专项训练(2)与直线有关的对称、最值问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

智学分层作业 重难专项训练（二） 与直线有关的对称、最值问题 (满分：105分) 1.(5分)若点P(3,4)和点Q(a,b)关于直线x y一1=0对称，则 [A]a=1,b=-2 [B]a=2,b=-1 [c]a=4,b=3 [D]a=5,b=2 2.(5分)已知直线l:x+y+3=0,直线m:2x y十6=0，则直线m关于直线1对称的直线方 程为 () [A]x+6y+3=0[B]x-6y+3=0 [c]2x+y+6=0[1x-2y+3=0 3.(5分)若x,y满足x+y+1=0,则x2+y2- 2x一2y+2的最小值为 () [A]2 [c]3 [D]4 4.(5分)在△ABC中，已知A(1,1),B(-3,-5),若 直线m:2x十y十6=0为∠ACB的平分线，则 直线AC的方程为 () [A]x-2y+1=0 [B]6x+7y-13=0 [c]2x+3y-5=0 [D]x=1 5.(5分)点P(-2,-1)到直线l:(1+3x)x+ (1十λ)y-2一4入=0（入∈R)的距离最大时，其 最大值以及此时的直线方程分别为() [A]√13：2x-3y+1=0 []√1T:3x+y-4=0 [c]√13；3x+2y-5=0 [D1J1I;2x-3y+1=0 0口■0口■0▣■口0 ■▣■▣D□ 学 刀▣四初2 年级 卡信息 刀到幻 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 60000四 姓名 口口口02口 HH 9■9口■9J9■9 6.(6分)（多选题）一光线过点(2,4)，经倾斜角为 135°且过点(0,1)的直线1反射后过点(5,0)， 则反射后的光线还经过的点为 1,-》 2.-) e3,-》 o,8) 7.(5分)已知5x+12y=60,则√/x+y的最小 值是 口 8.(5分)点P(2,3)关于直线x十y十2=0的对称 点的坐标为 □ 9.(5分)与直线2x十3y-6=0关于点(1，-1)对 称的直线方程是 □ 10.(5分)已知△ABC的一个顶点A(4,一1)，它 的两条角平分线所在的直线方程分别为11：x 一y一1=0和l2:x一1=0，则BC边所在直线 的方程为 11.(5分)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.” 这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗 句，诗句中隐含着一个著名的数学问题 “将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之 后，从山脚下的某处返回军营，途中需到河边 饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回 总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营 所在位置为坐标原点O(0,0),将军从山脚下 的点P(1,1)处出发返回军营，河岸线所在直 线方程为x一y+2=0.则返回总路程最短为 31 数智分层作业 智学分层作业 19876543210+0.5 1 9876543210+0.5 12.(15分)已知直线l1:x-my十2m-3=0,l2: 14.(17分)已知直线l:kx一y+2+4k=0(k∈R). 2x-y-3=0. (1)若直线1不经过第三象限，求k的取值 (1)若直线11不经过第二象限，求实数m的 范围； 取值范围； (2)若直线L交x轴的负半轴于点A,交y轴 (2)若m=1,求直线L1关于直线l2对称的直 的正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的 线方程. 面积为S,求S的最小值及此时直线L的 方程. 19876543210+0. 13.(17分)已知直线1：x一2y+8=0和两点 A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线L上求一点P,使|PA|+|PB 最小： (2)在直线1上求一点P,使IIPB|-IPA|I 最大 32 ■10.解：(1)由克线1经过P(一2,1)，Q(一1,2)两点，可知直线1 的方程为y一。2-1 x+2-1+21 可得直线1的方程为x一y十3=0. (2)设直线m的方程为x一y十t=0,由查线m与1平行且 两直线间的距离为√2， 可得2-上3到 ,可得t=1戎t=5, 所以直线m的方程为x一y+1■0戏x一y+5=0. 11.D[因为A(1,0),B(4,-4), 所以k-0二仁-音如红+3y一4=0 1-4 且AB的中点坐标为（停，一2】 若直线L过AB的中点，显然直线1的斜率存在， 设直线1的方程为y十2=(-）： 甲红-y-号-2=0， k--2到 则点A到克线L的距离d,= =2 √+(-1) 即(8张十4=16+D,解得k=0或长-头 所以直线1的方程为y+2=0或24x一7y一74=0. 若直线L与AB平行， 设直线1的方程为4x十3y十m=0,m≠一4， 则点A到直线1的距离d,-4什m-2, 4+3 解得m=6或m=一14. 所以直线1的方程为4x十3y十6=0煮4红十3y-14=0. 综上可得，满足条件的直线L有4条，故选D.] 12.C[因为线x十y十a=0与直线x十y十b=0平行， 所以它们之间的距离d=a一bL 周为a,b是方程x2十x十c-0的两个实根， 所以a+b=一1，ab=c, 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c. 又0<号所以≤1-4<1，所以号<a-b1<1 即所求距离的最大值和最小值分剂为号，？：故选C] 13.4x+6y+5■0或12x+18y-13=0[直线L1:2x+3y-1 =0可化为4x+6y一2=0，所以1112，且直线1与克线1 和都平行，所以设直线【的方程为4x十6y十c■0(c 一2且c≠-9).由题意，可得2c+2=1c+91 4+6√+6 解得6=5或6=-号 故直线l的方程为4x+6y+5=0我12x+18y一13=0.] 78 9 1425[由于(m+1)+n=(m+)+m), 所以(m十1)2十n2的最小值即为点P(m,n)与点(-1,0)的 距离的平方的最小值， 点（一1,0）到P(m,n)的最小值即为点(-1,0)到直线3x十 +-0的：4-宗号-（层}广-号 所以m十1严十的最小值为云】 15.解：设lg的方程为y=一x十b(b>1), 则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b). 所以|AD|=V2,IBCI=√2b 梯形的高h就是A点到直线：的距离， 故6=1+0-61_6-1（6>1. 由梯形的面积公式得2×一1， 2 所以b2=9,b■士3.又b>1,所以b=3. 从而得到直线l2的方程是x十y一3=0. 16.解：(1)由直线1与l2垂直，得2×a十（一1）×1=0， 即2a-1=0,解得a=2 （2)由0得，直线上的方程为宁十y一名-0， 1 即x+2y-1=0, 南2红y-7=0得=3， lx+2y-1=0,y=-1, 即点P的坐标为(3，一1). ①当直线1的斜率不存在时，其直线方程为工=3，满足 题意： ②当直线【的斜率存在时， 设直线1的方程为y十1=(x一3)， 牌kx一y-3k-1=0, 因为原点到被直线的距离为3，所以d=一3站-=3， √1+k 所以一台 则直线1的方程为4x一3y一15=0. 综上所遂，直线1的方程为x=3或4x一3y一15=0. 重难专项训练（二） 答案速对 1 2 3 45 6 D D B D ABC 18 8.(-5,-4)9.2x+3y+8=0 10.2x-y+3=011.1o 试题精析 6-4 1.D[由 a-3-1, a=5, 1a+3_b+4-1=0, 解得 b=2. 22 2.D[由题知直线1与克线m交于点P(一3,0)，且，点M(0,6) 在直线加上， 设点M关于直线1对称的点为N(a,b), b一6=1 则了 解得=一9， 1++= b=-3, 则直战PN的方程为x一2y十3=0， 即直线m关于直线1对称的直线方程为x一2y十3=0. 故速D.] 3.B[原多项式可化为(x一1)十(y一1)严，其几何意义为点 P(x,y)和点Q(1,1)间距离的平方，且点P(x,y)在直线x 十y+1■0上.设d为点Q到直线x+y十1=0的距离， 1PQ≥d,得x-1)+y-≥L+11, 2 脚+y-2-2y十2≥号故所象的最小值为号】 4.D[过点B作点B关于直线m:2x十y+6=0的对称，点B', 则B'在直线AC上，如图所示， 设B'(m,n),根据BB'⊥m且BB'的中点在直线m上， /23×2+t。2+6一0， 2 ”+×-0=-1 解得m=1,n=一3，所以B'(1,一3)， 又A(1,1),所以直线AB'的方程为x=1, 故直线AC的方程为x■1.故选D.] 5.C[直线1的方程(1十3入)x十(1十A)y一2一4A=0可化为 x+y-2+a(3x+y-4)=0,联立任+y-2=0, 3x+y-4=0, 解得工l所以直线L经过定点C1,D. 1y=1, 当PC⊥l时，点P到直线L的距离最大， 最大距离为PC=√(-2-D+(一1-1D=√/3. 1+12 因为直线PC的料率re-+2分，PCL: 3 所以直线1的斜率=二。，所以一十3一3 1+ 21 所以2(1+3A)=31十)，所以2+6入=3+3，故A=3: 所以直线1的方程为3x+2y一5=0.故选C.] 6.ABC[领斜角为135°且过，点(0,1)的直线1的方程为y一1 =tan135(x-0),即y=-x十1， 设点A(2,4)关于直线《的对称点为A'(m,n) m2+1 则有2 2 即m十n=-4, n一4、 m-2×(-1)=-1, m一n=一2， 年野低二A-8-n 于是反甜后的无线所在的直我方程了为二》 y-(-1) 1 0-(-,即1y-g红-5). 1 对于A江-1时y=一2故A正确； 对于B=2时y=一受故B正确： 对子C,x=3时y=- ,故C正确： 1 对于D=4时y=一言，放D错民 故选ABC.] 2智[V2牛可表泰直线5x十12y-60上的点到坐格原点 的距离，在所有这些点到坐标原点距离中，过坐标原点且垂 直于直线5x十12y=60的垂线段的长度是小，故最小值为d a 60. 8.(-5,一4)[由题毫，直线x十y十2=0的斜率为-1， 直于直线x十y十2=0且过点P(2,3)的直线方程为y一3 =1×(x-2),即y=x+1, 3 设两直线交点为A,由Px十1， x=一2 解得 x+y+2■0， y=-2 所以A(是-》 2102 所以点P(2,3)关于直戴x十y+2=0的对称点为 p(2×2-2,-x2-3,脚p(-5-0.] 9.2x十3y十8=0[由平面几何如识易知所求直战与已如直线 2x+3y-6=0平行，则可设所求直线方程为2x+3y十C=0 (C≠一6). 在直线2x十3y一6=0上任取一，点(3,0)，关于点(1，一1)的 对称点为（一1，一2），则点（一1，一2）必在所求克线上， 所以2×（一1）十3×(-2)十C=0,解得C=8. 所以所求直线方程为2x十3y十8=0.] 10.2x-y十3=0[易得A不在1和l2上 国此11,1：分别为∠B,∠C的平分线， 所以点A关于L1,山：的对称点在BC边所在的直线上 设点A关于l:的对称点为A:(xy), 791 点A关于2的对称点为A:(x1y:), 4+41-1=0 2 2 则 +1 解得/2=0， -4·1=-1, y1=3, 所以A:(0,3) 又易得点A关于1：的对称点A2的坐标为（一2，一1）， 所以BC边所在直线的方程为3=一0 -1-3-2-0 即2x-y+3=0.] 11.√1⑥[过点P作关于直线工一y+2=0对称的点Q, 设Q(a,b), b-1 a-1=-1, 所以 解得a=一1， a+1_b+1 b=3. 2-2 +2=0, 所以Q(一1,3)，故最短路程为Q0=√/10. 12.解：(1)当m=0时，直线41的方程为x=3,符合题意： 当m0时，直线4，的方程为y= x+2m-3 则m 2m-3 解得0<m≤2 3 0, m 鲸上，浅数m的取值花周灵6，引 (2)若m=1,1x一y一1=0， 由区y一1=0，解得任2 2x-y-3=0, ly=1, 所以l1与l:的交点坐标为(2,1). 显然A(0,一1)在直线1：上，设A(0,一1)关于直线2的对 称点为A'(a,b), 6+11 =一2 .8 a=5 解得 。则A(，-号) 9 2×4-62-3=0,6=-5， 所以直线11关于直战：对称的直战方程为 y-1= 8(x-2),即7x-y-13=0. 26 13.解：(1)设A美于直线1的对称点为A'(m,n), n-0 财m一2一2. 解得m=一2， m+2-2×” ln=8, 2 2+8=0 故A'(一2,8).图为P为直线1上的一点， 则IPA|+IPB|=|PA'I+|PB|≥A'B|, 当且仅当B,P,A'三点共线时，|PAI十|PB|取得最小值， 为|A'B引，点P即是直线A'B与直线l的交点， 180 。得一2故点P的坐标为(-2,3》. 则x-2y+8=0,得y=3. (2)A,B两点在直线1的问侧，P是直线1上的一点， 刚|IPB|-lPA≤AB|, 当且仅当A,B,P三点共线时，川PB|一PA|取得最大值，最 大值为IAB|,点P是直线AB与直线【的交点，又直线AB 的方程为y=x一2， 内化-2。 。得=12， y=10, 故点P的坐标为(12,10). 14.解：(1)直线1：kx一y+2+4k=0(使∈R), 即y=k(x+4)十2， 直线1过定点B(-4,2),=号=一号 因为直线1不经证第三象限，所以一豆<质≤0， 事的系维范国一音可小 (2)依题意，直线1交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴 于点B,O为坐标原点，则>0， 由kx-y十2+4k=0,令x=0,得y=2+4k; ◆y=0,释x-24是-4 k 所以A(←是-40），B0,2+4 所以S=名×（侯+4）×2+)=（侯+）×1+2) =8+ 2+8≥8+2，√层·8=16， 2 当且仅当2 腿，即方时华号成 光时直线1的方程是y2（红十4)+2，即2一2y+8=0 分层作业（十五） 答案速对 123 45611 1213 C AD B C BC 7.x2+y2=28.(x-2)2+(y-3)2=5 14.(x+2)+(y-2)2=4或(x+6)2+(y十6)2=36 试题精析 1.D[报据圈的标准方程(x+1)2+(y+1)2=2, 可得圆心坐标为（一1，一1），半径为√2.故速D.] 2.B[由题意知，圆心是(3，一1)， 国的半径r=√(3-7)+(-1+4)了=5， 所以周的桥准方程为(x一3)十(y十1)1=25.] 3.C[由圆的标准方程为(x+1)2+y2=1, 得圈心坐标为（一1,0）， 国此，国心到直线x一y+3=0的距离d=-1+3 /1+(-1)7 2.故选C.]