第01讲 集合的概念（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第01讲 集合的概念 【人教A版】 模块一 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【变式1.1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【变式1.2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2.2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2.3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③，； ④，. A． B． C． D． 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3.2】（2025高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（2025高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 模块二 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式5.2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【题型6 集合中元素的个数问题】 【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6.1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【变式6.2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【变式6.3】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 模块三 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 用列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【变式7.2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【变式7.3】（2025高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【题型8 用描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【变式8.1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式8.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【变式8.3】（2025高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（ ） A．48 B．54 C．42 D．36 【变式9.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（    ） A．“权集”中一定有1 B．为“权集” C．为“权集” D．为“权集” 【变式9.2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数. (1)若，求集合； (2)若，求的最小值； (3)试判断与的大小关系，并证明你的结论. 【变式9.3】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 5．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 6．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 10．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课前预习） ． 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 14．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 19．（24-25高一上·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念 【人教A版】 模块一 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【解答过程】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【变式1.1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C 【解题思路】由集合的概念可得答案. 【解答过程】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【解题思路】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【解答过程】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C. 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【解答过程】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【解答过程】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解题思路】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③，； ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用集合相等的概念判断. 【解答过程】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据集合的互异性，即可求解. 【解答过程】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可. 【解答过程】对A，当时，，，不满足题意； 对B，当时，，不满足题意； 对C，当时，，，满足题意； 对D，当时，，不满足题意； 故选：C. 【变式3.2】（2025高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接根据集合的互异性即可得结果. 【解答过程】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 【变式3.3】（2025高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案. 【解答过程】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D. 模块二 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【解答过程】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】验证各选项可得答案. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于BC，，B，C错误； 对于D，因为，且，D正确. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【解答过程】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A. 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解题思路】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【解答过程】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【解答过程】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A. 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解题思路】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【解答过程】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【解答过程】由且，得 解得， 故选：A． 【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【解答过程】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B. 【题型6 集合中元素的个数问题】 【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【解答过程】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【解题思路】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【解答过程】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【解题思路】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【解答过程】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 【变式6.3】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【解题思路】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【解答过程】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 模块三 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 用列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【解答过程】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【解答过程】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 【变式7.2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【解题思路】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【解答过程】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 【变式7.3】（2025高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可. 【解答过程】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 【题型8 用描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用集合的描述法来表示集合. 【解答过程】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是. 【变式8.1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【解答过程】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 【变式8.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【解答过程】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【变式8.3】（2025高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【解答过程】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合； （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（ ） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【解题思路】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【解答过程】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 【变式9.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（    ） A．“权集”中一定有1 B．为“权集” C．为“权集” D．为“权集” 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义，验证选项B,C,D，集合“权集”中不一定有1，判定A错误. 【解答过程】因为，，都属于数集,是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，所以A错误； 因为都属于数集，为“权集”，所以B正确； 因为与均不属于数集，不为“权集”，所以C错误； 因为与均不属于数集，不为“权集”，所以D错误； 故选：B. 【变式9.2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数. (1)若，求集合； (2)若，求的最小值； (3)试判断与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)15. (3)，证明见解析 【解题思路】（1）由集合新定义直接求出即可； （2）分、讨论，根据可得答案； （3），不妨设，则可得答案. 【解答过程】（1）由题意可得； （2）当时，. 当时，，此时最多有个. 于是. 由，即，解得. 当中的15个元素都是质数时，因为任意两个质数的商是不相等的， 此时，所以的最小值为15； （3）. 不妨设，则， 至少这个元素属于. 于是. 【变式9.3】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 【答案】(1)集合具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3). 【解题思路】（1）集合具有性质的定义判断即可. （2）令，利用集合具有性质，进而可得是集合的元素，进而可得结论. （3）由（2）可得，进而可得，利用定义计算可求得集合. 【解答过程】（1）因为都是集合的元素， 且时，也是集合A的元素， 所以集合具有性质. （2）令 因为集合具有性质，所以和中至少有一个是集合的元素. 因为，所以，所以不是集合的元素， 所以是集合的元素，即0是集合的元素. 因为. 因为，所以， 所以，显然有，得证. （3）由（2）可知，则， 即， 所以，所以. 因为，所以，且， 则或. 当时，， 故集合； 当时，， 故集合，此时，不符合题意. 综上，集合. 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【解答过程】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 【答案】C 【解题思路】利用元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性可得. 【解答过程】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以． 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系判断即可. 【解答过程】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 故选：B. 4．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【解答过程】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【解题思路】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【解答过程】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，集合与的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确； 对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误； 对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误． 故选：B． 6．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合B中的定义对各个数逐一验证即可. 【解答过程】因为，，所以． 故选：B． 7．（24-25高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【解题思路】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【解答过程】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【解答过程】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【解题思路】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【解答过程】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 【答案】ABD 【解题思路】根据集合的定义对各选项进行验证：直接计算判断A，用反证法判断B，设，由定义求出集合中其他元素后判断CD． 【解答过程】若，则，，A正确． 若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确． 若，则，所以， 所以，． 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 所以若，则，，，且x，，，互不相等． 所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确． 故选：ABD． 11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【解答过程】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课前预习） ． 【答案】 【解题思路】根据描述法表示集合的意义，即可求解. 【解答过程】因为，，所以， 得， 则. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【解题思路】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【解答过程】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【解题思路】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【解答过程】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【解答过程】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为：. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 【答案】(1)A中其他所有元素为，，2 (2)0不是A的元素 【解题思路】（1）根据元素与集合的关系得出其他元素； （2）利用反证法结合元素与集合的关系求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A的元素. 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【解答过程】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【解答过程】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 19．（24-25高一上·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【答案】(1)B不是“好集”；是“好集” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”； （2）由，若，则，从而得出； （3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即. 【解答过程】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$