1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　用空间向量研究夹角问题 1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则二面角α-l-β＝（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 3.已知平面α的一个法向量为a＝（1，2，2），平面β的一个法向量为b＝（－1，2，0），则两平面的夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 5.在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝4，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是（　　） A.若a⊥n，则直线l∥平面α B.若a∥n，则直线l⊥平面α C.若cos＜a，n＞＝，则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos＜m，n＞＝，则平面α，β夹角的大小为 7.〔多选〕如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则（　　） A.异面直线AD与BC所成角的大小为90° B.异面直线AB与CD所成角的余弦值为 C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D.直线AD与平面BCD所成角的大小为60° 8.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为　　　　. 9.在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B（0，4，0）及z轴上一点P（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝　　　　. 10.（2025·杭州质检）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点. （1）求证：C1M⊥B1D； （2）求平面BB1E与平面B1ED夹角的正弦值； （3）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值. 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段CD1上，若直线BE与AD1所成角的余弦值为，则线段BE的长为（　　） A. B. C. D. 12.教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0（x0，y0，z0），且以ν＝（a，b，c）（abc≠0）为法向量，设P（x，y，z）是平面α内的任意一点.由ν·＝0，可得a（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x＋2y＋z－7＝0，直线l的方向向量为（1，2，－2），则直线l与平面α所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 13.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为　　　　. 14.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点. （1）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （2）当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG夹角的大小. 15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点（不含端点），F为棱BC的中点. （1）若E为棱A1B1的中点，求直线EF与平面A1BC1所成角的正弦值； （2）求直线EF与A1C1所成角的余弦值的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　用空间向量研究夹角问题 1.C　线面角的范围是.∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为. 2.C　设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知，cos θ＝cos＜m，n＞＝－，∴θ＝120°. 3.D　设两平面的夹角为θ，又平面α的一个法向量为a＝（1，2，2），平面β的一个法向量为b＝（－1，2，0），所以cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝＝＝＝.故选D. 4.D　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴＝（－2，0，1），＝（－2，2，0），且易证为平面BB1D1D的一个法向量.设直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝.∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为. 5.D　如图，∵M为PC的中点，∴＝－＝－，且＝－，∠BPC＝∠APB＝60°，由于PA＝PC＝4，AC＝AB＝4，故PA2＋PC2＝AC2，则∠APC＝90°，｜｜＝｜｜＝｜｜＝4，∴·＝（－）·（－）＝－·－·＋·＝×16－0－4×4×＋4×4×＝8，又｜｜＝2，｜｜＝4，∴cos＜，＞＝＝＝.故异面直线AC，BM所成角的余弦值为.故选D. 6.BCD　对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确；对于C，直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos＜a，n＞＝，则直线l与平面α所成角的大小为，故选项C正确；对于D，若cos＜m，n＞＝，则平面α，β夹角的大小为，故选项D正确. 7.ABC　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB＝2，则B（0，0，0），A（0，－1，），C（0，2，0），D（，－1，0），所以＝（，0，－），＝（0，2，0），＝（0，1，－），＝（，－3，0）.因为·＝0，所以AD⊥BC，即异面直线AD与BC所成角的大小为90°，故A正确.因为｜cos＜，＞｜＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故B正确.设直线AD与平面BCD所成的角为θ，θ∈[0°，90°]，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误.故选A、B、C. 8.　解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝a，＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量为n＝（－1，1，），所以cos＜，n＞＝＝，设直线OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝. 9.　解析：平面Oxy的一个法向量为n＝（0，0，1）.设平面α的法向量为u＝（x，y，z），又＝（－3，4，0），＝（－3，0，a），则即即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝（，，1）.而｜cos＜n，u＞｜＝＝，又∵a＞0，∴a＝. 10.解：以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3）. （1）证明：∵＝（1，1，0），＝（2，－2，－2）， ∴·＝2－2＋0＝0， ∴C1M⊥B1D. （2）易知＝（2，0，0）是平面BB1E的一个法向量. ＝（0，2，1），＝（2，0，－1）， 设n＝（x，y，z）为平面B1ED的法向量， 则即令x＝1，则n＝（1，－1，2）. 设平面BB1E与平面B1ED的夹角为θ. ∴｜cos＜，n＞｜＝＝， ∴sin θ＝＝， ∴平面BB1E与平面B1ED夹角的正弦值为. （3）＝（－2，2，0）， 由（2）知，n＝（1，－1，2）为平面DB1E的一个法向量， ∴cos＜，n＞＝＝－， ∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为. 11.B　分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），设E（0，t，1－t）（t∈[0，1]），则＝（－1，0，1），＝（－1，t－1，1－t），因为直线BE与AD1所成角的余弦值为，所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，解得t＝，所以＝（－1，－，），｜｜＝＝. 12.A　因为平面α的方程为2x＋2y＋z－7＝0，所以平面α的一个法向量为m＝（2，2，1），又直线l的方向向量为n＝（1，2，－2），设直线l与平面α所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜m，n＞｜＝＝＝，则cos θ＝＝＝，即直线l与平面α所成角的余弦值为.故选A. 13.　解析：因为AE∶ED∶AD＝1∶1∶，所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E（0，0，0），A（1，0，0），F（0，2，0），C（0，2，1），所以＝（－1，2，0），＝（0，2，1），所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，所以AF与CE所成角的余弦值为. 14.解：（1）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面ABP， 所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. （2）以B为坐标原点，BE，BP，BA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（－1，，0），则＝（2，0，－3），＝（1，，0），＝（2，0，3）， 设m＝（x1，y1，z1）是平面AGE的法向量. 由得 取z1＝2，可得m＝（3，－，2）. 设n＝（x2，y2，z2）是平面ACG的法向量. 由得 取z2＝－2，可得n＝（3，－，－2）， 所以｜cos＜m，n＞｜＝＝. 因此平面AGE与平面ACG夹角的大小为60°. 15.解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 若E为棱A1B1的中点， 则E（2，1，2），F（1，2，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2）. 所以＝（－2，2，0），＝（0，－2，2），＝（1，－1，2）. 设平面A1BC1的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令x＝1，则n＝（1，1，1）. 设EF与平面A1BC1所成角为α， 则有sin α＝｜cos＜n，＞｜＝＝＝. 故直线EF与平面A1BC1所成角的正弦值为. （2）设直线EF与A1C1所成角为θ，E（2，m，2）（0＜m＜2），则＝（1，m－2，2）. 所以cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝·＝·. 因为0＜m＜2，所以m＋＞，m＋－4＞， 即＜1－＜1， 于是有＜＜1， 所以＜·＜， 即＜cos θ＜. 故直线EF与A1C1所成角的余弦值的取值范围为（，）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $