第03讲 集合的基本运算（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 【人教A版】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的运算】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1.2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 交集的运算】 【例2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高一上·全国·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）集合，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2025·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 补集的运算】 【例3】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3.2】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）设全集，集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【题型4 根据交集、并集或补集运算结果求集合】 【例4】（24-25高一上·浙江温州·期中）已知集合，，，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知集合，则集合可以为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例5】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5.3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式6.3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【变式7.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【变式7.3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8.1】（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【变式8.3】（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（2025高一上·全国·专题练习）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【变式9.1】（24-25高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式9.2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【变式9.3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·全国·专题练习）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 二、多选题 9．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 11．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三、填空题 12．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 13．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设全集，，，则集合 ． 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 17．（24-25高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 18．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 【人教A版】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的运算】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【解答过程】由，或， 则或. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得，再由集合的并集运算可得. 【解答过程】， 故， 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用并集概念计算即可. 【解答过程】，则. 故选：C. 【题型2 交集的运算】 【例2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出集合B，再应用交集定义计算求解. 【解答过程】因为集合，， 则， 则. 故选：B. 【变式2.1】（25-26高一上·全国·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由交集的定义求解即可． 【解答过程】由题意可得. 故选：C． 【变式2.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）集合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据交集的定义即可求解． 【解答过程】因为， 所以， 故选：B． 【变式2.3】（2025·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果. 【解答过程】当时，；当时，； 当时，；当时，； ，. 故选：B. 【题型3 补集的运算】 【例3】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解绝对值不等式求，再应用集合的补运算求集合. 【解答过程】由， 又，所以 . 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【解答过程】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用补集运算直接得到结果. 【解答过程】由，，则. 故选：D. 【变式3.3】（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）设全集，集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数. 【解答过程】由题意，全集， 因为，可得， 所以，所以的子集个数为个. 故选：B. 【题型4 根据交集、并集或补集运算结果求集合】 【例4】（24-25高一上·浙江温州·期中）已知集合，，，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意分析可知，结合选项即可判断. 【解答过程】因为，则， 且集合，，所以， 结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由补集与并集的定义可得，，即可得解. 【解答过程】由，，故， 又，则，，故或. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知集合，则集合可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据知道集合中的元素不能有4或7，必含有2和6，则可选出答案. 【解答过程】因为集合， 所以集合中的元素不能有4或7，必含有2和6 故选：B. 【变式4.3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题设2是方程的解求得，进而确定集合B，应用并运算求结果. 【解答过程】由题设知：2是方程的解，将代入方程，得， 所以的解为或，所以， 所以， 故选：B. 【题型5 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例5】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【解答过程】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 【变式5.2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【解答过程】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 【变式5.3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【解答过程】（1）①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用集合的基本运算求解即可. 【解答过程】全集，集合， 则集合，且， 所以集合. 故选：B. 【变式6.1】（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可. 【解答过程】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：    对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：； D错误； 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）先求并集，再求补集即可； （2）由集合间的包含关系分集合是否为空集，当不为空集时，解不等式组即可； 【解答过程】（1）当时，，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则， 解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式6.3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【解题思路】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意得，，， ， 所以 ， ． （2）由题意得，，， 所以 ， ． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 【变式7.3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【解答过程】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【解答过程】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 【变式8.3】（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【解答过程】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（2025高一上·全国·专题练习）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【解答过程】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B. 【变式9.1】（24-25高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【解题思路】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【解答过程】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由 ，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B. 【变式9.2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【解答过程】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而，                      下证：， 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【变式9.3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【解答过程】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合交集、补集的概念求解即可. 【解答过程】因为全集，，所以， 又，所以， 故选：D. 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 【答案】B 【解题思路】利用列举法表示集合，即可得解. 【解答过程】由， 则，共个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：B. 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【解答过程】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集. 【解答过程】  由得，优先考虑为空集的情况： 当，即时，，符合题意； 当，即时，需解得. 综上得，则的取值范围为. 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【解答过程】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A. 6．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【解答过程】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C. 7．（2025高一上·全国·专题练习）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【解答过程】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 8．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分析可知，进而列举求解. 【解答过程】由已知条件可得. 对于选项A：显然，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B错误； 对于选项C：若，即， 则满足条件的集合M有：、、、、、，共6个，故C正确； 对于选项D：中所有元素之和为，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【解答过程】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 10．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 11．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【解题思路】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【解答过程】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 三、填空题 12．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 【答案】或或 【解题思路】化简集合，讨论，，两种情况，即可求得a的值． 【解答过程】集合， 由可得， 若，，满足， 若，，若， 则或 得或． 综上，实数a的取值为或0或1． 故答案为：或0或1． 13．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】求出，由建立不等式即可得解. 【解答过程】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为：. 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设全集，，，则集合 ． 【答案】 【解题思路】由集合的交并补混合运算关系得到即可； 【解答过程】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【解题思路】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【解答过程】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或3或5. 【解题思路】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【解答过程】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 17．（24-25高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【解题思路】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【解答过程】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 18．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【解答过程】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，，，， (3)能， 【解题思路】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【解答过程】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ①当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ②当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$