章末综合测评(2)直线和圆的方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

设平面SCD的法向量为m一(xyx), t0. m.SC=+y-:=0, 取m=(2,-1,1), 又易知平面SAB的一个法向量为n■(1,0,0)， .平面SCD与平面SAB的央角的余法值为 ew小-贤贸--停 19.解：(1)证明：在Rt△ABD中，AD-√AB+BD-√5 ,四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=√3，CD=AB=1,又A1C=2, A1B+BC=A,C2,A1B⊥BC, 又A,B⊥BD,BC∩BD=B, 且BC,BDC平面BCD, .A:B⊥平面BCD,又A:BC平面A1BD ,平面A1BD⊥平面BCD. (2)如图，过，点B作BD的垂线，以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则B(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,√2,0) C(1,W2,0),BC=(12,0), DA,=(0,-2,1), 1BC·DA1 Icos(BC,DA)=- 2 2 IBCIIDA 3X3 3' “异面直线BC与A,D所减角的余孩值为号 (3)DC=(1,0.0).CA=(-1,-2,1). 设CE=ACA1,0≤1≤1， DE=DC+CE=(1-A,-A), 易如平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1) 设DE与平面BCD所成的角为B,则 sin 0-I cos(DE,n)DE.nl DE1nl√-A)+2以+积 , 解得=号我=-1合去)正=号C中CE=号 :当我段CE的长为号时，DE与平面BCD所成角的正被 维为号 章未综合测评（二） 答案速对 4 5 67 8 91011 B C B CC BBB ABABCACD 12.√5x-y-4=013.(2,-1)(x-1)+y2-2 14.1 试题精析 1.B[直线11与支线12：2x十y一4=0平行， 别直线L1的斜率为一2，直线11过，点A(2,5) 别y-5=-2(x-2),即2x+y-9=0. 故选B.] 2.C[直线11：2x十(m十1)y十4=0与直线l2:mx十3y一2 0平行， 别2X3一m(m十1)=0，解得m=一3戎m=2. 当m=一3时，此时直线11：2x一2y十4=0与直线1，：一3x +3y一2=0平行， 当m=2时，此时直线11：2x十3y+4=0与直线l2:2x+3y 一2=0平行，故m=一3或m=2, 故选C.] 3.B[由题意知，点A和点B到直线1的距离相等，得到 16a+3+1_|-3a-4+1 √a+1 √a+1 化筒解得a=一吉或a=一了故选B] 4.C[设直线为l:ax+y十2-a=0,即l:a(x-1)+y+2= 0,易知1过定点P(1,一2)，圆C的标准方程为x+(y十2) =5,所以圈心为C(0,一2)，半径为√5，且点P在圆C内.因 为当PC⊥AB时，围心C到直线l的距离最大，此时|AB引取 得最小值，易得 IPCI-Izr-zel=1, 所以AB=2√(W5)-1=4,敢速C.] 5.C[圈C1:x2+y2-2ax+2y+a2=0的圆心C1(a,-1), 平径r1=1, 图Cx2+y°+4x-6y一23=0的圆心C:(-2,3),半径r 6, 由两圆有且只有一条公切线，可知两圆内切，所以|C:C:= r:-r=5,即√(-2-a)+(3+1)F-5, 解得a■1发a■一5. 故选C.] 6.B[周C的图心为C(0,2),半径为r=4.因为MA,MB是 ⊙C的两条切线，所以CA⊥MA,CB⊥MB.设点M的坐标 为(a,一6)，因为∠MAC=∠MBC=90°，所以M,A,C,B回 点共圆，且以MC为直径， 该圈的方程为x(x一a)+(y+6)(y一2)=0， 又圆C的方程为x+(y一2)2=16，所以两圈方程相减得 一ax十8y=0,即直线AB的方程为一ax十8y=0,所以克线 AB幢过定点(0,0).] 7.B[圈x+y2+2x+4y-3-0可化为(x+1)2+(y+2) =8,∴，圆心坐标是（一1，一2），幸径是2√2.圈心到直线x 十y十1=0的距离d=一1一2+山=反，过围心平行于支 线x十y十1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x十y 十1=0的距离为w2的平行线与國相初，只有一个交点，，共 有3个点.故选B.门 8,B[直线1：3x+4y十m=0上任意一点M,点P,Q是圆C 上两点， 当PM,QM分别与周C相切时，∠PMQ最大， 需M运动到与圆心C之问的距离最小，即CM⊥L时， ∠PMQ最大， 圈C:x3+y2-4x十1=0的圈心C(2,0),半径为V3, 由点到直线的距离公式，得圆心到直线【的距离d =13X2+4X0+m 5 1091 在圈C上存在两点P,Q,在克线L上存在点M,使∠PMQ■ 120°时，此时圆的圆心到克线的距离为2，在直线1上存在点 M,此距离小于等于2，d=13X2+4X0+ml≤2， 5 解得一16≤m≤4， m的取值范围为[一16,4]. 故选B.] 9.AB[对于A,直线1：x=my十1，令y=0,则x=1,所以直 线1过定点(1,0)，故A正确：对于B,当m=0时，直战1：x 】,此时斜率不存在，故B正确： 对于C,当m可√3时，克线1：x=√3y十1，所以直线l的外率 为，领斛角为30，故C错误；对于D,当m=2时，直线记 =2y十1，令x=0,得y=一0.5，即直线1在y轴上的藏距为 一0.5，故D错误.故选AB.] 10.ABC[若l1,l2,山3中有两条相互平行，或三条线过同一点 都不可以国成封闭图形， 若111。，由两直线平行与斛率之间的关系可得a=1: 若1∥1。，由两直线平行与斜牵之间的关系可得a■一2： 联立4山，可得任十y-1=0, l2x-y-5=0, 可如1：，l3的交点为(2，一1)， 若1，l2,l3交于同一点，可得a=2.故选ABC.] 业mP份-哥- 1 化简得x2十y2-8x一4y十4■0，选项A正确； 将圆C的方程化为标准方程为（红一4）+(y一2)2=16，则 图心为(4,2)，丰径为4，则圆上的点到点（一3，一2）的晨小 距离为√/(-3-4)+（一2-2）于-4=√6丽-4>4，则在圈 C上不存在点M到点（一3，一2）的距离为4，选项B错误，C 上的点到直线3x一4y十6=0的景大距离为周心到直线3x -4y十6=0的距离加年径，即2二8+6l+4=6,选项C √9+16 正确： 显然克线1的斜率存在，设直线！的方程为y一2=k(x十 4),即kx一y十4k十2=0，由于圆C的半径为4，则要使C 上恰有三个点到直线1的距离为2，只需图心到该直线的距 寄为2，即18跳1 =2, √R+1 解得一土 15 ,选项D正确.故选ACD.] 12.V5x一y一4=0[因为直线y=-√3x十1的斜率为-√3， 可得共领斛角为。 3 由题意可得直线1的领斜角为了， 美件奉为表=m合-厅， 又直战1过点P(,一1)， 所以直线1的方程为y十1=√5(x一√3)， 聊3x-y-4=0.] 13.(2,-1)(x-1)2+y2=2[根据题意，直线1：mx-y- 2m-1=0,即m(x一2)=y十1. 由工一2-0解得红=2，即直线1经过定点(2，一1D,记 y+1=0, 1y=-1. 点(2，一1)，(1,0)分别为点M,点C, 则1MC=/(2-1)+(-1-0)=√E 110 以点(1,0)为圆心且与1相切的所有圆中，半径最大时，r■ IMC=2. 故半径最大的圆的标准方程为(x一1)3十y2=2.] 14.1[直线x十ay+2=0与圆C:x2+(y-2)2=16相交于 A,B两点，且△ABC的面积为8， 由三角形的面软公式可得SAx-号X4sn∠ACB=8, 得in∠ACB=1,由0<∠ACB<0,得∠ACB=2, 所以△ABC为等腰直角三角形， 所以图心C(0,2)到直线x+ay+2=0的距离为 d=4sn誓-22， 由点到直线的距离公式得4=2a+2=22,解得a=1,] /1+a 2 15.解：)若直线1经过原成，则方程为y■气工■一2虹，即2红 十y=0.若直线1不经过原点，可设方程为二+之=1，把点 a Aa P(-1,2)代入可得号+名=1，解得a=-弓， a 大4a 方程为-2红一音-1，即4红十y十2=0. 综上可得直线1的一般方程为2x+y=0煮4x+y十2=0， ②)镜直线1的方程为后+岩=1，北点P(一1,2)代入可得 1+2 +后=1又宁16=合则b=士， 1 a -1+2 1 立厂。+6-1解得{al0=- ab=士1， b=1,b=-2. .直线1的一般方程为x十y一1=0或4x十y十2=0. 16.解：(1)方袋一：速条件①. 设周的方程为x+y2+Dx+E十F=0(D2+E一4F>0), F=0, D=-2, 则(2+D+E+F=0,解得{E=0, 4+2D十F=0, 1F=0. 刚圈G的一般方程为x2十y2-2x=0. 方案二：选条件②. 直线mx一y一m■0恒过点(1,0). 因为周G被直线mr一y一m=0(m∈R)平分， 所以mx一y一m=0恒过周心，所以圆心坐标为(1,0)， 叉国G经过点A(0,0),所以图的半径r=1,所以周G的标 准方程为(x-1)2+y2=1,一般方程为x2+y2-2x=0. 方案三：选条件③. 设图G的方程为(x一a)2十(y-b)2=r llal=r, /a=1, 由题意可得(a2十b2=r2, 解得b=0, (1-a)2+(1-b)2=r2, r=1. 剩圆G的标准方程为（红一1）十y3=1, 一般方程为x2十y2一2x=0. (2)设M(x,y). 周为M为线段AP的中点，所以P(2x,2y), 因为，点P是圆G上的动，点，所以(2x)十(2y)一2X2x= 0,即x2十y2一x一0，所以M的轨迹方程为x十y2一x-0. 17.解：(1)如图，因为P(一2，一3)，Q(4,2)是以点Q'为固心的 园的直径的两个端点，因此以点Q为闻心的圆的方程是(x +2)(x-4)+(y+3)(y-2)=0, 即x2+y2-2x+y-14=0. (2)PA,PB是国(x-4)3+(y一2)2=9的切线 因为PQ是圆Q的直径，且A,B是國Q和圆Q'的交点， 所以PA⊥AQ,PB⊥BQ. 所以PA,PB是图(x一4)2十(y一2)=9的切线. (3)两圈方程(x-4)+(y-2)=9,x+y2-2x+y-14 =0相减，得6x十5y一25=0，即为直战AB的方程. 18.解：(1)圈C1:x十y2十6x一2y十6■0化为标准方程为(x +3)2+(y-1)2=4,划国心C1(-3,1),r1=2, 圆C生：x2十y2-8x-10y十41-r2=0(r>0)化为标准方程 为(x-4)+(y-5)2=r2(r>0),则心C:(4,5),r=r, 所以1C,C:1=√(4+3)+(5-1)7=√65. 图为圆C1与国C,相交，所以r-r<|C,C,l<r1十r 即|r-2<√65<r十2，解得√65-2<r<√65+2， 所以r的取值范国为（√6丽-2，√65+2）. (2)已知直线l:y■kx十1与圆 C1交于P,Q两点， 设P(x1y1),Q(x1y),联立 y=kx十1， 红+32+6y-1D-4,得 (1+k2)x2+6x+5=0. 由4=36-20(1+k2)=16-20k2>0, 得(25,2) 6 5 所以x十=1中还=1十发 所以0P.00=x1x1十y1y=(1+是)x1x1+是(x十x) +1一装+6=你释-3达5 2· 因为4(25,2 人：所以3二5 2 19.解：(1)图0：x十y2=4的周心为0(0,0)，辛径r=2, 则国心0到直线1的矩离d=P-(分AB)=1, 若直线1的斜率不存在，即直线【：x=1,满足题意： 若直战{的斜率存在，设支线1的方程为y一3=k(x一1)， 即kx-y十3-k=0, 则圆心O到直线1的距离d= 13一处=1，解得k=3 √+7 .直线1的方程为4x-3y+5=0. 综上，直线1的方程为x=1戎4x一3y十5=0. (2)①若线段AB的中点为D,可得OD⊥AB, 即lOD|=d=1, 可如点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆， 点D的轨过C的方程为x2十y=1. ②证明：由(1)可知，直线1的斜率存在， 设直线L的方程为y-3=k(x-1),即y=kx+(3-k), 点M(x1y:),N(xy), 联立方程，消去y可得（十1）x-2k( -3)x+(k-3)2-1■0， 期△=4k(使-3)2-4（使°+10[（使-3）2-1门 >0,解得>3： 2k(k-3) 则x1十x:■ 2+1 0 (k-3)2-1 k+1 ++, t:-1 =2k+3 13 x1-1x,-1 3(x1+x2-2) ■2k+ 工1x1-(x1+x2)十1 2kk-3》-2 3 k2+1 =2k+ 6-3)-1_2h质=3》+1 k*+1 k+1 =2k 18k+62 9 一3 1十k,为定值 章末综合测评（三） 答案速对 1234567 891011 A CCCCCC D BD BCBC 12.1713.√614.2x+y-2=0或2x-y-2=0 试题精析 1A[:抛物线C的方程可化为工产= 6y, 六头及点业标为6》 故远A.] 2.C[恩为实轴长2a=4,即a=2, 若双曲线焦底在x轴上，则6=2a=22, 则双南成方和为号苦-， 若双询线焦点在y轴上，则6- 2a2, 剥双南线方程为兰一之三 42-1. 故选C.] 3.C[曲线5十号=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴 y 长为6，离心率为号，焦距为8的椭周、南线g二女十25在三1 (k<9且≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2/②5一k,短 轴长为2√9一，焦距为2√(25一)一(9一)=8，离心率 为 4一的描调。 √25-天 故远C.] 4C已如FR,是精国C号+号1的两个我点点P在 C上，所以a=2,c=1. 设|PF1|=t,a-c≤|PF:|≤a十c,则t∈[1,3]，则 111011四0a口 11门11可 曙卡馆息 年最 班 学号后5位 姓名 力D力Du mm知知口 ■@间 章末综合测评（二） 直线和圆的方程 (时月：120分钟瑞分：150分) 一，选样抛：本题共B小题，每小题5分，其40分，在每小题给出的四 个选项中，具有一项是符合题目要求的 1.已知直线1：过点A(2,5)且当直线：2：+y一4一0平行，则直线 的一粒式方程月 1A72x十y+9=0 [12g中y-9=0 re1x+2y+90 1x+2y-9=0 2.若直线L1:x十《w十1)y十4=0与直线11：wx+3y一2=0平行， 黑m的值为 CA灯2 []-3 fc12或-3 [D1+2或-3 3,已知点A(一3，一4》，8(8,3)到直线？：x十y十1=0的形离相等， 则实数：的值等于 - 四-该日 4(224·全国甲卷)已每直线4暖十y十2一a■0与图C:x'十y十 4与-1一0交于A,B两点，则A的量小值为 CA12 I13 [e4 【p16 5,已知阀C,:x+y2-2r+y十a-0与测C,x3+y3+4r一8y 一扫一0钩公切线有且只有一暴，则实数a的值为 LG11或-5 Ip]-1或s 6.已知圆C:x十y一2)一14.若动点M在直线y十8-0上，过点 M引圆C的再条切线MA,B,w点分别为A,B,刚直线AB恒 过定点N,则点N的坐标为 47(-1。-1) 01(1,10 t01(0,6) ■ 1.满Cx十y3十2x十4y-3=0上到直找x十y+1=0距真为2的 西，解答是：本题共5小整，共77分，丽答时应写出文字说明，证明过 点有 程或演算多强 【A12个 1m13个 te14个[o】无数个 1 9876s432o+a.g 发设直就1,3+4y+w=0,圆C,士+y3一4红+1=0，着在圆C上 15,13分)已知点P(一1,2)，求调足下列条件的直线4的一般方程， 存在再点P,Q,在直线！上存在点M,檀∠PQ一120°，题w的最 (1)经过点P,且在y轴上的碳距是r轴上疑形的4倍) 值重围为 (A1[-18,4] ta1[-16,4] (2)龄过底P,且与坐标响黑武的三角形的面积为子 【a1[-8-52,-6+52]【01[6-5,2,4+52] 二，慈释整：木题共3小题，每小题B分，共15分，在每小题给出的选 项中，有多项符合题日要求，全都透时的得6分，富分这对的得都分 分，有选馆的得0分， 象利于直线I,士=my十1，于列说法正确的是 [】直汉I闻过定点1,0) []直设！斜半可以不形在 [@1等一不时，直线？的镜刻角为° [01狮-多时，直线（在y轴上的截距为0,5 10.已知三条直线14x十y一3-0，山1：x十y一1-0，山1：2x一y一5- 0不能国成一个封闭图形，期实数：的氧可以是 【A]-2 1,古看看素名数学家阿技罗尼斯与款几里得，阿基米德齐名，饱发 现，平有内到两个定点A,日的距离之比为定值A1≠1)的点所 1 98zas4s2a+0.图 形域的图形是同，后来，人们将这个圆以他的名字食名，称为阿废 1载(15分》在过点C(2.0)②置G恒较直线Mr一y一m-9(m日 罗尼斯图，算称阿氏图.已知在平面直角坐标系0红y中，A(2,2). 我)平分：③与￥轴相切这三个条件中任这一个，补充在下面风圆 一：，点P调足路之设点P所将度的由线为c,下列 中，并解答。 已如周G经过点A0,0》,B(1,1),且 结论正确约是 (1门求调G的一般有程： 1C的方程为x3十y2一8x一4y十4=0 (2)设P是同G上的动底，求线段AP的中点M的轨逐方程， 往：如果这举多个条件分例解答，按第一个解容计分. 11在C上存在点M强点(3,8)的距离为4 1G]C上的点到直线3r-4y十6=0的最大距离为6 1D1过旗B作直线：，若C上恰有三个点到直线（的形离为2，则 该直战的斜率为士零 三、填空题：本题共3小思，梯小道5分，共15分. 12.直线1过点P(√后，一1)，其顿斜角是直线y=一，5x十1的倾斜 角的三，网直线I的方程为 ■ 13.在平面直角坐标系y中，直线lwr一y一w一1一0(m∈R过定 点☐以底们，O)为视心且与直线1相切的所有装中，半径 最大的图的标库方程为 14授直线x十ay十2=0与圆C:x十(y-2)'-14超交于A,B同 点，且△AC的面积为8，则实数4的值为一 9878543210+4.5 17,(5分)已年点P《一2。一3)剥以点Q为黑心的周(x一4)十 (y-2)'=9. (1)满出以PQ为直径，点Q'为调心的圆，再求出属了的方程型： (2》2周Q与图Q相交于A,B两点，直线PA,PB是离Q的切 线吗？为什么7 (3)求直找AB的方程， 反本单元 ■ 9876s4▣21o+ ■ 987a432da+a.写 18《17分)已知图C1:x十y十6r-2y十4=0和周C:x十y2 19,(17分)已知点P(1,3),魔0：x十y=4,直线1与周0相交于 8r=10y+41-r2'=0(r>0). A,B间点，A81=28. 《1)岩国C,与圆C,艇交，求r的取值枪围： 1若直线！过点P,求直线上的方程： (2)若直线1y=杠+1与图C交干P,Q两点，且0,0反 (2)①若线段AB的中点为D.求点D的轨连C的方程， 4,O为坐标夏点，求实数素的值， ②过点P作直线m与由线C交于丙点M,N,登Q1,,QM, QN的斜率分拼为，请，求证：k:十★，为定值 ■