专题 1.8 全等三角形几何模型探究——一线三等角（模型梳理 + 题型精析+同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.8 全等三角形几何模型探究——一线三等角 目录 一.知识点梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 【初识模型】 1 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 2 【题型1】“一线三直角”基础应用 2 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 3 【题型2】同侧“一线三直角模型” 3 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 4 【题型3】异侧“一线三直角模型” 4 知识点（四）构造“一线三直角模型” 5 【题型4】构造“一线三直角模型” 6 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 6 【题型5】同侧“一线三等角模型” 7 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 8 【题型6】异侧“一线三等角模型” 8 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 9 二. 同步练习 11 【基础巩固（12题）】 11 【能力提升（10题）】 14 一.知识点梳理与题型分类精析 【知识回顾】 1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2.余角性质：同角或等角的余角相等；补角的性质：同角或等角的补角相等. 【初识模型】 如图1，，，过点作,过点作于点.这样在直线上就产生了，我们称之为“一线三直角”。 继续研究，我们会发现， ， 在和中 （AAS） 图1 进一步研究，我们会发现，型图是重要的几何模型之一，在证明全等三角形及以后相似三角形中，有着重要的应用。这一节我们就来深入研究型图（一线三等角）这一专题. 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 如图2，在直线上，，，则. 图2 【题型1】“一线三直角”基础应用 【例题1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F， 求证：．    【变式1】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，，，，，若，，则的长为 ． 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ）    A．与互为余角 B． C． D． 小结：“一线三直角”图形的基本特征：（1）有三个相关联的直角；（2）有两条相等的边。解题的基本思路：利用两个角与同角或等有的和（差）相等，从而得到这两个角相等，再结合边相等证明三角形全等. 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 如图3，在直线上，，，则.得到了所以：，连接，得到. 图3 图4 【题型2】同侧“一线三直角模型” 【例题2】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，，，若，再增加条件 ，则． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 如图5，在直线上，，，则.得到了所以：. 图5 【题型3】异侧“一线三直角模型” 【例题3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【变式1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 知识点（四）构造“一线三直角模型” 如图5，图6，当在一条直线过等腰直角三角形直角顶点时，过锐角三角形顶点作直线垂线，从而构造同侧和异侧“一线三等模型”的目标 图5 图6 【题型4】构造“一线三直角模型” 【例题4】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离．当他从点A处摆动到点处时，过点作于点F．若，求点到的距离． 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，则的面积为 ． 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图7是同侧一线三锐角相等，图8是同侧一线三钝角相等。 证明：是一个外角 即 在和中 图7 图8 【题型5】同侧“一线三等角模型” 【例题5】（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，点在上，，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是 ． 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图9是异侧一线三锐角相等，图10是异侧一线三钝角相等。证明两三角形全等与知识点五完全相同. 图9 图10 【题型6】异侧“一线三等角模型” 【例题6】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）（1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 【例题7】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． （3）如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 二. 同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，，，垂足分别为点，．若，，，则在中，边上的高为（   ） A． B．5 C． D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）已知，四边形中，．连接，且，则四边形的面积为（    ）． A．14 B．12 C．6 D．5 二、填空题 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 6．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 8．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）完成下面的解答过程并在括号内填上推理的依据． 如图，在中，，，交于点，于点，．若，，求的长． 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴（ ） ∴， ∴ ∴． 三、解答题 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 10．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，在中，，，，求的度数． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，直线经过点C，且于点于点E，求证：． 12．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【能力提升（10题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 二、填空题 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 3．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则 ． 三、解答题 4．（2025·四川宜宾·二模）如图，已知点在线段上，且，，，，求证：．    5．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． （1）如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； （2）如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 8．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）【材料阅读】小红在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放运副三角板：如图：在中，，；在中，，所以，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，设垂足为，过点作，垂足为． （1）①图1中，，，求的长，请补充小红的过程． ∵， ． ． ， ． （补充小红的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，，猜想之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.8 全等三角形几何模型探究——一线三等角 目录 一.知识点梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 【初识模型】 1 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 2 【题型1】“一线三直角”基础应用 2 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 4 【题型2】同侧“一线三直角模型” 5 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 8 【题型3】异侧“一线三直角模型” 8 知识点（四）构造“一线三直角模型” 12 【题型4】构造“一线三直角模型” 12 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 15 【题型5】同侧“一线三等角模型” 16 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 19 【题型6】异侧“一线三等角模型” 19 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 22 二. 同步练习 30 【基础巩固（12题）】 30 【能力提升（10题）】 41 一.知识点梳理与题型分类精析 【知识回顾】 1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2.余角性质：同角或等角的余角相等；补角的性质：同角或等角的补角相等. 【初识模型】 如图1，，，过点作,过点作于点.这样在直线上就产生了，我们称之为“一线三直角”。 继续研究，我们会发现， ， 在和中 （AAS） 图1 进一步研究，我们会发现，型图是重要的几何模型之一，在证明全等三角形及以后相似三角形中，有着重要的应用。这一节我们就来深入研究型图（一线三等角）这一专题. 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 如图2，在直线上，，，则. 图2 【题型1】“一线三直角”基础应用 【例题1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 解：证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，，，，，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 证明是解题的关键． 由垂直可得，再证明，然后利用证明得到，，，则． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ）    A．与互为余角 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在． 先根据角角边证明与全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解． 解：， ， ， ， ， 故B正确； ， 故C正确； 故A正确； 综上，A，B，C，均正确， D．，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 小结：“一线三直角”图形的基本特征：（1）有三个相关联的直角；（2）有两条相等的边。解题的基本思路：利用两个角与同角或等有的和（差）相等，从而得到这两个角相等，再结合边相等证明三角形全等. 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 如图3，在直线上，，，则.得到了所以：，连接，得到. 图3 图4 【题型2】同侧“一线三直角模型” 【例题2】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 解：（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，，，若，再增加条件 ，则． 【答案】（或或） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加，两边夹一角判定其全等． 解：，， ， 又， 可添加； ． 故答案为:（或或）． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作于点G，可证明，得，，而，所以，再证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 解：作于点G，则， ∵， ，，， ∴， 四边形是梯形， ， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 如图5，在直线上，，，则.得到了所以：. 图5 【题型3】异侧“一线三直角模型” 【例题3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2）见分析；（3），理由见分析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 解：（1）证明①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，三角形内角和定理及边角关系，首先由与中分别有两个直角及对顶角可判断①；证明可判断②④；再根据直角三角形中，斜边最长可判断③，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：如图， ∵于点，于点， ∵， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∵在直角三角形中，斜边最长， ∴，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②④， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 【答案】1 【分析】先根据证明，则可得，，求出的长，则可知的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 知识点（四）构造“一线三直角模型” 如图5，图6，当在一条直线过等腰直角三角形直角顶点时，过锐角三角形顶点作直线垂线，从而构造同侧和异侧“一线三等模型”的目标. 图5 图6 【题型4】构造“一线三直角模型” 【例题4】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离．当他从点A处摆动到点处时，过点作于点F．若，求点到的距离． 【答案】到的距离为 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，即可得到，再求出即可得到答案． 解：过点作于， ，于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即到的距离为． 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键． 根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解． 解：如图所示，过点作延长线与点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度， 故选： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，作，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 解：过点D作，交的延长线于点H， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 的面积， 故答案为：． 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图7是同侧一线三锐角相等，图8是同侧一线三钝角相等。 证明：是一个外角 即 在和中 图7 图8 【题型5】同侧“一线三等角模型” 【例题5】（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见分析；（2）成立；理由见分析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 解：（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，点在上，，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形外角的性质可推出，证明，得，，即可得解．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：∵， 又∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的长是．故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是 ． 【答案】9 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等． 证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图9是异侧一线三锐角相等，图10是异侧一线三钝角相等。证明两三角形全等与知识点五完全相同. 图9 图10 【题型6】异侧“一线三等角模型” 【例题6】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）（1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）求出，，根据证两三角形全等即可； （2）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可； （3）求出的面积，根据得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， 同理：， ， ； （3）过点作，如图， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， 与的面积之和为 【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明，由全等三角形对应边相等即可求解． 解：， ； ， ； ，， ； ，， ， ， ； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 【例题7】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． （3）如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】（1），，；（2）证明见分析；（3）1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 解：（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）成立，证明见分析；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论仍然成立，证明如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 【答案】（1）证明见分析（2）证明见分析（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明三角形全等即可． （2）根据证明即可证明结论． （3）根据证明，得出，即可求出结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的面积为20，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二. 同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，，，垂足分别为点，．若，，，则在中，边上的高为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 可先证明，可求得，，，结合条件可求得，即可求解． 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴则在中，边上的高， 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 解：由题意可得， ，，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）已知，四边形中，．连接，且，则四边形的面积为（    ）． A．14 B．12 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求三角形面积，过点D作于E，证明得到，再根据进行求解即可． 解：如图所示，过点D作于E，     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 【答案】1.8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，由证明得出，即可推出结果． 解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故答案为：1.8． 6．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先导角证明，再证明，得到，则． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 【答案】6 【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 证明≌，推出与面积相等，可得结论． 解：在等腰三角形中，，， 与等高，底边比值为， 与的面积比为． 的面积为， 与的面积分别为和， ， ． ，，， ， ． 在和中， ， ， 与面积相等， 与的面积之和为的面积， 与的面积之和为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）完成下面的解答过程并在括号内填上推理的依据． 如图，在中，，，交于点，于点，．若，，求的长． 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴（ ） ∴， ∴ ∴． 【答案】 【分析】根据证明得出，，即可推出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：， ， ， 在中，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故答案为：，，，，． 三、解答题 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 解：证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 10．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据证明，得出，然后根据三角形外角的性质并结合角的和差关系可得出，即可求解． 解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，直线经过点C，且于点于点E，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由余角的性质可得，进而可由证明，得到，再根据等量代换即可求证． 解：证明：∵， ， ， ， ， ， 又 ∵， ， ， ． 12．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）首先证明，利用“”证明，进而可得，即可证明结论． 解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【能力提升（10题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 解：由题意得： ，，， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ； 故选：C． 二、填空题 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则 ． 【答案】4 【分析】运用全等三角形的判定与性质、勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 解：如图， ∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°， ∴∠BAC=∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC=ED， ∵， ∴， 即， 同理． 则． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积是解决问题的关键． 三、解答题 4．（2025·四川宜宾·二模）如图，已知点在线段上，且，，，，求证：．    【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 根据垂直的定义可得，，再根据“角角边”证明可得，， 则答案可证． 解：证明：， . ， ， ， ． 在和中， ， , ，而， ． 5．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． （1）如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； （2）如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）不成立，见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据垂线性质得到，证明，得到，进而得出结论； （2）通过证明，得到，结合，得到，从而得出（1）中结论不成立． 解：（1）解：于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 则不成立． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 解：（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】（1），；（2），；， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 解：（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 8．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）【材料阅读】小红在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放运副三角板：如图：在中，，；在中，，所以，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，设垂足为，过点作，垂足为． （1）①图1中，，，求的长，请补充小红的过程． ∵， ． ． ， ． （补充小红的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，，猜想之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】（1），见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的解题过程，补充相关内容，证明，即可作答． （2）先整理得，再证明，再运用线段的和差关系计算列式整理，即可作答． （3）过点作，交的延长线于点，运用代入数值到进行计算，再计算，整理得，然后证明，则，故，即可作答． 解：（1）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：之间的数量关系是：，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见分析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 解：（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 解：（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$