分层作业(7)用空间向量研究夹角问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

智学分层作业 智学分层作业（七） 用空间向量研究夹角问题 (满分：75分) ·基础对点练· 1.(5分)若直线11的一个方向向量为n1=(1,0, 一1)，直线12的一个方向向量为n2=(0,一1， 一1)，则直线1,2所成角的大小为() 12π 2.(5分)在正方体ABCD-A:B1C1D1中，点E 是AD的中点，则异面直线D:E与A,B所成 角的余弦值等于 LA)10 5 o5o o)2 3.(5分)如图，在三棱锥O ABC中，OA,OB,OC两两 垂直，OA=1,OB=2,OC =3,则直线OB与平面 ABC所成角的正弦值为 2严号o号 (o)36 4.(5分)在三棱锥P-ABC中，PA,AB,AC两两 垂直，D为棱PC上一动点，PA=AC=2,AB =3.当直线BD与平面PAC所成角最大时，直 线AD与平面PBC所成角的正弦值为() 开 te:31T 11 to:4/IT 11 5.(5分)在棱长为2的正方体ABCD- A,B,CD,中，若B=专BC,则平面 A1BP与平面AB:P夹角的余弦值为() 3 A)3 4 5 ■ 0口■0口▣■口0 ■■@口■1▣■1■ 学 刀▣四初20 年级： 卡信息 刀幻口口 后 44▣4和04 班级： 505]5]505 位 600] 姓名： 口口口D2口 HH 909口9切9▣9g 6.(5分)点A,B分别在空间直角坐标系Oxyz的 x,y轴的正半轴上，点C(0,0,2),平面ABC的法 向量为n=(2,1,2).设平面ABC与平面OAB的 夹角为0，则cos0的值为 () 3 a, 3 to 3 7.(5分)（教材改编题）如图，在正方体ABCD- A1BC1D1中，E,F分别是BB1和DD1的中 点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值 为 口 ·能力提升练· 8.(5分)在长方体ABCD-A1B1C,D1中，AB= BC=1,BB1=2,点P在长方体的侧面 BCC,B,上运动，AP⊥BD1,则平面PAD与平 面ABCD的夹角的正切值的取值范围是 A. 层引 [e] 9.(5分)在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2, AC=2√2，PB⊥平面ABC,M,N分别为AC, PB的中点，MN=√6，Q为线段AB上的点 (不包括端点A,B).若使异面直线PM与CQ 所成角的余弦值为 BQ 34,则 BA 子或4号 13 智学分层作业 19876543210+0.5 19876543210+0.5 10.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥ 11.(15分)如图，在三棱柱ABC-A,B1C,中，平 CD,∠DAB=90,AD=DC-号AB,以直线 面ACC1A:⊥平面ABB:A1,四边形ABB:A 为矩形，AB=AC=2,AA1=3,且∠CAA AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角 =60° 梯形ABEF,且AF⊥AD. (1)求平面CA1B1与平面AA1B1夹角的 (1)求证：DF∥平面BCE: 余弦值； (2)在线段DF上是否存在点P,使得直线 (2)设P为棱B,C1上的一个动点（包含端 AF与平面BCP所成角的正孩值为2？若 点)，直线CP与平面A1PB1所成的角为0，求 DP sin0的范围. 存在，求出F的值：若不存在，说明理由。 14又底面ABCD是矩形，所以OO'⊥CD, 以点O为坐标原点，OO,OC,OP所在直线分别为x,y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， D 由PC⊥PD,PC=PD,CD=6,得PO=3, 所以A(3,-3,0),B(3,3,0),P(0,0,3), 则A0-(-3,3,0),设BE-ABP(0≤A≤1)， 则E(3-3以，3-3x,31),A正=(-3x,6-3x,3), AE1=√27a-36A+36, A0.A正(-3,3,0)·(-3A,6-3x,3a) 1AOI W9+9 -9A+3(6-3)18 =3√2， √9+9 32 因此点E到直线AO的距离 d= IAE- AO.AE 1AO1 -V2m-96+18-√2(-)+6， 时，d取装小值6，即线段PB上6 线AO的距离的最小值为√6.故速C.] 11.解：(1)以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为 y2轴，建立如图所示的空问直角坐标系， D B B 则A(0,0,0),B1(2,0,4),E(1,4,0),C1(2,4,4), D1(0,4,4),所以AB1-(2,0,4),AE=(1,4,0), AC=(2,4,4). 设平面AB1E的法向量为m=(a,b,c), 所以 g·m=02a+c0 AE·m=0, a+4b=0. 取a=-4,则6=1，c=2, 所以m=(一4,1,2)为平面AB:E的一个法向量， 所以点C1到平面AB,E的距离 d,-AC:m-8+4+814a m √16+1+421 (2)AB=(2,0,4),AD,=(0,4,4),AE-(1,4,0). 设n=(x,yz)为平面ABD,的法向量， JAB·n=0, 即/2x+4红=0， AD:·n=0, l4y+4z=0. 令x=1,得n=(-2,一1,1)为平面AB1D1的一个法向量 所以点E到平面AB,D,的距高d,-正nl一后 又D1A=42,AB:=DB,=25, 将以5aA-名×4巨X2月-4后。 所以V-马-号X46X后=8 12.解：(1)证明：在平面ABC内，过点 A作Ax⊥AC,因为PA⊥平面ABC, 则以A为原点，以Ax,AC,AP所 在直线分别为工，y,2轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 国为△ABC是边长为4的正三角形，则A(0,0,0), B(23,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(5,3,0),F(0,2,0), Q停o)所a成-（停是小 而AE=(W3,3,0),即有A正=2F可，又AE,FQ无公共点， 则AE∥FQ. 又FQC平面PFQ,AE平面PFQ 所以AE∥平面PFQ, (2)由(1)如AE∥平面PFQ,则点A到平面PFQ的距离即 为直线AE到平面PFQ的距离， 设平面PFQ的法向量为m=(x,y,2), F市=0，-22，成-（停号0）=020 期商-停+号-01M-石=小 n·F=-2y+2z=0. 所以n=(一√5,1,1)为平面PFQ的一个法向量 图此点A到平面PFQ的矩离4=A市，n_225 55 所以直线AE到手有PFQ的至高为 分层作业（七） 答案速对 D 6 1. 试题精析 1.B[设直线14,4所成角为0,0<0≤受，所以cos0 1 =co8(m1,n:)川= EX万z,所以9故选B] 2.A[建立空间直角坐标系，如图 所示， 授正方体棱长为2，则D(0,0,0), E(1,0,0),D1(0,0,2),B(2,2,0), A1(2,0,2), 所以D1E=(1,0,-2), A1B=(0,2,-2). 65 D,克·A,1 所以|cos(D,E,A,B)1= 4 1D,1A,5×225 所以异面直线D,E与A,B所成角的余接值为] 5 3.C[以O为坐标原点，OB,OC,OA 所在直线分别为工轴，y轴、z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,1),B(2,0,0), C(0,3,0),所以0i=(2,0,0), B=(2,0,-10,AC=(0,3,-1D. 设平面ABC的法向量为m=(x,y,x), AB·m=0,/2x-x=0, 则 即 AC·m=0,”3y-z=0. 令x=6,则x=3,y=2, 所以m=(3,2,6)为平面ABC的一个法向量 设直线OB与平面ABC所成的角为0， 则sin0=m·Oi 6 3 m110-3+2+6×2-7 即直线OB与平面ABC所咸角的正孩值为号.] 4.C[因为AB⊥AC,AB⊥PA, 且PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC. 则直线BD与平面PAC所成的角为∠ADB, tanZADB-AD-AD' AB 3 当AD取得最小值时，∠ADB取得最 大值. 在等腰点角三角形PAC中， 当点D为PC的中点时，AD取得最小值 以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分刷为工，y,x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2) D(0,1,1),所以AD-(0,1,1),P元-(0,2，-2)， BC=(-3,2,0). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 期·文-0p2-红=0 "1n·BC=0,-3x+2y=0. 取y=3,则x-2,z一3，所以n=(2,3,3)为平面PBC的 个法向量 因为cos(m,AD)=3+3-3 ,所以直线AD与平面 /22×√211 PBC所成角的正孩维为3故速C] 5.D[在棱长为2的正方体ABCD-A,B1C,D,中，以D1为 坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， x 则A:(2,0,0》,B:(2,2,0),B(2,2,2),C(0,2,2), 166 由B户=BC.得P(行2，号) 则A瓜=0,2.0，Ai=022.A户-(-号2,2） 授平面A,BP的法向量=(x,y,z), 1n·A,B=2y+2z=0, 别。…A立-号+2y+号=0， 今y=1,得n=(2,1,-1), 设平面A1B,P的法向量m=(a,b,c), m·A1B1=2b=0, m…A户-号a+26+号c=0, 令a=1,得m=(1,0,1), 所以平面A1BP与平面A:B1P夹角的余弦值为os(m,n) 滑文9 故选D.] 6.D[设平面ABO的法向量为m=(x,y,z),设A(a,0,0)(a >0),B(0,b,0)(b>0),则0A=(a,0,0),0i=(0,b,0), 于是有 可·m=0·即=0令z=1,则m=(0,0,1)为 oi·m=0,6y=0. 平面ABO的一个法向量， 问“1xv中7一子长选n] 周此os0-m·n 2 9 [以A为坐标原点，AB,AD,AA的方向分别为x轴y 轴、x抽的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示。 A, 设正方体的棱长为2，则A(0,0,0),E(2,0,1),F(0,2,1), C(2,2,0) 所以CE=(0,-2,1),C=(-2,0,1) 设平面EC下的法向量为n■（江yz), C正m=0,即2十=0取工=1，则y=1,z=2, 则C证n=0 即{-2x十2=0， 得n=(1,1,2). 易知m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量， 设平面ECF与平面ABCD的夹角为0， m·n2√6 所以cos0=cos（m,n1=m日-1X后-3 所以平面ECF与平西ABCD夹角的余孩值为5】 8.B[如图所示，以D为坐标原点建立空 D 问直角坐标系， 期B(1,1,0),D1(0,0,2),A(1,0,0). 授点P的坐标为(x,1,z), 所以D1B=(1,1,-2), AP=(x-1,1,z).文DB⊥AP, 所以D,言.AP-0, 即x-1十1-2x=0, 所以x一2x=0, 所以点P在平面BCC,B,内的轨迹为由点C到BB,的四等 分点（靠近B点）的一条线段， 且点P由C点向BB,四等分点移动的过程中，平面PAD与 平面ABCD的夹角逐渐增大： 当点P位于C点处时，平面PAD与平面ABCD重合，夹角 最小，此时，正切值为0： 当点P位于BB,四等分点（靠近B点）处时，平面PAD与平 面ABCD的夹角最大，此时，∠PAB即为平面PAD与平面 1 ABCD的夹角，an∠PAB=AB=i-乙' 所以平面PAD与平面ABCD的夹角的正初值的取值范围为 [b,]选B] 9.D[在三棱维P-ABC中， AB=BC=2,AC-22. 所以BA⊥BC. 因为PB⊥平面ABC, 所以以B为坐标原点，B,B武，B萨分别 为x,y,x轴正方向，建立如困所示的空 间直角坐标系，则B(0,0,0), C(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,0). 图为BM=√2，MN=√6， 所以BN-√MN-BMF=√6-2-2， 所以PB=4,则P(0,0,4). 漫胶 =A,且0<A<1, BAI 则Q(2A,0,0).因为PM=(1,1,-4),C=(2a,-2,0), 所以PM.C成=1X2x+1×(-2)+(-4)×0=2x-2, |PM|-+1+(-4)=32, |C1=√(2)+(-2下=√4a+4 图为并面直线PM与CQ所成角的余：值为 34 |PM.C】 |2x-2到 所以 34 PM1·|C32×4a+4 34 解得A=号或=4（会去.所以时 不故选D.] 1 10.解：(1)证明：将直角梯形ABCD绕着直线AB旋转得到直 角梯形ABEF,故CD=EF且CD∥EF, 故四边形CDFE为平行四边形， 所以DF∥CE 文CEC平面BCE,DF屯平面BCE,所以DF∥平面BCE (2)因为AF⊥AD, ∠DAB=90°，∠FAB=90°， 所以AD,AB,AF两两垂直， 故以A为坐标原点，AD,AB,AF 所在直战分别为x,y,2轴，建立如 图所示的空间直角坐标系。 周为AD-DC=名AB,设AD-=1, 则A(0,0,0),D(1,0,0),F(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0), 所以BC=(1,-1,0),AF=(0,01),DF=(-1,0,1). 设F-m(0≤m≤D,剥D-mD示，设P(a,0,b) 则(a一1,0，b)=m(一1,0,1)，解得a=1一m,b=m, 即P1-m,0,m),故P元=(m,1,一m. 当m=0时，此时P与D重合，直线AF与平面BCP垂直， 不满足所成房的三弦位为合去。 当m≠0时，设平面BCP的法向量为n=(x,y,z), 1BC·n=x-y=0, 影元n=十y一=0 ◆x=1,则y=1,=m+1 m 所以a-(11,)为季面CP的-个法向主 设直线AF与平面BCP所成的角为0， AF·nl 则in0=|cos(AF,n)|= A市1·n m+1 22 V+1+(可 3 解得m-子（负位合去）。 综上，在线段DF上存在点P,使得直线AF与平面BCP所 成角的运秋位为此时-子 11.解：(1)过点C作CD⊥AA1交AA1于D,过点D作DE∥ AB交BB1于点E,如图所帝， 24 C B/E B 图为平面ACC1A,⊥平面ABB1A:,平面ACCA:∩平面 ABBA=AA: 又CDC平面ACC1A1, 所以CD⊥平面ABB:A1, 因为AA1,DEC平面ABB:A:,所以CD⊥AA,,CD⊥DE, 图为四边形ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA1,则DE ⊥AA1, 故以D为坐标原点，DE,DA1,DC所在直线分别为xy, 轴，建立空间直角坐标系， 因为在Rt△ACD中，AC=2,∠CAA1=60°， 期AD=1,CD=√3，文AB=2,AA1=3, 则A(0,-1,0),A1(0,2,0),C(0,03),C1(0,33), B,(2,2,0), 所以AB,=(2,0,0),A,C=(0,-23), 设平面CA1B1的法向量为m=(a,b,c》, 「A,B,·n=2a=0, 则m=-2b+5c=0 取b=√3，则a=0,c=2, 故n=(03,2), 671 易知平面AA1B的法向量为m■(0,0,1)， 设平面CAB,与平面AA1B1的夹角为a, m·n 2 7 所以cosa=cos(m,n川-m1·m-1X/3干7 所以平面CA,B,与平面AM,B,的失角的余按值为2 7 (2)由(1)得B,C=(-2,13),CC=AA=(0,3,0), 国为P为棱BC1上的一个动点（包含端点）， 设PC1-AB1C=(-2a,AwW3A)(0≤A≤1)， 则P元=PC+C,C=(-2A,A+3,3A), 设平面AB,C的法向量为4=(xy,z), 所以A君·u=2x=0, B,C,·4=-2x+y+3x=0, 取y=√3，则x=0, 2=-1,故4=(0N3,-1), 因为直线CP与平面A1PB1所成的角为0， 其中平面A,PB,与平面A1BC:共面， 所以si血0=lcos(P吃，r1=P心，L PC·μ 1√5(a+3)-√31 33 √4+(a+3)+3就×22√/8+6a+9 对于y=8+6+9=8+音）》广+0(0<<1. 所以y=8以2十6队十9在[0,1]上单调巡增， 所以9≤8λ1+6A十9≤23， 则3≤ 3w3 2√232√8+6a+925 <35p3<血< 46 2 所以sin0的取值范围为 「36g3 46,2」 专项训练（一）》 答案速对 C AC 3[] 4 试题精折 1C[如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设CP =a(0<a<1), 则P(0,0,a),M(0,a,0),N(a,0,0),A(1,1,0),A(1,1,1), B(0,1,0),D1(1,0,1), D D N 所以MN=(a,-a,0),PM=(0,a,-a),AM=(-1, a-1,-1),AD=(0,-1,1),BD=(1,-1,1), 168 设平面PMN的一个法向量为n■(x,y,x), 划n-ar-ay-0 In.PM=ay-az=0, 取x■1，别y=x=1, 即n=(1,1,1), 所以点A,到平面PMN的距离 d-Ai.ml_la-3到 3 由a∈0,1)→d∈（ 5易知号∈(55)小即存在 点P,使得点A,到平面PMN药E高为子，即D正确： 设直线MN与AD,所成的角为e(e∈(O,])】: 剥cosa=cos(M,ADi)1= IMN AD, MNI·IAD 2X吃行所以。-音中四正确： 显然BD1·n=1≠0，即BD1与平面PMN不平行，故③错 误.综上，正确的说法有2个，故选C.] 2AC时于A周为BM-气所以M在以B为桌心，停为 半径的球上 又M为侧面AA:D:D上的点，所以M在球被平面AA:D:D 藏得的交线上 因为AB⊥平西AAD,D,AB=1,BM=5 2” 所以AM-VBN-B-名： 所以M在以A点为司心，号为半径的国上，如图1，别M的 秋速长定为宁×2：×号-子成A医精： M 图1 对于B,如图1，AM.⊥AD,到AM-号M到直线A,D的 露高的录小维为号子成B错 对于C,如图2，连接AC,AD1, D 图2 周为CC1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CC,⊥BD. 又BD⊥AC,ACC平面ACC,CC,C平面ACC1,AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1,又AC,C平面ACC1, 所以BD⊥AC1,同理可得，A:D⊥AC1: 又BDC平面A1BD,A,DC平面A1BD,AD∩BD=D, 所以ACL⊥平面A1BD