专题19.2 立方根（8大题型+能力训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题19.2 立方根 知识点一、 立方根、开立方的定义 1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. 3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识点二、立方根的性质 1、立方根的性质： （1）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. （2）互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即， （3）. 2、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 题型01：立方根概念理解 【例1】（24-25杨浦区七年级下期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 【例2】（24-25青浦区七年级下期中）列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及非负性，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：①的平方根是，故①错误； ②与相反数，故②正确； ③，则且，解得，，即，故③正确； 0.1的算术平方根是，故④错误； 综上分析可知，正确的是②③，有个， 故选：B． 【例3】（2024春•长宁区期中）下列说法中，正确的是（　　） A． B．﹣32的算术平方根是3 C．0没有立方根 D．是7的一个平方根 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答． 【解答】解：A、，说法错误，不符合题意； B、﹣32＝﹣9，﹣9没有算术平方根，说法错误，不符合题意； C、0的立方根是0，说法错误，不符合题意； D、7的一个平方根是，是7的一个平方根，说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义是解答本题的关键． 【例4】（2025·上海闵行·模拟预测）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 题型02：求一个数或代数式的立方根 【例5】（2023-24建平中学七年级期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 【例6】（24-25上海七年级阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵ ∴的平方根是． 故答案为． 【例7】（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【例8】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，求一个数的立方根，掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性和算术平方根的非负性可求出和的值，代入中，求出结果，最后求其立方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 【例9】（24-25闵行区七年级下期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法，立方根．通过展开左边多项式并比较系数，确定a和b的值，再计算的立方根． 【详解】解：， 又， ，， ， ． 故选B． 【例10】（（24-25奉贤区七年级下期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 题型03：开立方的运算 【例11】（2023-24格致中学七年级期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】算术平方根、平方根、立方根的意义，逐项分析即可． 【解答】解：A．∵负数没有算术平方根， ∴不正确； B．，故原式不正确； C．，正确； D．43＝64，∴不正确 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的意义，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的意义是关键． 【例12】（2023-24张江中学七年级期中）下列式子正确的是（　　） A． B．7 C．±5 D．3 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义和性质回答即可． 【解答】解：A、，故A正确； B、±±7，故B错误； C、5，故C错误； D、3，故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 【例13】（24-25闵行区七年级下期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 【例14】（2023-24进华中学七年级期中）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵a2＝16，2， ∴a＝±4，b＝﹣8． ∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4； 当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键． 【例15】（2023春•卫滨区校级期末）若a＜0，则化简的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2 【分析】结合已知条件，根据算术平方根及立方根的定义化简即可． 【解答】解：∵a＜0， ∴原式＝﹣a﹣（a﹣2） ＝﹣a﹣a+2 ＝2﹣2a， 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【例16】（2023-24上海课时练习）求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 【分析】（1）原式利用立方根定义计算即可求出值； （2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式6； （2）原式0.3； （3）原式； （4）原式＝4﹣9＝﹣5． 故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）；（4）﹣5． 【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【例17】（24-25上海课时作业）求下列各式的值： (1) ；(2)；(3)． (2) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 【例18】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 【分析】根据立方根的定义计算． 【解答】解：（1）原式＝3； （2）原式＝0.2； （3）原式＝﹣9； （4）原式． 【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 题型04：已知立方根求式子的值 【例19】（24-25宝山区七年级下期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 【例20】（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例21】已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. （2）解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， 解得． ∵的立方根为， ， 解得， ， 2的平方根为， ∴的平方根为． 题型04：由立方根的概念解方程 【例22】（24-25徐汇区七年级下期中）解方程：． 【分析】根据立方根的定义解决此题． 【解答】解：∵（x﹣1）3＝4， ∴（x﹣1）3＝8． ∴x﹣1＝2． ∴x＝3． 【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． 【例23】（2023春•汉滨区期中）求式子中x的值：（x﹣1）3＝﹣9． 【分析】根据立方根的定义进行解答便可． 【解答】解：（x﹣1）3＝﹣27， x﹣1＝﹣3， x＝﹣2． 【点评】本题主要考查了立方根的定义，运用立方根的定义求值是解题的关键． 【例24】（24-25金山区七年级下期中）解方程：（5x﹣2）3+125＝0． 【分析】利用立方根的定义得到5x﹣2＝﹣5，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：∵（5x﹣2）3+125＝0， ∴（5x﹣2）3＝﹣125， ∴5x﹣2＝﹣5， ∴5x＝﹣3， ∴x． 【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 题型05：立方根的估算 【例25】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ,有意义，则x的取值范围是 . 【答案】 一切实数 【分析】根据平方根和立方根的意义进行分析解答即可. 【详解】（1）∵代数式有意义， ∴，解得：； （2）∵代数式有意义， ∴为任意实数， ∴可为一切实数. 故答案为（1）；（2）一切实数. 【点睛】熟知“（1）只有非负数才有平方根；（2）任意实数都有立方根”是解答本题的关键. 【例26】（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴； 故选C． 【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键． 【例27】（24-25八年级上·上海闵行·期末）阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 【答案】（1），3；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的混合运算，估算无理数的大小，理解题意并熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）利用夹逼法估算各数的大小即可； （2）利用夹逼法估算的大小后求得x，y的值，将其代入中计算即可． （3）设，其中，利用完全平方公式展开并确定m的取值范围后解得m的值，进而得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的小数部分是， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴； （3）， ， 设，其中， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则， 故答案为：． 题型06：立方根的规律探究 【例28】（24-25普陀区七年级下期中）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【解析】解：， ∴， 故选B． 【例29】（24-25松江区七年级下期中）已知，且，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例30】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例31】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 题型07：立方根的性质的综合应用 【例32】（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意； B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意； C：的立方根是，故此选项不合题意； D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意． 故选：B ． 【例33】立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【解析】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 【例34】（2024春•涪城区校级月考）下列判断错误的是（　　） A．若，则a＝b B．若，则a＝b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 【分析】根据平方根及立方根的定义，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：A、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； B、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； C、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； D、若，则a不一定等于b，例如：，但﹣3≠3，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根及平方根的知识，注意掌握一个正数的平方根有两个，一个数的立方根只有一个． 【例35】（24-25·江西南昌·期中）若，则的值为 ． 【答案】2或或 【分析】本题考查立方根的性质，解题的关键是根据立方根等于它本身的数的特点来建立方程求解． 利用立方根等于它本身的数有这一性质，分别令等于，然后求解的值． 【详解】因为立方根等于它本身的数只有，已知， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当时，解得； 情况二：当时，解得； 情况三：当时，解得； 综上，的值为2或或． 故答案为：2或或． 【例36】（24-25·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合立方根的性质得，解出，再代入，得，再求出的平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 【例37】（24-25·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：由题可得． 解得． ． 的平方根是， 的平方根是． 【例38】已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】，，或者，，或者， 【分析】将等式变型为，再两边同时立方，得到，再采用因式分解法求出x的值，再根据相反数的定义求出y的值，问题随之解得． 【解析】， ， ， ， ， ，（如有超纲嫌疑，参考第1题解法） ∴，或者，或者， ∴，或者，或者， ∵与， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 即，，或者，，或者，． 【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出，或者，或者，是解答本题的关键． 【例39】（24-25闵行区七年级下期中）已知，且与互为相反数， （1）求y﹣x的平方根； （2）若3z+2y的算术平方根为A，5x﹣y的立方根为B，求A+B． 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y值，再求y﹣x的平方根即可； （2）根据互为相反数的性质求出z值，再根据平方根立方根性质求出A、B，最后代入计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴x＝﹣5，y＝2， ∴y﹣x＝2﹣（﹣5）＝7， ∴y﹣x的平方根为±． （2）∵与互为相反数， ∴1﹣2z+3z﹣5＝0，解得z＝4， ∴3z+2y＝3×4+2×2＝16， ∴3z+2y的算术平方根为A＝4， ∵5x﹣y＝5×（﹣5）﹣2＝﹣27， ∴5x﹣y的立方根为B＝﹣3， ∴A+B＝4+（﹣3）＝1． 【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是关键． 题型08：立方根的实际应用 【例40】（2024春•兴宁区期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【分析】先求出每个小正方体的体积，然后根据立方根的定义即可求出每个小正方体的棱长． 【解答】解：根据题意得每个小正方体的体积为27÷27＝1， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【例41】（24-25黄浦区七年级下期中）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【解析】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 【例42】（2023秋•阳泉月考）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为72cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．cm B．2cm C．cm D． 【分析】根据正方体体积的计算方法以及立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵二级魔方是由8个小正方体组成的，二阶魔方的体积约为72cm3， ∴每一个小正方体的体积为9cm3， ∴每个小正方体的棱长为cm， 故选：C． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提． 【例43】（2023春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？ 【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可； （2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可． 【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3， ∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x， ∴2x•2x•4x＝16000， ∴16x3＝16000， ∴x3＝1000， 解得：x＝10， ∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm； （2）设该小球的半径为rcm，则： πr316 000， ∴r316 000， ∴r≈4.05， 答：该小球的半径为4.05cm． 【点评】此题主要考查了立方根的计算以及立方体体积公式，熟练记忆球体以及立方体体积公式是解题关键． 【例44】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【例45】（24-25浦东新区七年级下期中）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)在图2的方格中画一个面积为10的正方形． 【答案】(1)3 (2)5， (3)见解析 【分析】本题考查了立方根的计算，勾股定理，网格作图． (1)设魔方的棱长为x，根据题意，得，解答即可． (2)根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可． (3)设正方形的边长为m，根据题意，得，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可． 【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y， 则， 解得（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． （3）设正方形的边长为m，根据题意，得， 解得（舍去）， 画图如下： 题型09：立方根、平方根的综合 【例46】（24-25·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根． 【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得： ，解得：， 又的平方根是，根据平方根定义可得： ，将代入上式： ，化简得：， 解得：， 将和代入表达式： ， 的算术平方根为． 【例47】（24-25·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解一元一次方程，解题关键是正确求出相关字母的值． （1）根据一个正数有两个平方，它们互相反数，列出关于的方程求解求出，再根据立方根的意义求得，然后求出的范围，从而可求得c的值； （2）先求出的值，再求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵，c是的整数部分， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【例48】（23-24·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【例49】（24-25八年级上·上海金山·期中）若是的算术平方根，为的立方根，试求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出、，再代入、求出结果，进而得到的平方根． 【详解】解：由题意得： ，， 的平方根是． 题型10：综合提升 【例50】（24-25·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 一、选择题 1．（24-25七年级下上海实验期末）已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意得，实数的立方根是，即，故， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25西南位育学校七年级期中）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 4.（24-25宝山区七年级下期中）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D． ，故此选项符合题意． 故选：D． 5.（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，则a的取值范围是一切实数， 故选：D． 6.（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是零指数幂的运算、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算、求一个数的立方根，解题关键是熟练掌握相关运算． 根据零指数幂的运算、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算、求一个数的立方根对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，，计算正确，符合题意，选项正确； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 2、 填空题 7.（24-25嘉定区七年级下期中）立方根和平方根都等于本身的数是 ． 【答案】0 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，，平方根等于它本身的数是0， 所以立方根和平方根都等于本身的数是0．故答案为：0． 8.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）的立方根的平方根是 ． 【答案】 【详解】解：∵，8的立方根是2∴的立方根是2， ∴的立方根的平方根是故答案为：． 9．（24-25黄浦区七年级下期中）方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 方程的解是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若4的算术平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确根据算术平方根和立方根的定义求出、的值是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义求出、的值即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是， ，， ， 故答案为：7． 12．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若x,y是一个正数的两个不同的平方根，且4x-5y的立方根是3，则这个正数是 【答案】9． 【分析】直接利用平方根和立方根的定义得出 ，进而求出x、y的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得： ， 则这个正数是：32=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查平方根、立方根，正确把握平方根、立方根的定义是解题关键． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中） ．（比较大小） 【答案】= 【分析】根据立方根的性质比较即可． 【详解】解：=，=， ∴=， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根的性质． 14．（24-25长宁区七年级下期中）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为， 则每个小正方体的棱长为，故选：A． 15．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据非负性列式求出的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 【详解】解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 16．（2024·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 与 是相反数，∴== ∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故选A． 17．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 18.（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根、立方根，解本题的关键在理解新定义运算法则． 三、解答题 19．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）计算： （1）． (2) 【答案】（1） (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 20.求下列各式中x的值： (1)；(2)．(3)． (1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）， ， ， ； （3）解：， 整理得， ∴， ∴． 21.（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值；(2)求的立方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：是的算术平方根，，解得：， 的立方根是，∴，即解得：； （2），，，的立方根是． 22．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数m的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可得出、的值，根据立方根的定义即可得出的值，估算出，即可得出的值； （2）先求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵一个数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴， ∴的平方为． 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 24．（24-25七年级下·江西上饶·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （2）根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 25．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题19.2 立方根 知识点一、 立方根、开立方的定义 1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. 3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识点二、立方根的性质 1、立方根的性质： （1）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. （2）互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即， （3）. 2、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 题型01：立方根概念理解 【例1】（24-25杨浦区七年级下期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【例2】（24-25青浦区七年级下期中）列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2024春•长宁区期中）下列说法中，正确的是（　　） A． B．﹣32的算术平方根是3 C．0没有立方根 D．是7的一个平方根 【例4】（2025·上海闵行·模拟预测）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 题型02：求一个数或代数式的立方根 【例5】（2023-24建平中学七年级期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【例6】（24-25上海七年级阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ． 【例7】（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例8】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若，则的立方根为 ． 【例9】（24-25闵行区七年级下期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【例10】（（24-25奉贤区七年级下期中）若，则的立方根是 ． 题型03：开立方的运算 【例11】（2023-24格致中学七年级期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例12】（2023-24张江中学七年级期中）下列式子正确的是（　　） A． B．7 C．±5 D．3 【例13】（24-25闵行区七年级下期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例14】（2023-24进华中学七年级期中）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【例15】（2023春•卫滨区校级期末）若a＜0，则化简的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2 【例16】（2023-24上海课时练习）求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 【例17】（24-25上海课时作业）求下列各式的值： (1) ；(2)；(3)． 【例18】求下列各式的值： （1）； （2）；（3）（）3； （4）． 题型04：已知立方根求式子的值 【例19】（24-25宝山区七年级下期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【例20】（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【例21】已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 题型05：由立方根的概念解方程 【例22】（24-25徐汇区七年级下期中）解方程：． 【例23】（2023春•汉滨区期中）求式子中x的值：（x﹣1）3＝﹣9． 【例24】（24-25金山区七年级下期中）解方程：（5x﹣2）3+125＝0． 题型06：立方根的估算 【例25】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ,有意义，则x的取值范围是 . 【例26】（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例27】（24-25八年级上·上海闵行·期末）阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 题型07：立方根的规律探究 【例28】（24-25普陀区七年级下期中）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【例29】（24-25松江区七年级下期中）已知，且，则 ． 【例30】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则 ． 【例31】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 题型08：立方根的性质的综合应用 【例32】（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【例33】立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【例34】（2024春•涪城区校级月考）下列判断错误的是（　　） A．若，则a＝b B．若，则a＝b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 【例35】（24-25·江西南昌·期中）若，则的值为 ． 【例36】（24-25·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ． 【例37】（24-25·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【例38】已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【例39】（24-25闵行区七年级下期中）已知，且与互为相反数， （1）求y﹣x的平方根； （2）若3z+2y的算术平方根为A，5x﹣y的立方根为B，求A+B． 题型09：立方根的实际应用 【例40】（2024春•兴宁区期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【例41】（24-25黄浦区七年级下期中）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【例42】（2023秋•阳泉月考）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为72cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．cm B．2cm C．cm D． 【例43】（2023春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？ 【例44】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【例45】（24-25浦东新区七年级下期中）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)在图2的方格中画一个面积为10的正方形． 题型10：立方根、平方根的综合 【例46】（24-25·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【例47】（24-25·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【例48】（23-24·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【例49】（24-25八年级上·上海金山·期中）若是的算术平方根，为的立方根，试求的平方根． 题型11：综合提升 【例50】（24-25·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 一、选择题 1．（24-25七年级下上海实验期末）已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 2．（24-25西南位育学校七年级期中）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4.（24-25宝山区七年级下期中）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 6.（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 7.（24-25嘉定区七年级下期中）立方根和平方根都等于本身的数是 ． 8.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）的立方根的平方根是 ． 9．（24-25黄浦区七年级下期中）方程的解是 ． 10．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若4的算术平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若x,y是一个正数的两个不同的平方根，且4x-5y的立方根是3，则这个正数是 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中） ．（比较大小） 14．（24-25长宁区七年级下期中）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 16．（2024·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 18.（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 三、解答题 19．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）计算： （1）． (2) 20.求下列各式中x的值： (1)；(2)．(3)． 21.（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值；(2)求的立方根． 22．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数m的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方． 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 24．（24-25七年级下·江西上饶·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 25．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$