1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

1．4．2 用空间向量研究距离、夹角问题 1．（2025·高二·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·广西玉林·期末）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·陕西西安·期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025·高二·黑龙江·期末）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 8．（多选题）（2025·高二·广东惠州·期末）已知正方体的棱长为1，则（    ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 9．（多选题）（2025·高二·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 10．（2025·上海·模拟预测）已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为2，则该圆锥的母线与底面所成的角为 . 11．已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 12．（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 13．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 14．（2025·高二·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 15．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 16．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. (1)设点为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 1．（2025·山西·三模）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（湖北省黄石市2025届高三6月保温训练数学试题）如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 3．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．点是底面上的动点，且，则最大值为 C．的中点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值的取值范围为 4．（多选题）（2025·高二·江苏镇江·期末）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是 ．    6．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 1．（2025·高二·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 2．（2025·高二·河南洛阳·期末）如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D．12 3．（多选题）（2025·江苏盐城·模拟预测）在等腰梯形中，为中点，点为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球表面积为 4．（多选题）（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在直四棱柱中，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．的取值范围为 D．以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为 5．（2025·宁夏银川·三模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 . 6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4．2 用空间向量研究距离、夹角问题 1．（2025·高二·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 2．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 3．（2025·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 4．（2025·高二·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 5．（2025·高二·广西玉林·期末）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：. 6．（2025·高二·陕西西安·期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 7．（多选题）（2025·高二·黑龙江·期末）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，，分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，， 故， 故，故，C正确； D选项，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 8．（多选题）（2025·高二·广东惠州·期末）已知正方体的棱长为1，则（    ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BD 【解析】正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 对于A，，即，而上，则，A错误； 对于B，，， 则，而平面，因此平面，正确； 对于C，由平面，即是平面的法向量，， 因此点到平面的距离为，C错误； 对于，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值，D正确. 故选：BD 9．（多选题）（2025·高二·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】A选项：，故A错误； B选项：取， 点到直线的距离，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：，设平面的法向量为， 故，取，则，故D错误； 故选:BC. 10．（2025·上海·模拟预测）已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为2，则该圆锥的母线与底面所成的角为 . 【答案】/ 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则底面积，侧面积， 由题知：，得， 设圆锥的母线与底面所成的角，则，得. 故答案为： 11．已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 则． 在上的投影向量的长度为， 点到的距离为 故答案为： 12．（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则故可取， 又，故点到平面的距离. 故答案为：. 13．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 14．（2025·高二·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接，在正方体中有平面，又平面， 所以，又因为四边形是正方形，E是的中点， 所以，又,平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 16．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. (1)设点为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2）因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，故. （3）存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 理由如下： 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于. 设， 则. 所以 . 所以，解得或(舍去)， 因此，线段上存在一点，当点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值等于. 1．（2025·山西·三模）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B 2．（多选题）（湖北省黄石市2025届高三6月保温训练数学试题）如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【解析】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则由题：， 所以， 因为，， 所以，所以，， 所以，所以， 对于A：由，故A错误； 对于B：由是平面的一个法向量， 则， 所以当时，，所以平面，故B正确； 对于C：由， 设平面的一个法向量为， 所以，令， 设点到平面的距离为，则， 所以， 所以， 因为长度为定值，所以当时，三棱锥体积最大，故C正确； 对于D：设直线与所成角为， 由上当时， ， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 3．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．点是底面上的动点，且，则最大值为 C．的中点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BD 【解析】对于A：当时，， ， ，A错误； 对于B： 以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 因为点是底面上的动点，故可设，， 所以，， 因为，所以，故， 所以点的轨迹为线段，的最大值为，B正确； 对于C：因为， 所以，， 所以，， 所以向量为平面的一个法向量， 取线段的中点，则，， 所以点到平面的距离， 所以的中点到平面的距离为，C错误； 对于D：因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以与平面所成角的正弦值为， 又时，取最大值，此时与平面所成角的正弦值取最小值， 当时，取最小值，此时与平面所成角的正弦值取最大值， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确； 故选：BD. 4．（多选题）（2025·高二·江苏镇江·期末）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，如图，取的中点，连接、， 因为点、是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，且，所以， 因为平面，平面，所以平面， 且，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B，若是上靠近的四等分点， 以为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，， 所以，，且，、平面， 所以平面，且过点只有条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故B正确； 对于C，因为是棱的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 由题意可得是等边三角形，且，设点到平面的距离为， 由，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为，C错； 对于D，若点在棱上运动，设，， ，， 则点到的距离， 当时，的最小值为，D对. 故选：ABD 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是 ．    【答案】 【解析】方法一：由四边形为正方形，得球心即为BD的中点， 所以球的半径， 又连结、、、，则，， 再过E作，垂足为G，过F作，垂足为H，则， 且由已知条件可得， 则在等腰中，顶点O到底边EF的距离， 当顶点O到底边EF的距离即为球心O到截面圆的距离时， 截面圆面积最大，此时截面圆的半径，故最大面积为． 方法二：易知球心即为BD的中点，所以球的半径， 又连结、，则， 如图建立空间直角坐标，， 则，， 所以点O到直线EF的距离为：， 以下同方法一； 故答案为：． 6．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【解析】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 1．（2025·高二·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为轴平面，所以平面的法向量可取， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即， 由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得， 所以， 当时，， 所以线段AQ长度的最小值是. 故选：A. 2．（2025·高二·河南洛阳·期末）如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，，， 则， 令，则， 设，则为线段的中点， 因，到的距离分别为3，5，则到的距离分别为， 因，且为线段的中点，则到的距离分别为， 则， 又到的距离为，则，则，即，则， 则，， 则该正方体的棱长为. 故选：B 3．（多选题）（2025·江苏盐城·模拟预测）在等腰梯形中，为中点，点为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】在等腰梯形中，为中点， ，且，四边形为平行四边形， ，且，又，所以为等边三角形， 即，所以四边形和四边形均为菱形， ，，， ，翻折后， ，， 又平面，，所以平面，故A正确； 对于B，平面平面，平面平面，， 平面，平面，， ，，， 则，即，， 设点到平面的距离为， ，解得，故B错误； 对于C，与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，根据题意为等边三角形，且平面平面， 设外接圆圆心，过分别作平面与平面的垂线，交点即为球心，连接， ， ， 所以三棱锥外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 4．（多选题）（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在直四棱柱中，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．的取值范围为 D．以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为 【答案】ABD 【解析】对于A，在直四棱柱中，，，，所以， 又平面，平面，， 则，故A正确； 对于B，连接交于，连接， 分别为的中点，，且， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 即点到平面的距离为定值， ，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接， 根据题意平面，平面，则， ，，， ，， 所以点到的距离即， ，即， 由对称性知， ∴， ，故最大值应大于，故C错误； 对于D，设中点为，连接， 根据题意易得平面，即点到平面的距离为， 则球与四边形的交线以为圆心，半径的圆弧， 与分别交于点， 又，所以，同理， 故交线的圆心角为，半径为2，则长为，故D正确； 故选：ABD. 5．（2025·宁夏银川·三模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， 由得，， ∴， ∴的最小值为. 故答案为：. 6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由题意得，又，，平面，， 所以平面，则此时三棱锥如图所示， 由题意得，，，，都是直角三角形，所以， 将三棱锥补全为长方体，此时三棱锥的外接球球心为长方体对角线的中点， 即， 所以三棱锥外接球的表面积为. （2）（ⅰ）设，，则，， 因为，所以， 在直角三角形中，得，整理得，， 因为，， 所以， 因为，所以，故. （ⅱ）由（ⅰ）知，设，则， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 当时，有最大值，最大值为1，此时有最小值， 所以当取最小值时，，且， 由，得，， 所以，，. 如图1，取中点，连接，，则，，故，，，四点共线， 当取最大值时，即平面平面，由翻折关系知， 故直线，，两两垂直，且，， 如图2，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成的角为，则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$