精品解析：广东省惠州市惠城区综合高级中学2023-2024学年下学期八年级数学期中考试卷

2023-2024学年度第二学期期中综合素质训练 八年级数学试卷 命题学校：惠州市综合高级中学 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足下列关系，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，数轴上点A表示的数为，化简的值是（ ） A. B. C. 5 D. 6. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（    ） A. B. 2 C. 6 D. 12 7. 如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，，，，，垂足分别为，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点E、F分别在上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③垂直平分，④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：___________． 12. 如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为______． 13. 若是整数，则正整数的最小值是__________． 14. 如图，将长、宽的矩形纸片折叠，使点与重合，则折痕的长为_________． 15. 如图是“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是___________． 16. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______． 三、解答题一（共4小题，每题6分，共24分） 17. 计算： 18. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 19. 已知，如图，在中，点E，F是对角线上的两点，且，分别连接．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度后到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值： （2）求的值． 四、解答题二（共3小题，每题8分，共24分） 21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 22. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形． （1）判断四边形的形状并证明． （2）若A、B的距离为3，A、C的距离为2，求四边形的面积． 23. 如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 五、解答题三（共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上．点C的坐标为，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒． （1）求菱形ABCD的面积； （2）当t＝3时，问线段AC上是否存在点E，使得最小，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P至AC的距离为1时，直接写出点P的运动时间t的值． 25. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中综合素质训练 八年级数学试卷 命题学校：惠州市综合高级中学 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，二次根式的加法，以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确； B．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确． 故选：A． 2. 已知的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足下列关系，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理与三角形内角和定理是解题的关键． 由勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】A.， ，符合勾股定理的逆定理，故此选项能判断是直角三角形，不符合题意； B.，， ，是直角三角形，故此选项能判断是直角三角形，不符合题意； C.， 设，，， ，， ，不符合勾股定理逆定理，故此选项不能判断是直角三角形，符合题意； D.， ， ，， ，符合勾股定理的逆定理，故此选项能判断是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：， 根据同类二次根式的定义可知能与合并， 故选：D． 4. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线分别交边于点， ，， ，， ，， ， 故选：B． 5. 如图，数轴上点A表示的数为，化简的值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，掌握是解题关键．由数轴可得，，再根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 故选：C． 6. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（    ） A. B. 2 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为3，4，5的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别为3，4，5，则的面积为： ， 故选：C 7. 如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：C． 9. 如图，菱形中，，，，，垂足分别为，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，作于，分别计算出和的长，再由计算即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， ，， ，， ，，，， ，， 是等边三角形， ， 如图，作于， 则， ， ， 故选：B． 10. 如图，正方形中，点E、F分别在上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③垂直平分，④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，BE＝y，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∵△AEF等边三角形， ∴，． ∴． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴， ∴BE＝DF， ∠BAE＝∠DAF，故①正确， ∴， 即 故②正确， ∵BC＝CD， ∴，即CE＝CF， ∵AE＝AF， ∴AC垂直平分EF，故③正确． 设EC＝x，在等腰直角三角形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 先证明点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴, ∴点是的中点， ， D，E分别是，边上的中点， ， ， 故答案为：3． 13. 若是整数，则正整数的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】因为是整数，且，则3n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即2n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为3． 故答案为：3． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 14. 如图，将长、宽的矩形纸片折叠，使点与重合，则折痕的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，与交于点，则垂直平分，由勾股定理求出长，得出长，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，由勾股定理求出的长，证明，得出，即可得出的长． 【详解】解：连接，与交于点， ∵点在上，在上，、点重合，是折痕， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 15. 如图是“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据勾股定理求出等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出的值，即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是， ∴一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， ， ∴ ， ， 故答案为：． 16. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解题的关键是得到．连接，，根据正方形性质可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案； 【详解】解：连接，， ∵正方形的边上为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为：， 故答案为：． 三、解答题一（共4小题，每题6分，共24分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键，先化简二次根式，计算乘法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 19. 已知，如图，在中，点E，F是对角线上的两点，且，分别连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵，点E，F是对角线上的两点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据“”证明，得，，则，所以四边形是平行四边形． 【详解】略 20. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度后到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的距离公式、绝对值的性质、利用完全平方公式进行计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度后到达点，点表示，利用数轴上两点的距离列式计算即可； （2）将代入式子，根据绝对值的意义和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度后到达点，点表示， ； 【小问2详解】 解：当时， ． 四、解答题二（共3小题，每题8分，共24分） 21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； 【小问2详解】 解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 22. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形． （1）判断四边形的形状并证明． （2）若A、B的距离为3，A、C的距离为2，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的计算，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． （1）作于点E，于点F，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证，推出，可得四边形是菱形； （2）连接，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，证明如下： 作于点E，于点F， 由题意得：，，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得四边形是菱形， 且互相平分， 即，， ，， ， 在中，， ， ， 23. 如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 五、解答题三（共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上．点C的坐标为，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒． （1）求菱形ABCD的面积； （2）当t＝3时，问线段AC上是否存在点E，使得最小，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P至AC的距离为1时，直接写出点P的运动时间t的值． 【答案】（1）菱形的面积为； （2）存在，的最小值为； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的面积底高求解即可； （2）如图所示：在菱形中，点关于的对称点为，，连接交于点，连接，则．求出，从而得到的最小值； （3）分为当点在上，点在上、点在上、点在上四种情况求解即可．例如当点在上时，可过点作，由含直角三角形的性质求得的长，从而求得的值． 【小问1详解】 解：，，， ，， 四边形为菱形， ． 菱形的面积； 【小问2详解】 解：存在，如图1所示： 在菱形中，点关于的对称点为，， 连接交于点，连接， ． 四边形为菱形， ． ， ， ， 在中， ， ， ． 的最小值为； 【小问3详解】 解：如图2所示：①当点在上时，过点作，垂足为． ，，， ，， 由菱形的性质可知：， ，，， ． ． ②当点在上时，如图3所示： 由菱形的性质可知：， ，，， ． ． ． ③如图4所示：当点在上时． 由菱形的性质可知：， ，，， ． ． ． ④如图5所示；点在上时． 由菱形的性质可知：， ，，， ． ． ． 综上所述，当或或或时，点到的距离是1． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、含直角三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 25. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点作于， 由折叠可知：，， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形的周长； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $