精品解析：北京市北京大学附属中学预科部2025-2026学年高三开学考试数学试题

北大附中预科部2025-2026学年阶段练习 数学 2025.8 本试卷共4页，满分150分．考试时长90分钟．考生务必将案在题卡上，在试卷上作答无效．考试结束，交回答题卡． 一．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 若是函数的零点，则 A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是 A B. C. D. 5. 若实数满足，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，则函数的图象成中心对称的点为（ ） A. B. C. D. 8. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16 9. 如图，下列函数的图象和下图最接近的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 11. 若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，.记为第名工人在这一天中加工的零件总数，记为第名工人在这一天中平均加工的零件数，则，，中的最大值与，，中的最大值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二．填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．把答案填在题中横线上． 13. 函数的定义域为______． 14. 若函数（）为奇函数，则实数______． 15. 已知，，，则三个数由大到小的排列顺序为______． 16. 已知函数则_______；的最小值为____． 17. 已知，若对，都有，则的取值范围是_____. 18. 能说明“若是上的增函数，则，至少一个是上的增函数”为假命题的函数______，______． 19. 已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． 20. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，r，K是常数，表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量.可以近似刻画t时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断： ①如果，那么存； ②如果，那么对任意； ③如果，那么存在在t点处的导数； ④如果，那么的导函数在上存在最大值. 全部正确判断组成的序号是___________. 三．解答题：本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 21. 已知函数，． （1）若在处取得极值，求a值； （2）求的单调区间． 22. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）判断1是否为函数的极值点，并说明理由． 23. 对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质. （1）若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由； （2）求证：3具有性质，其中表示整数集； （3）若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北大附中预科部2025-2026学年阶段练习 数学 2025.8 本试卷共4页，满分150分．考试时长90分钟．考生务必将案在题卡上，在试卷上作答无效．考试结束，交回答题卡． 一．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算直接求解出结果. 【详解】因为，或， 所以， 故选：A. 2. 若是函数的零点，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理即可作出判断. 【详解】解：因为f（1）＝－1，f（2）＝，即f（1）•f（2）＜0， 所以，函数在（1,2）内有零点，所以， 故选C 【点睛】本题考查了零点所在区间的判断，考查了零点存在定理，属于基础题. 3. 已知，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A不一定成立，如a＝1，b＝10，c＝－1，不成立； B也不一定成立，如a＝9.5，b＝10，c＝－1，不成立； C不成立，因为，，所以，恒成立，因此D必正确 故选D 【点睛】本题考查不等式是否成立，考查了全程量词与特陈量词，不等式的性质，属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性的定义，逐一判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A中，函数为奇函数，且在单调递增，不满足题意； 对于B中，为偶函数，且在单调递减函数，不满足题意； 对于C中，偶函数，且在单调递减函数，不满足题意； 对于D中，为偶函数，且在单调递增函数，满足题意，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义域判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 5. 若实数满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性分别判断充分性和必要性. 【详解】由题意设，对其求导得， 则当时，，即在上单调递增. 充分性判断：因为，所以 ，即，移项得， 所以“”可推出“”，充分性成立. 必要性判断：因为且，得，即， 根据在上单调递增，可得， 所以“”可推出“”，必要性成立 因此，“”是“” 充分必要条件. 故选：C. 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数后讨论函数的单调性，结合可求不等式的解. 【详解】， 故当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， ，，故, 故，所以，且， 故解集为， 故选：D. 7. 已知函数是奇函数，则函数的图象成中心对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的图象是由的图象向右平移个单位得到的，结合题意，即可求解. 【详解】由题意，函数是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称， 而的图象是由的图象向右平移个单位得到的， 所以函数的图象关于点成中心对称. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的图象变换，以及函数的对称性的判定及应用，其中解答中熟练应用函数的图象变换是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于基础题. 8. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30， 可得出=30故=4，可得A=16 从而c=15=60 故答案为D 9. 如图，下列函数的图象和下图最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域排除D，根据特殊点处的函数值的符号排除AC，故可得正确的选项. 【详解】由图可得为函数定义域的真子集，且当时函数为正， 对于A，当时，，故A不符合； 对于D，的定义域为，故D不符合； 对于C，当时，，故C不符合； 故选：B. 10. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解. 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即. 综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键. 11. 若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，利用导数研究函数的单调性从而求函数的值域；当时，由题意知，函数图像为开口向上的二次函数，则最小值，求解不等式即可. 【详解】当时，，则. 令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数过原点，最小值为； 当时，， 若，二次函数开口向下，值域无下界，不符合题意； 若，则函数为单调递减的一次函数，不符合题意； 若，函数图像为开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取到，则,解得, 综上：函数的值域为，则实数a的取值范围是, 故选：C 12. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，.记为第名工人在这一天中加工的零件总数，记为第名工人在这一天中平均加工的零件数，则，，中的最大值与，，中的最大值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知:的纵坐标的纵坐标,为线段中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论. 【详解】①因为为第名工人在这一天中加工的零件总数, 则的纵坐标的纵坐标; 的纵坐标的纵坐标; 的纵坐标的纵坐标; 结合图像可知:,,中的最大值为; ②因为为第名工人在这一天中平均加工的零件数, 则为线段中点与原点连线的斜率, 结合上图可知:,,中的最大值是; 故选:A. 【点睛】本题考查函数的图像,能明确,的几何意义是解题关键. 二．填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．把答案填在题中横线上． 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】使函数表达式有意义，即，利用对数函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】由得，， 因为函数在定义域内单调递增，所以. 所以函数的定义域是. 故答案为：. 14. 若函数（）为奇函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由代入计算，即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，由奇函数的性质可得， 即，解得. 此时, 且，满足题意； 所以. 故答案为： 15. 已知，，，则三个数由大到小的排列顺序为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用换底公式，把化成以4为底的对数，再利用对数函数的单调性即可得答案. 【详解】， 令，易知为上的增函数， 且，所以. 故答案为： 16. 已知函数则_______；的最小值为____． 【答案】 ①. ##0.5 ②. ##0.5 【解析】 【分析】根据函数，先求得，再求即可；分和讨论求解最小值. 【详解】因为函数所以，； 当时，， 当时，， 的最小值为， 故答案为：， 17. 已知，若对，都有，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】分情况结合图像可求得结果. 【详解】当时，， 若，则是开口向上，顶点为的抛物线， 若，则在上单调递增，当趋于时，趋于， ， 此时对，不成立； 当时，， 若，则， 若，则在上单调递增， ， 此时对，不成立； 当时，， 若，则是开口向下，顶点为的抛物线， 若，则在上单调递增， ， 此时对，成立； 综上的取值范围是， 故答案为：. 18. 能说明“若是上的增函数，则，至少一个是上的增函数”为假命题的函数______，______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 答案不唯一） 【解析】 【分析】注意到二次函数的特殊性，任何一个二次函数都不是上的单调函数，由此举出反例即可求解. 【详解】不妨取，； 为上的增函数， 而，都为二次函数，都不是上的增函数， 故满足题意的函数可以是，. 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一） 19. 已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． 【答案】或， 【解析】 【分析】根据函数的单调性，作出函数图像，即可结合函数图像的交点个数求解. 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， 20. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，r，K是常数，表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量.可以近似刻画t时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断： ①如果，那么存在； ②如果，那么对任意； ③如果，那么存在在t点处的导数； ④如果，那么的导函数在上存在最大值. 全部正确判断组成的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①解方程，求出，故①正确； ②作差法比较大小，证明出结论； ③求导，结合，，得到导函数大于0恒成立，③错误； ④二次求导，得到导函数的单调性，从而得到极值和最值情况. 【详解】当时，，令， 解得：， 因为r为种群的内秉增长率，，所以，①正确； ， 因为，，所以，故对任意的，②正确； ， 因为，那么任意的在t点处的导数恒成立，故③错误； 令， 则 因为， 令得：，解得：， 令得：，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，常常用来解决实际问题，本题中，函数本身较为复杂，二次求导时要保证正确率，才能把问题解决. 三．解答题：本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 21. 已知函数，． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，根据极值点的定义可得，进而可得，再进行验证即可得答案. （2）根据定义域，按照和两种情况分类讨论，可得的单调区间. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为在处取得极值， 所以，解得. 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意，故. 【小问2详解】 因为，， 所以当时，，则在上恒成立， 所以在单调递减； 当时，令，解得，（舍去）， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 综上：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为. 22. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）判断1是否为函数的极值点，并说明理由． 【答案】（1） （2）不，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数，即可利用导数求解函数的最值，从而得解； （2）先假设1是极值点，解得，代入函数中，通过导数判断出函数的单调性，得矛盾求解. 【小问1详解】 由可得，进而可得恒成立， 令，则， 故当在单调递增， 当在单调递减， 故， 故， 【小问2详解】 假设1是函数的极值点，则，则， 当时，， 令，则， 故当在单调递增， 当在单调递减， 故， 故在恒成立，故在单调递减，此时无极值， 故1不是函数的极值点. 23. 对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质. （1）若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由； （2）求证：3具有性质，其中表示整数集； （3）若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集. 【答案】（1）5不具有性质，5具有性质 （2）证明见详解 （3）的最小值是3 【解析】 【分析】（1）根据题意举例求解； （2）分任取两个元素之一是三的倍数、任取的两个元素被除都余或和任取的两个元素一个被除余，另一个被除余三种情况； （3）先证明任意两个元素不能凑出的整数倍，结合（2）结论并使用（2）中相同思路证明任意三个元素能凑出的整数倍，求出的最小值. 【小问1详解】 若从中选和两个元素，进行四则运算均得不到的整数倍， 所以5不具有性质， 若从中任选两个元素，则通过相减即可得到的整数倍， 所以5具有性质； 【小问2详解】 若任取两个元素之一是三的倍数， 则他们的乘积是的倍数，若任取的两个元素被除都余或， 则他们的差是的倍数，若任取的两个元素一个被除余，另一个被除余， 则他们的和是的倍数，所以3具有性质； 【小问3详解】 首先，当时，取、两数，它们的四则运算无法得到12的倍数，故， 下证时满足条件. 引理：中任意两数的和、差、积为12的倍数这两数除以12的余数的和、差、积为12的倍数. 下证引理：记，，. 则，. 故为12的倍数为12的倍数，ab为$12的倍数为12的倍数，证毕. 将中所有元素按照除以12的余数归入以下个集合： ，，，，，，. 一、当个数中有至少个属于时，它本身为12的倍数，乘另外两数仍为12的倍数； 二、当个数中至少有个属于同一集合时，则易知此两数的和或差为12的倍数，故这两个数的和或差为12的倍数，再乘另一数，仍为12的倍数； 三、当个数中既没有数属于同一集合，也没有数属于时，分以下几类讨论： （一）若有个数属于集合，剩余两数如果奇偶性相通，则其和为的倍数，否则其乘积为的倍数，进而可与相乘得到12的倍数； （二）若没有数属于集合，且有个数在集合中，则只需剩余两数能组合为的倍数，由（2）知成立； （三）若没有数属于集合、，且有个数在集合中，则剩余两数在集合、、中的某两组中，分类如下： ①在、、中，则余数所有可能的情况共有种，分别可以通过以下加减运算：，，，，，，，，得到的均为12的倍数，因此这三个数可以通过加减运算得到12的倍数； ②C、、中，分别可以通过以下加减运算：，，，，，，，，得到的均为12的倍数，因此这三个数可以通过加减运算得到12的倍数； ③B、、中，则由、中的两数进行加减运算可以得到的倍数，，，，而中的数均为的倍数，故它们的积为12的倍数； （四）若没有数属于集合、、，则个数只能在集合、、中， 因为中所有元素均为的倍数，故只需剩下两数能组合得到的倍数，因为，，，，故、中任意两数均可得到的倍数，故成立. 综上，时满足条件，即的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $