专题01 集合与常用逻辑用语 9大高频考点（期中真题汇编，人教A版）高一数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语 9大高频考点概览 考点01 集合的概念与表示 考点02 集合间的关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合的基本关系与运算求参数 考点05 充分、必要条件的判断 考点06 充分、必要条件的关系求参数 考点07 全称量词与存在量词的判断与否定 考点08 全称量词与存在量词求参数 考点09 集合新定义 地 城 考点01 集合的概念与表示 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 2．(24-25高一上·上海交通大学附属中学·期中)在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 3．(24-25高一上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 4．(24-25高一上·上海师范大学附属中学·期中)若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论参数a，结合集合的描述判断可能对应的集合. 【详解】当时，有，此时； 当时，有，而，此时； 当时，，显然，有， 但，即集合不可能是. 故选：C 5．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 6．(24-25高一上·山东菏泽信息工程学校·期中)方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 7．(24-25高一上·广西玉林·期中)集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 8．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 9．(24-25高一上·湖南邵阳武冈·期中)若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合，可得结果. 【详解】因为，则. 故选：D. 二、非选择题 10．(24-25高一上·山东威海银滩高级中学·期中)已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 11．(24-25高一上·上海复旦大学附属中学·期中)已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．(24-25高一上·全国·期中)两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 13．(24-25高一上·广东珠海金砖四校·期中)不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】先解出不等式，进而写出解集. 【详解】由，即或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 14．(24-25高一上·上海黄浦区卢湾高级中学·期中)用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 15．(24-25高一上·山东菏泽信息工程学校·期中)已知集合，则 【答案】 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为 或或，所以. 故答案为： 地 城 考点02 集合间的关系 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2．(24-25高一上·广东广州禺山高级中学·期中)已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 3．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以 . 故选：D. 4．(24-25高一上·四川成都九县区·期中)集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 5．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 6．(24-25高一上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·期中)下列关系中错误的是（    ） A．⫋ B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可得选项A正确，利用各个符号表示的含义逐项判断可确定选项B、C、D的正误. 【详解】空集是任何非空集合的真子集，选项A正确. 是无理数，表示有理数集，故，选项B正确. 不是正整数，选项C错误. 表示自然数集，表示整数集，自然数集是整数集的子集，选项D正确. 故选：C. 7．(24-25高一上·贵州贵阳第一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解. 【详解】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 8．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)已知，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简不等式，逐一判断即可. 【详解】依题意，，，A错误； 由元素与集合、集合与集合的关系知BC错误； ，D正确. 故选：D 9．(24-25高一上·海南琼中黎族苗族自治县琼中中学等学校·期中)下列说法正确的是（   ） A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B．方程的解构成的集合与相等 C． D．方程的实数解构成的集合为 【答案】B 【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意的情况. 【详解】A：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，错； B：由，可得解为或，对应集合为，对； C：显然表示不同的点，故集合不相等，错； D：若时，集合为，不能写成，错. 故选：B 10．(24-25高一上·贵州学校卓越发展·)下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的性质逐个判断即可. 【详解】对①，正确； 对②，空集是集合，故正确； 对③，是无理数，故错误； 对④，两集合中元素不一样，故，故④错误. 综上①②正确. 故选：B 二、多选题 11．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期中)下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可. 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 三、非选择题 12．(24-25高一上·广东江门新会第一中学·期中)集合的非空子集的个数为 . 【答案】7 【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果. 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 13．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 14．(24-25高一上·上海高桥中学·期中)命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据空集的性质判断. 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以命题：空集是任何集合的真子集为假命题. 故答案为：假. 15．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区广西物资学校·期中)写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 地 城 考点03 集合的基本运算 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义直接求解. 【详解】由，，得. 故选：B 2．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 3．(24-25高一上·全国·期中)已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集、补集运算即可求解. 【详解】由， 可得：， ， ， 故选：A． 4．(24-25高三上·山西晋城·一模)已知集合，且则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】确定集合，再由交集运算即可求解； 【详解】依题意：, 所以可得，则的元素个数为3． 故选：C 5．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合并集运算即可求解. 【详解】,则. 故选：. 6．(24-25高一上·陕西西安庆安高级中学·期中)已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以 ， 故选：B 7．(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县育才高级中学·期中)设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的集合，结合韦恩图阴影部分表示的集合求得结果. 【详解】由韦恩图得阴影部分表示的集合为， 而全集，集合，， 所以. 故选：B 8．(23-24高一上·江苏南通启东中学·月考)如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 9．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 10．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 二、多选题 11．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学， 是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 12．(24-25高一上·全国·期中)图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 三、非选择题 13．(24-25高一上·广东广州十三中·期中)已知集合或 (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先求出，再结合交集的定义计算即可； （2）由可得或，解出即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为或，所以或； （2）因为，所以或， 或． 14．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)已知全集，， (1)求， (2)求 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出集合、，再求，； （2）求出、，再求． 【详解】（1），， 所以 . 因为，所以； （2）因为，， 所以． 15．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用交集的定义求解即可； （2）求得，利用并集的定义即可求解； （3）求得，利用交集的定义可得求解． 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，， 所以或， 所以或. （3）因为，， 因为或， 所以. 16．(24-25高一上·河南郑州新密青屏中学·期中)已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，或． (2)存在， 【分析】(1)代入，，根据集合的运算律求解; (2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果. 【详解】（1）当，时，． 又， 所以， ，或． （2）假设存在实数满足条件． 因为，所以由，得． 由，得解得  故存在，，使得． 地 城 考点04 集合的基本关系与运算求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出集合，再根据求出的取值范围. 【详解】由题意可知，根据图示可知，所以的取值范围是. 故选：D 2．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【分析】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 3．(23-24高一上·河南济源高级中学·月考)已知集合 .若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 4．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)已知集合，集合满足，则可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据可得正确的选项. 【详解】因为，故， CD选项中，，，但，故CD错误； 而AB选项中，，均包含， 故选：AB. 三、非选择题 5．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 6．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．(24-25高一上·上海浦东新区部分学校联考·期中)关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 9．(23-24高一下·上海杨浦区·期中)已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 10．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 12．(24-25高一上·安徽宿州第二中学·)设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）即方程只有一个实数根，由判别式等于0可得答案； （2）由题可得，据此可得及集合B，后由题意可得答案. 【详解】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   地 城 考点05 充分、必要条件的判断 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举例说明证明充分性，根据不等式的性质证明必要性，即可下结论. 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 2．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 3．(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性，即可得答案. 【详解】由，充分性成立； 而时，但不成立，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．(24-25高一上·贵州仁怀第四中学·期中)设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据必要不充分定义得到结果. 【详解】因为，所以， 则“”是“”的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B. 5．(24-25高一上·吉林洮北区九校联考·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 7．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】以为条件，判断方程是否有两个负实根；以方程有两个负实根为条件，判断是否成立，即可得出正确答案. 【详解】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根． 反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出． 所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 8．(24-25高一上·上海实验学校·期中)已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，满足，，但不成立， 所以是的不充分条件； 若，则或， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 9．(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据差比较法、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，为正实数， 由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立． 综上可知，“”是“”的充要条件． 故选：D． 10．(24-25高三上·浙江浙南名校联盟·)“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 二、多选题 11．(24-25高一上·广东中山华侨中学·)的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 12．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 三、非选择题 13．(24-25高一上·吉林四平普通高中·期中)若，，则是的 条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处） 【答案】既不充分也不必要 【分析】先求得，可判断结论. 【详解】∵，∴. ∵既不能推出，也不能被推出， ∴p是q的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 14．(24-25高一上·上海顾村中学·期中)一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 15．(24-25高一上·北京中央民族大学附属中学·期中)已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可； （2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 地 城 考点06 充分、必要条件的关系求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 2．(24-25高一上·广东“八校联盟”·期中)方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 二、非选择题 3．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】；， 因为是的充分条件， 所以有， 故答案为： 4．(24-25高一上·广东广州育才中·期中)已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 5．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 6．(23-24高一上·河北石家庄一中·月考)已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可； （2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 地 城 考点07 全称量词与存在量词的判断与否定 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 2．(24-25高一上·山东菏泽·期中)下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 3．(24-25高一上·新疆喀什·期中)“实数的平方大于等于0”用符号表示为 . 【答案】 【分析】根据全称量词命题的知识确定正确答案. 【详解】“实数的平方大于等于0”用符号表示为：. 故答案为：. 4．(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅·月考)下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 5．(24-25高一上·云南德宏州民族第一中学·期中)已知命题，命题，则下列说法中正确的是（    ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 【答案】B 【分析】根据全称命题及特称命题的特征，分别举例子判断命题的真假即可， 【详解】若，则，得，故命题为真， 若，则，故命题为假， 故选：B. 6．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由特称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，. 故选：C 7．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为全称量词命题，则命题的否定为，， 故选：． 8．(24-25高三下·湖北宜昌第一中学·)已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 9．(24-25高三上·江苏扬州·开学考)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 10．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期中)若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，然后求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 因为当时， 所以. 故选：B 二、多选题 11．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 12．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·月考)下列四个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，解方程或不等式即可判断选项中命题的真假. 【详解】对于A，因为，，可得，即A真命题； 对于B，易知当时，不是整数，即不存在，，所以B为假命题； 对于C，易知当时，，因此C为假命题； 对于D，解不等式可得，显然内不存在整数，即不存在，，可得D为假命题. 故选：BCD 地 城 考点08 全称量词与存在量词求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【详解】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D 2．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 3．(24-25高一上·山东山东师范大学附属中学·期中)若命题“，使得”是假命题，则实数a的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由特称量词命题的真假性对分类讨论即可得解. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以实数a的范围为. 故选：C. 二、非选择题 4．(24-25高一上·四川射洪中学校·期中)已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对，和分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】若，则对有，不满足条件； 若，则对任意有，满足条件； 若，则对有，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 5．(24-25高一上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 6．(24-25高一上·山东东营多校·期中)已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 7．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解. （2）由题意得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得方程有解， 所以，即， 解得， 所以． （2）因为是的必要条件，所以， 又因为为非空集合，且， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 地 城 考点09 集合新定义 一、多选题 1．(24-25高一上·全国·期中)定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可确定正确选项. 【详解】∵，， ∴， ∴，，选项A、B正确. ∵，∴， ∴，选项C错误. ∵，∴， ∴，选项D正确. 故选：ABD. 2．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 【答案】ABD 【分析】对于AD，由数域定义可得答案；对于B，通过举例判断即可；对于C，取即可判断. 【详解】对于A选项，根据定义，由，则， 则0，1是任何数域中的元素，故A正确； 对于B选项，当时，，故B正确； 对于C选项，取， 则，则不是一个数域，故C错误； 对于D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推， 整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则， 则整数集，故D正确. 故选：ABD. 二、非选择题 3．(24-25高一上·四川天立学校·期中)对于集合，，我们把集合，叫做集合A与B的差集，记作，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据求出的值，进而根据集合的定义求解即可. 【详解】因为, 所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 4．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 5．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问. 6．(24-25高一上·上海金山中学·期中)已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和 其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)不具有，具有，, (2)120 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，； （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案. 【详解】（1），则，故不满足定义， 不具有性质， ，，，，，，，满足要求， 故具有性质， 由于，，，故， 由于，，， ，，， 故. （2）依题意，集合的元素构成有序数对 共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）集合具有性质， 对于，根据定义可知：，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素， 那么， 中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 综上，. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 7．(24-25高一上·北京交通大学附属中学·期中)对于正整数集合 ，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】(1)集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由见解析； (2)不存在，理由见解析； (3)7． 【分析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． 【详解】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； （2）不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； （3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 8．(24-25高一上·四川天立学校·期中)定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“长度”的定义进行分析，从而确定正确答案. （2）根据“长度”的定义列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）依题意可知集合不是空集， 要使、都是集合的子集， 则需且， 解得且， 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 9大高频考点概览 考点01 集合的概念与表示 考点02 集合间的关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合的基本关系与运算求参数 考点05 充分、必要条件的判断 考点06 充分、必要条件的关系求参数 考点07 全称量词与存在量词的判断与否定 考点08 全称量词与存在量词求参数 考点09 集合新定义 地 城 考点01 集合的概念与表示 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 2．(24-25高一上·上海交通大学附属中学·期中)在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 3．(24-25高一上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·上海师范大学附属中学·期中)若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．(24-25高一上·山东菏泽信息工程学校·期中)方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广西玉林·期中)集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·湖南邵阳武冈·期中)若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 10．(24-25高一上·山东威海银滩高级中学·期中)已知集合，若，则 . 11．(24-25高一上·上海复旦大学附属中学·期中)已知集合，则实数的取值范围为 ． 12．(24-25高一上·全国·期中)两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 13．(24-25高一上·广东珠海金砖四校·期中)不等式的解集为 ． 14．(24-25高一上·上海黄浦区卢湾高级中学·期中)用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 15．(24-25高一上·山东菏泽信息工程学校·期中)已知集合，则 地 城 考点02 集合间的关系 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．(24-25高一上·广东广州禺山高级中学·期中)已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·四川成都九县区·期中)集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 5．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·期中)下列关系中错误的是（    ） A．⫋ B． C． D． 7．(24-25高一上·贵州贵阳第一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 8．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)已知，则有（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·海南琼中黎族苗族自治县琼中中学等学校·期中)下列说法正确的是（   ） A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B．方程的解构成的集合与相等 C． D．方程的实数解构成的集合为 10．(24-25高一上·贵州学校卓越发展·)下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 11．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期中)下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 三、非选择题 12．(24-25高一上·广东江门新会第一中学·期中)集合的非空子集的个数为 . 13．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 14．(24-25高一上·上海高桥中学·期中)命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 命题（填“真”或“假”） 15．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区广西物资学校·期中)写出集合的所有子集和真子集. 地 城 考点03 集合的基本运算 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·全国·期中)已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·山西晋城·一模)已知集合，且则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·陕西西安庆安高级中学·期中)已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县育才高级中学·期中)设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 8．(23-24高一上·江苏南通启东中学·月考)如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D．或 10．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 二、多选题 11．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 12．(24-25高一上·全国·期中)图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 三、非选择题 13．(24-25高一上·广东广州十三中·期中)已知集合或 (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围 14．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)已知全集，， (1)求， (2)求 15．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 16．(24-25高一上·河南郑州新密青屏中学·期中)已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点04 集合的基本关系与运算求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 3．(23-24高一上·河南济源高级中学·月考)已知集合 .若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 二、多选题 4．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)已知集合，集合满足，则可能为（    ） A．B． C． D． 三、非选择题 5．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 6．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)若，则 ． 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)若集合，则实数的取值范围是 . 8．(24-25高一上·上海浦东新区部分学校联考·期中)关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 9．(23-24高一下·上海杨浦区·期中)已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 10．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 11．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 12．(24-25高一上·安徽宿州第二中学·)设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 地 城 考点05 充分、必要条件的判断 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·贵州仁怀第四中学·期中)设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(24-25高一上·吉林洮北区九校联考·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(24-25高一上·上海实验学校·期中)已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 9．(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 10．(24-25高三上·浙江浙南名校联盟·)“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 11．(24-25高一上·广东中山华侨中学·)的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 三、非选择题 13．(24-25高一上·吉林四平普通高中·期中)若，，则是的 条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处） 14．(24-25高一上·上海顾村中学·期中)一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 15．(24-25高一上·北京中央民族大学附属中学·期中)已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 地 城 考点06 充分、必要条件的关系求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广东“八校联盟”·期中)方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 3．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 4．(24-25高一上·广东广州育才中·期中)已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 5．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 6．(23-24高一上·河北石家庄一中·月考)已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 地 城 考点07 全称量词与存在量词的判断与否定 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 2．(24-25高一上·山东菏泽·期中)下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 3．(24-25高一上·新疆喀什·期中)“实数的平方大于等于0”用符号表示为 . 4．(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅·月考)下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 5．(24-25高一上·云南德宏州民族第一中学·期中)已知命题，命题，则下列说法中正确的是（    ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 6．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．(24-25高三下·湖北宜昌第一中学·)已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 9．(24-25高三上·江苏扬州·开学考)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期中)若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 12．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·月考)下列四个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 地 城 考点08 全称量词与存在量词求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·全国·期中)已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 3．(24-25高一上·山东山东师范大学附属中学·期中)若命题“，使得”是假命题，则实数a的范围为（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 4．(24-25高一上·四川射洪中学校·期中)已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 5．(24-25高一上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 6．(24-25高一上·山东东营多校·期中)已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 7．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 地 城 考点09 集合新定义 一、多选题 1．(24-25高一上·全国·期中)定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 二、非选择题 3．(24-25高一上·四川天立学校·期中)对于集合，，我们把集合，叫做集合A与B的差集，记作，若，，则 ． 4．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 5．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 6．(24-25高一上·上海金山中学·期中)已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和 其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 7．(24-25高一上·北京交通大学附属中学·期中)对于正整数集合 ，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 8．(24-25高一上·四川天立学校·期中)定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$