精品解析： 河南省郑州市中牟县2024-2025学年八年级下学期期末教学质量监测数学试题

2024—2025学年下学期期末教学质量监测试题八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 4. 已知的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三条角平分线的交点处 7. 如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，与交于点，且，，一个微型机器人由点按的顺序循环移动，当微型机器人移动了时，它停在了（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “的倍与的和是正数”用不等式表示为：__________． 12. 观察填空：如图，各块图形面积之和为，因式分解______． 13. 如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是______． 14. “花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则_________度． 15. 边长为的等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在边上，且，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．当与的某条边平行时，点的坐标是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 17. 解不等式组 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点对应点的坐标为，画出平移后的； （2）已知与关于原点成中心对称，请在图中画出； （3）顺次连接点，的形状是 ． 20. 在学习《线段垂直平分线》时，张老师出示了如下问题： 已知：点直线外一点． 求作：过点作直线的垂线．如图，作法如下： ①以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； ②作直线； ③分别以点和点为圆心， 的长为半径作弧，两弧相交于点； ④任意取一点，使点和点在直线的两旁． （1）已知以上作法步骤是混乱的，正确的排序是 ； （2）以上作法步骤中的____长满足的条件是 ； （3）求证： 21. 已知，如图①，点是边上一点（不包含），连接．用尺规作，是边上一点． 张华：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 李凯：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． （1）请按照张华、李凯的作法，分别在图①，图②中用尺规作图作出相应图形； （2）作法正确的是 ； （3）证明：． 22. 年中国新能源汽车销售量突破万辆，同比增长．为加快公共领域充电基础设施建设，某充电站计划购买两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩单价少万元，且用万元购买型充电桩与万元购买型充电桩的数量相等． （1）两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该充电站计划共购买个两种型号的充电桩，购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的．请你帮该充电站设计一个总费用最少的购买方案，并求出最少费用． 23. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期期末教学质量监测试题八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义，判断每个选项的式子是否为分式，分式是指分母中含有字母的式子．本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式是分母中含有字母的式子这一概念是解题的关键． 【详解】解：不是分式，故A项错误． 不是分式，故B项错误． 不是分式，故C项错误． 是分式，故D项正确． 故选：D． 2. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断每个选项是否符合平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个数的平方差，即）是解题的关键． 【详解】解：不是两个数的平方差形式．故A项错误． ，是完全平方公式，不是平方差公式．故B项错误． ，符合平方差公式形式．故C项正确． ，不是两个数的平方差形式．故D项错误． 故选：C． 3. 根据分式基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】解：， 故选C． 4. 已知的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，可得，，结合已知计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：A ． 5. 2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转180度后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A选项文字上方的图案是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三条角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 7. 如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法“”，根据直角三角形中一组直角边相等，只需要添加斜边相等即可，掌握判定方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 8. 如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 9. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，角的运算，含30度角的直角三角形；根据题意得到，，利用勾股定理得到，再结合即可求出． 【详解】解：标记点C，点D，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，与交于点，且，，一个微型机器人由点按的顺序循环移动，当微型机器人移动了时，它停在了（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，规律探究，先证明，是等边三角形，可得，结合微型机器人每移动循环一次，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∵一个微型机器人由点按…的顺序循环移动， ∴每移动循环一次， 而， ∴当微型机器人移动了时，它停在了点处． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “的倍与的和是正数”用不等式表示为：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别表示出的倍”与的和”，再根据“是正数”这一条件列出不等式．本题主要考查了列一元一次不等式，熟练掌握用数学式子表示数量关系是解题的关键． 【详解】解：“的倍与的和是正数”用不等式表示为：． 故答案为：． 12. 观察填空：如图，各块图形面积之和为，因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式可得，整个图形面积为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：各块图形面积之和为， 根据长方形面积公式可得，整个图形面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据图形面积进行因式分解，解题关键是掌握同一个图形，用不同方式表示的面积相等． 13. 如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是______． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得解． 【详解】解：根据题意得出，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 14. “花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则_________度． 【答案】348 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和的应用．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和为，求出另外三个外角的和，再根据补角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵多边形的外角和为，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 边长为的等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在边上，且，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．当与的某条边平行时，点的坐标是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由旋转的性质可知是等边三角形，根据已知可得，分类讨论：若，则点与点重合，点在上，由等边三角形的性质可得的长，即可得点的坐标；若，由平行线的性质可证是等边三角形，作轴于点，根据含角的直角三角形对边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得点的坐标． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴，， ∵点在边上，且， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴， 若，则点与点重合，点在上， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点的坐标为， 若，则， 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质，含角的直角三角形，勾股定理． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先观察多项式各项是否存在公因式，提取公因式后再看是否能用公式继续分解． （2）观察式子特点，发现式子中两项都含有，可利用提取公因式法将提取出来，然后对括号内式子使用平方差公式进行计算． 本题主要考查了因式分解（提取公因式法和公式法）以及利用因式分解进行计算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．根据一元一次不等式组的解法分别解出每个一元一次不等式，再结合数轴求不等式组解集即可． 【详解】解：， 由①去括号得， 解得， 由②去分母得， 整理得：， 解得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图 因此，原不等式组的解集为. 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．先通分、再合并分子化简到最简形式，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）已知与关于原点成中心对称，请在图中画出； （3）顺次连接点，的形状是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移、关于原点对称的图形的画法以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握图形变换的性质是解题的关键． （1）根据点和其对应点的坐标变化，确定平移规律，进而得到、平移后的对应点、，画出． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、关于原点对称的点、、的坐标，画出． （3）根据（1）（2）中得到的、的坐标，结合的坐标，计算三角形三边长度和角度关系，判断形状． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：如图， ，， ∴，是等腰三角形， ∴是等腰直角三角形． 20. 在学习《线段的垂直平分线》时，张老师出示了如下问题： 已知：点是直线外一点． 求作：过点作直线的垂线．如图，作法如下： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点和点； ②作直线； ③分别以点和点为圆心， 的长为半径作弧，两弧相交于点； ④任意取一点，使点和点在直线的两旁． （1）已知以上作法步骤是混乱的，正确的排序是 ； （2）以上作法步骤中的____长满足的条件是 ； （3）求证： 【答案】（1）④①③② （2）大于 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）按照过点作已知直线垂线的作图逻辑，先确定点，再画弧交直线于、，接着以、为圆心画弧找，最后作直线，从而确定步骤顺序． （2）依据尺规作图中两弧相交的要求，分析以、为圆心画弧时半径的条件． （3）通过证明是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：正确排序是④①③②； 【小问2详解】 解：③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点， 故答案为：大于； 【小问3详解】 证明：如图，连接 由作图可知：, ∴点在线段的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 同理，点在线段的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线（两点确定一条直线） ∴ 21. 已知，如图①，点是边上一点（不包含），连接．用尺规作，是边上一点． 张华：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 李凯：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． （1）请按照张华、李凯的作法，分别在图①，图②中用尺规作图作出相应图形； （2）作法正确的是 ； （3）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）图①（或张华） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作一条线段等于已知线段，作平行线. （1）根据题干信息提示分别作图即可. （2）根据平行四边形的判定与性质可得作法正确的是图①（或张华）. （3）证明四边形是平行四边形即可得到. 【小问1详解】 解：如图①②； 【小问2详解】 解：作法正确的是图①（或张华）. 【小问3详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对边平行）. 由作图可知， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∴ 22. 年中国新能源汽车销售量突破万辆，同比增长．为加快公共领域充电基础设施建设，某充电站计划购买两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩单价少万元，且用万元购买型充电桩与万元购买型充电桩的数量相等． （1）两种型号的充电桩的单价各是多少？ （2）该充电站计划共购买个两种型号的充电桩，购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的．请你帮该充电站设计一个总费用最少的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1）型充电桩的单价是万元，型充电桩的单价是万元 （2）购买型充电桩个，型充电桩个，总费用最少，最少费用是万元 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据“用万元购买型充电桩与万元购买型充电桩的数量相等．”列出分式方程，求解即可； （2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个，根据购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设总费用为，再建立一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元， 根据题意，得 ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根，（万元）， 所以，型充电桩的单价是万元，型充电桩的单价是万元． 【小问2详解】 解：设购买型充电桩个，则有， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小； ∴当时，（万元）， 所以，购买型充电桩个，型充电桩个，总费用最少，最少费用是万元． 23. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $