确. 故答案为：②③④ 3-12.(23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试)在平面直角坐标系 xOy中，过点  ,0P t 向圆    2 2: 1 4 7C x y    引切线，切线长为 1d ．设点 P到直线 3 12 0x y   的距离为 2d ，则 1 2d d 的最小值为 ． 【答案】2 10 【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、切线长、圆上点到定直线 (图形)上的最值(范围)【分析】依题意由圆的性质可得    2 22 21 1 0 3d PA PC AC t       ，设  1,3B 可得 1d PB ，再结合图形利用几何关系由点到直线距离可求得结果. 【详解】连接 PC，过点 P作圆的任意一条切线，切点为A ，连接 AC；如下图所示： 第 21 页 共 41 页 易知圆    2 2: 1 4 7C x y    的圆心  1,4C ，半径 7r  ；由圆的性质可得 AC AP ， 在直角三角形 APC中，          22 2 2 22 21 1 0 4 7 1 0 3d PA PC AC t t            ， 设  1,3B ，则 1d PB ，由题意可知 2d 为点 P到直线 3 12 0x y   的距离， 由点 B作直线 3 12 0x y   的垂线交 x轴与点Q，垂足为 N； 所以当 1 2d d 取最小值时，点 P与点Q重合， 即 1 2d d 的最小值即为点 B到直线 3 12 0x y   的距离 2 2 1 3 3 12 2 10 1 3 d       .故答案为： 2 10 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将切线长 1d 表示成定点  1,3B 到点  ,0P t 的距离的形式，再根据几何 关系求得点到直线距离即可得出结果. 题型四：其它距离的最值 4-1.(2025·湖南益阳·三模)已知圆 C： 2 2 6 2 8 0x y x y     的一条直径的两个端点分别是 A，B，则它们到 直线 l： 4 0x y   的距离分别为 1d ， 2d ，则 1 2d d 的最大值为( ) A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】B【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的方程化为标准方程，利用参数表示点 ,A B坐标，最后利用三角函数即可求解. 【详解】由 2 2 6 2 8 0x y x y     有    2 23 1 2x y    ， 设点    3 2 cos ,1 2 sin , 3 2 cos ,1 2 sinA B       ， 所以点A 到直线 4 0x y   的距离为   1 π8 2sin8 2 cos sin 4 2 2 d           ， 点 B到直线 4 0x y   的距离为   2 π8 2sin8 2 cos sin 4 2 2 d           ， 所以 2 1 2 π π8 2sin 8 2sin 4 4 π32 2sin 2 4 d d                               ， 所以当 2 πsin 0 4       ，即 πsin 0 4       时， 1 2d d 取最大值为32 .故选：B. 4-2.(24-25 高二上·浙江宁波·期中)已知点  3,0A ，  5,0B ，  0,5C ，圆    2 2: 2 2 1M x y    ，一条光线 从A 点发出，经直线 BC反射到圆M 上的最短路程为( ) A．3 B． 4 C．5 D．6 【答案】B【难度】0.85【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点 【分析】根据点关于直线的对称可得  5,2A ，即可根据三角形三边关系结合共线求解. 第 22 页 共 41 页 【详解】直线 BC方程为 1 5 5 x y   ，即 5y x   ，设点  3,0A 关于直线 BC的对称点为  ,A a b ， 则 1 3 3 5 2 2 b a a b         ，解得 5, 2a b  ，故  5,2A ， 圆心为  2, 2M  ，半径为 1r  ，故    2 25 2 2 2 5AM      ， 因此过A 经过 BC反射在 P处，由于 4AP PQ A P PQ AQ AM r       ， 故光线从A 点发出，经直线 BC反射到圆M 上的最短路程为 4 ，故选：B 4-3. (25-26 高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系 xOy中，一只蚂蚁从点  4, 2M   出发，爬到 y轴后又 爬到圆    2 2: 2 2 1C x y    上，则它爬行的最短路程是( ) A． 2 13 1 B．4 C．8 D． 2 10 1 【答案】A【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点、由标准方程确定 圆心和半径【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆    2 2: 2 2 1C x y    ，得圆心  2,2C  ，半径 1r  ， 易得点  4, 2M   关于 y轴的对称点为  4, 2M   ， 如图，所求的最短路程即为M 到圆C上的点的最短距离    2 24 2 2 2 1 2 13 1CM r          ．故选：A. 4-4.(2025·北京昌平·二模)已知半径为 1 的圆经过原点，其圆心到直线 3 4 15 0x y   的距离为 d，则 d的最大 值为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【详解】因为半径为 1 的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点O为圆心，1 为半径的圆， 而原点O到直线 3 4 15 0x y   的距离为 2 2 15 3 3 4   ， 第 23 页 共 41 页 所以圆心到直线3 4 15 0x y   的距离d的最大值为3 1 4  .故选：D. 4-5.(2025·北京东城·一模)长度为 2 的线段 AB的两个端点分别在 x轴及 y轴上运动，则线段 AB的中点到直线 3 4 10 0x y   距离的最小值为( ) A．1 B． 2 C．2 D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】确定 AB的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设    ,0 , 0,A x B y ，由题意可得： 2 2 4x y  ， 设 AB的中点坐标为  ,m n ，则 2 2 xm yn       ，所以 2 2 1m n  ， 即线段 AB的中点的轨迹是以  0,0 为圆心，1 为半径的圆， 圆心  0,0 到3 4 10 0x y   的距离为： 10 2 9 16   ， 所以线段 AB的中点到直线3 4 10 0x y   距离的最小值为 2 1 1  ，故选：A 4-6.(多选)(24-25 高三上·湖北黄冈·阶段练习)已知直线 1 :l  2 3 0m x y m     与圆 :C 2 2 2 3 0x y x    ， 则( ) A．直线 l过定点  1,1 B．圆C的半径为 4 C．直线 l与圆C一定相交 D．圆心C到直线 l的距离的最大值是 1 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置 关系、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】将直线变形为 1 :l  1 2 3 0m x x y     ，即可求解定点，判断 A，将圆转化为标准式，即可求解 B， 根据定点在圆内，即可判断 C，根据定点与圆心的距离即可求解 D. 【详解】直线 1 :l  2 3 0m x y m     变形为 1 :l  1 2 3 0m x x y     ， 故 1 0 2 3 0 x x y       ，解得 1, 1x y  ，故直线 l过定点  1,1 ，A 正确， 圆 :C 2 2 2 3 0x y x    为 :C  2 21 4x y   ，故半径为 2，B 错误， 由于定点  1,1 在圆内，故直线 l与圆C一定相交，C 正确，  1,1 到圆心  1,0 的距离为 1，故当定点与圆心的连线与直线 l垂直时，距离最大， 故圆心C到直线 l的距离的最大值是 1，D 正确，故选：ACD 4-7.(多选)(24-25 高二上·浙江杭州·阶段练习)已知点 P在圆    2 24 4 9x y    上，点  3,0A 、  0,1B ，则( ) A．点 P到直线 AB的距离小于7 B． P点 到直线 AB的距离大于 1 C．当 PBA 最小时， 4PB  D．当 PBA 最大时， 4PB  【答案】BCD【难度】0.65 第 24 页 共 41 页 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆的位置关系、切线长 【分析】先求出直线 AB的方程，圆心和半径.利用几何法求出点 P到直线 AB的距离的范围，判断 A、B；判 断出当过 B的直线与圆相切时,满足 PBA 最小或最大，利用勾股定理求出 3PB  ，可判断 C、D. 【详解】因为点  3,0A 、  0,1B ，所以过 A B、 的直线方程为即 3 3 0x y   . 圆    2 24 4 9x y    的圆心坐标为  4,4 ，半径 3r  . 因为圆心到直线 3 3 0x y   的距离 2 2 4 12 3 13 10 101 3 d      ， 所以点 P到直线 AB的距离的范围为 13 10 13 103, 3 10 10        . 因为 13 10 13 10 40 1690 16003 7 0 10 10 10        ,所以13 10 3 7 10   . 因为 13 10 13 10 40 1690 16003 1 0 10 10 10        ,所以13 10 3 1 10   . 所以点 P到直线 AB的距离不一定小于 7,但一定大于 1，故 A 错误, B 正确.如图, 当过 B的直线与圆相切时,满足 PBA 最小或最大( P点位于 1P时 PBA 最小,位于 2P 时 PBA 最大), 此时 2 24 3 25 5BC     ,所以 2 2 25 9 4PB BC r     ,故 C、D正确.故选：BCD 4-8.(多选)(24-25 高二下·山东菏泽·开学考试)已知直线  : 2 0l mx y m m   R ，圆 2 2: 6 7 0C x y x    ， 则( ) A．当 1m  时，直线 l与圆C相离 B．当直线 l与圆C相切时，m的值为 4 3  C．圆心C到直线 l的距离的最大值是 5 D．圆C与圆 2 2: 8 15 0D x y y    外切 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆心C到直线 l的距离与半径比较可判断 A；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断 B； 求出圆心到动直线的最大距离即可判断 C；根据两圆位置关系判断 D. 【详解】直线 l的方程可化为  2y m x   ，所以直线 l过定点  2,0A ； 圆C的标准方程为 2 2( 3) 16x y   ，所以圆心  3,0C  ，半径 4r  . 对于 A，当 1m  时，直线 l的方程为 2 0x y   ， 圆心C到直线 l的距离 3 2 5 2 4 22 d r       ，所以直线 l与圆C相交，故 A 错误. 第 25 页 共 41 页 对于 B，当直线 l与圆C相切时，圆心C到直线 l的距离等于半径 r，即 2 3 2 4 1 m m m     ，解得 4 3 m   ，故 B 正确. 对于 C，当过点A 的直线与直线 AC垂直时，圆心C到该直线的距离有最大值 5， 此时因为直线 AC的斜率为 0，所以过点A 的直线的斜率不存在. 因为直线 l的斜率为 m ，所以圆心C到直线 l的距离的取值范围为  0,5 ， 即圆心C到直线 l的距离不存在最大值，故 C 错误. 对于 D，圆D的标准方程为 2 2( 4) 1x y   ，所以圆心  0, 4D  ，半径 1r  . 因为 5CD r r   ，所以圆C与圆D外切.故 D正确.故选：BD. 4-9.(多选)(23-24 高二上·浙江台州·期中)已知    4 2 4 0P A， ， ， ，点Q为圆 2 2: 4O x y  上一动点，过点 P作圆 O的切线，切点分别为M N、 ，下列说法正确的是( ) A．若圆    2 2: 2 3 1C x y    ，则圆O与圆C有四条公切线 B．若 x y， 满足 2 2 4x y  ，则 4 3 4x y    C．直线MN的方程为 2 1 0x y   D． 1 2 PQ AQ 的最小值为 13 【答案】ABD【难度】0.15 【知识点】直线与圆的实际应用、圆的公切线条数、切点弦及其方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出 3x y 的取值范围，再由切线 求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可. 【详解】圆O的圆心为  0,0O ， 2r  ， 对于 A：圆C的圆心为  2,3C ，半径 1R  ，所以 2 22 3 13OC r R     ， 所以两个圆外离，所以有 4 条公切线，A 正确； 对于 B：因为 x y， 满足 2 2 4x y  ，所以  ,E x y 是圆O上的点， 所以可令 2cos 2sin x y      ，其中  0 ,360    ，此时    3 2 3 cos 2sin 4sin 60 4,4x y           ，B 正确； 对于 C：若过点 P的直线斜率不存在，此时直线为 4x  ，不是圆O的切线， 所以圆O的切线斜率存在，设为 k，则切线方程为  2 4y k x   ， 圆心到直线的距离为 2 4 2 2 1 k d k     ，解得 0k  或者 4 3 k  ，所以切线方程为 4 10 3 3 y x  和 2y  ， 联立 2 2 4 4 10 3 3 x y y x        ，解得 8 5 6 5 x y        ，联立 2 2 4 2 x y y      ，解得 0 2 x y    ， 所以   8 60,2 , ,5 5M N      (或者   8 60,2 , ,5 5N M      )， 第 26 页 共 41 页 所以 62 5 280 5 MNk      ，直线 : 2 2 2 2 0MN y x x y       ，C 错误； 对于 D：设 x轴上存在点  ,0D t 使得圆上任意的一点点  ,Q x y 满足 1 2 DQ AQ ， 即    2 22 22 4x t y x y     ，解得  2 2 23 3 8 8 16 4x y t x t     ， 所以 2 8 8 0 16 4 12 t t      ，解得 1t  ，所以存在点  1,0D 在圆内使得 1 2 DQ AQ ， 所以  2 21 4 1 2 13 2 PQ AQ PQ DQ PD        ，D正确，故选：ABD 【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断 CD 选项. 4-10.(23-24 高二上·河南商丘·期中)已知    1 1 2 2, , ,M x y N x y 是圆 2 2: ( 1) ( 5) 4C x y    上的两个不同的点， 若 2 2MN  ，则 1 1 2 2x y x y   的取值范围为 ． 【答案】  4,12 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先确定出MN中点 P的轨迹为圆，根据题意构造点到直线 0x y  的距离，则所求问题可转化为圆 上动点 P到直线 0x y  的距离，利用圆的几何性质即可得解. 【详解】由题知，圆C的圆心坐标  1,5C ，半径为 2，因为 2 2MN  ，所以CM CN ． 设 P为MN的中点，所以 2CP  ，所以点 P的轨迹方程为 2 2( 1) ( 5) 2x y    ． 即点 P的轨迹是以  1,5C 为圆心，半径为 2 的圆． 设点 , ,M N P到直线 0x y  的距离分别为 1 2, ,d d d， 所以 1 1 2 2 1 2,2 2 x y x y d d     ， 1 2 2 d dd  ，所以  1 1 2 2 1 22 2 2x y x y d d d      ． 因为点C到直线 0x y  的距离为 1 5 2 2 2   ， 所以 2 2 2 2 2 2d    ，即 2 3 2d  ，所以4 2 2 12d  ．故答案为：  4,12 4-11.(24-25 高二上·福建福州·期中)在直角坐标平面内，  1 1,P x y 、  2 2,Q x y ，    2 21 2 1 2x x y y   是 P、Q 第 27 页 共 41 页 两点的直线距离，定义： 1 2 1 2x x y y   叫做 P、Q两点的“城市街区距离”.已知A 是圆 2 2 4x y  上一点，B 是直线 2 6 0x y   上一点，则A 、 B两点的直线距离最小值是 ，A 、 B两点的“城市街区距离” 最小值是 . 【答案】 6 5 2 5  ;3 5 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】分析可知，A 、B两点的直线距离最小值为原点O到直线 2 6 0x y   的距离减去半径，可求得A 、 B两点的直线距离最小值；由折线距离的定义设直线上点，可得“城市街区距离”公式，化简成分段函数的形 式，由函数的单调性可得“城市街区距离”的最小值. 【详解】圆 2 2 4x y  的圆心为原点O，半径为 2 ， 所以，A 、 B两点的直线距离最小值为原点O到直线 2 6 0x y   的距离减去半径， 故A 、B两点的直线距离最小值为 2 2 6 6 52 2 51 2     ，不妨设点  2cos ,2sinA   、  ,B x y ，则 6 2x y  ， 则A 、 B两点的“城市街区距离”为 2cos 2sin 6 2 2cos 2sinx y y y           2 3 cos 2siny y      3 6 2cos 2sin , 3 cos 6 2sin 2cos , 2sin 3 cos 3 6 2sin 2cos , 2sin y y y y y y                             ， 令   3 6 2cos 2sin , 3 cos 6 2sin 2cos ,2sin 3 cos 3 6 2sin 2cos , 2sin y y p y y y y y                             ， 则关于 y的函数  p y 在R 连续，则该函数在  ,3 cos  上递减，在  3 cos ,  上单调递增， 所以，      min 3 cos 3 cos 2sin 3 5 sinp y p             ， 为锐角，且 1tan 2   ，所以，当  sin 1   时，A 、 B两点的“城市街区距离”取最小值3 5 . 故答案为： 6 5 2 5  ；3 5 . 【点睛】关键点点睛：本题求解圆上的点到直线上的点的“城市街区距离”最小值的关键是能够通过分类讨论 的方式，结合三角恒等变换的知识，将问题转化为正弦型函数最值的求解问题. 4-12.(24-25 高二上·江苏南京·阶段练习)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在 直角坐标平面上任意两点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 的曼哈顿距离为：   1 2 1 2,d A B x x y y    ．已知点 M在圆 2 2: 1O x y  上，点 N在直线 : 3 9 0l x y   上，则  ,d M N 的最小值为 ． 【答案】 103 3  【难度】0.4【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、直线的一般式方程及辨析、求平面两 点间的距离【分析】过点M 作平行于 x轴的直线MB，过点 N作 NA MB ，得到 ,( )d M N 表示 MA NA 的 第 28 页 共 41 页 长度，根据 πNBA   ，求得 tan 3NBA   ，得到 3NA AB ，进而化简得到 ( , ) 2d M N MB AB  ， 得出OM 垂直直线 l时， ,( )d M N 最小，利用圆的性质，求得 MT 的值，结合 3 10sin 10 TNM  ，即可求解. 【详解】如图(1)所示，过点M 作平行于 x轴的直线MB交直线 l于点 B， 过点 N作 NA MB 于点A ， ,( )d M N 表示 MA NA 的长度， 因为直线 l的方程为3 9 0x y   ，即直线 l的斜率 3k   ，则 tan 3   ， 又因为 πNBA   ，所以 tan tan(π ) tanNBA       ， 所以 tan 3NBA  ，可得 3 NA AB  ，即 3NA AB ，所以 ( , ) 3 2d M N MA NA MA AB MB AB      ， 当固定点M 时，且MN平行 x轴时，此时点 N与点 B重合， 此时 MB 为定值，此时 AB 为 0 时， ,( )d M N 最小，如图(2)所示， 过点O作直线 l的垂线，垂足为T ，交圆O于点M ， 可得 2 9 9 101 1 103 1 MT OT r       ， 又由直线 l的斜率 3k   ，可得 3 10sin 10 TNM  ， 在直角 MNT△ 中，可得 9 10 1 1010( , ) 3 sin 33 10 10 MT d M N MN TNM        .故答案为： 103 3  . 【点睛】关键点睛：利用直线斜率，结合新定义将所求转化为点到直线的距离问题求解即可. 题型五：由直线与圆的位置关系求参数范围 5-1.(2025·北京海淀·三模)已知直线 2y kx  与圆    2 2: 1 1 1C x y    有公共点，则 k的最小值是( ) A． 2 3 B． 3 4 C． 4 3 D． 3 2 【答案】C【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心  1,1C 到直线 2y kx  的距离d，小于等于半径1， 即 2 3 1 1 k k    ，故  2 23 1k k   ，也即 6 8k   ，解得 4 3 k  ，则 k的最小值为 4 3 .故选：C. 5-2.(24-25 高二下·江苏南京·期中)若圆 2 2: ( 2) ( 3) 16C x y    上恰好有 4 个不同的点到直线 :l y kx 的距离 第 29 页 共 41 页 为 3，则实数 k的取值范围是( ) A． 12 ,0 5      B． 120, 5       C． 2 3 2 32 ,2 3 3        D． 2 3 2 32 , 2 3 3          【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】把点到直线距离为 3 的个数得出圆心到直线距离范围计算求参. 【详解】由圆C上恰好有 4 个不同的点到直线 :l y kx 的距离为 3， 可知圆心  2, 3C  到直线 :l y kx 的距离 4 3 1d    ，即 2 2 3 1 1 k k    ， 所以 23 12 8 0k k   ，解得 2 3 2 32 2 3 3 k      ，故选:D. 5-3.(24-25 高二上·四川成都·期末)已知圆 2 2: 16C x y  ，直线 : 3l y x b  ，若圆C上至少有 3 个点到直线 l的距离为 1，则b的取值范围为( ) A． 6 6b   B． 2 2b ≤ ≤ C． 6b   或 6b  D． 2b   或 2b  【答案】A【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得 3 2 b  ，求解即可. 【详解】由圆 2 2: 16C x y  ，可得圆心 (0,0)C ，半径为 4r  ， 所以圆心 (0,0)C 到直线 : 3l y x b  的距离为    2 2 3 0 0 23 1 b b d        ， 由圆C上至少有 3 个点到直线 l的距离为 1，所以 3, 6 6 2 b d b     .故选：A. 5-4.(24-25 高二上·四川南充·期中)已知圆C： 2 2( 4) 16x y   ，若曲线C上存在 4 个点到直线3 4 0x y m   的距离为 2，则m的取值范围为( ) A． ( 22, 2)  B．[ 22, 2]  C． ( 22) ( 2 )   ， ， D． ( 22] [ 2 )   ， ， 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于 2，列出不等式，即可求解 【详解】由圆C： 2 2( 4) 16x y   ，可得圆心  4,0 ，半径为 4， 要使圆C上存在 4 个点到直线3 4 0x y m   的距离为 2， 则满足圆心到直线的距离小于 2，可得   2 2 3 4 2 3 4 m d       ，解得 22 2m    ， 即实数m的取值范围是 ( 22, 2)  .故选：A 5-5.(24-25 高二上·山东济南·期中)若直线 : 2 0l kx y   与曲线  2: 4 1 1C y x    有两个不同的交点，则 实数 k的取值范围是( ) 第 30 页 共 41 页 A． 3 2 6 3 k   B． 3 2 6 5 3 k    C． 3 2 6 3 2 6 3 3 k     D． 3 2 6 1 3 k    【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】根据直线 l的方程得到直线 l恒过定点  0, 2A  ，根据曲线 C的方程曲线 C表示半圆，然后结合图 形求 k的范围即可. 【详解】直线 l恒过定点  0, 2A  ，曲线 C的方程可整理为    2 21 1 4, 1x y x     ， 所以曲线 C表示以  1,1 为圆心，半径为 2 的半圆，图象如下所示： 1l ， 2l 为两种临界情况，由题意得  1, 1D  ，则 1 1 2 1 1 0l k     ， 令圆心  1,1 到直线 l的距离 2 1 2 2 1 k d k      ，解得 2 6 3 3 k   ，则 2 2 6 3 3l k  ， 所以当 2 6 3 1 3 k   时，直线 l与曲线 C有两个不同的交点.故选：D. 5-6.(24-25 高三上·云南·阶段练习)已知集合   2, | 9 , 0M x y y x y    ，   , |N x y y x b   ，若 M N  ，则b的取值范围是( ) A． 3 2,3 2   B．  3,3 2  C．  3,3 D． 3,3 2   【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】采用数形结合的方法，结合直线与圆的位置关系求参数b的取值范围. 【详解】分别作出函数 29 , 0y x y   与 y x b  的图象，如下： 当直线 y x b  与半圆 29y x  ， 0y  相切时，设切点为 P，则 3OP  ， 1OPk   ，此时 3 2b  ； 结合图形可知，当 3b   时，直线 1y x  与半圆 29y x  ， 0y  无公共点.