专题02 立方根重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 计算立方根的取值范围 题型六 含立方根的混合计算 题型七 立方根的实际应用 题型八 平方根与立方根的综合应用 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）若x3＝﹣，则x＝ ． 知识点二、立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 2．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）（1）立方根等于本身的数为 ； （2）已知，则 ． 知识点三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）计算：（   ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中错误的是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）若是225的算术平方根，则的立方根是 ． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知是算术平方根，是的立方根，求的值． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若，则的立方根为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 4．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则的值为 3．（2025·上海虹口·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：问题：59319是一个整数的立方，求这个整数？ 解答：因为：10＜＜100，所以：是两位整数； 因为：整数59319的末位上的数字是9，而整数0～9的立方中，只有93＝729的末位数字是9， 所以：的末位数字是9；又因为划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， 所以的十位数字是3；因此＝39． 应用：已知2（2x﹣2）3+221184＝0，其中x是整数．则x的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）（1）一个长方体的体积为.它的长、宽、高之比为.求这个长方体的表面积； （2）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则 ． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 3．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【经典例题五 估计立方根的取值范围】 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）要使成立，那么的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ,有意义，则x的取值范围是 . 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 【经典例题六 含立方根的混合计算】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知，那么的值为（   ） A．0.06 B．0.07 C．0.6 D．0.7 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）已知，，则 ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【经典例题七 立方根的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·上海崇明·期中）一个棱长为的正方体的体积为，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 3．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求： (1)这个长方体的底面边长； (2)这个长方体的表面积． 【经典例题八 平方根与立方根的综合应用】 【例8】 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 2．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为 ． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）若是的算术平方根，为的立方根，试求的平方根． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知方程的解为，，、互为负倒数，、的绝对值相等且，为最大的负整数，求：的值． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知，，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 3．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）有两个正整数，一个大于，一个大于，则两数之和的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图是嘉琪同学做的练习题，他的得分是（    ） 姓名：嘉琪  得分： ？ 填空（每道题10分） （1）1的平方根是 1 （2）写出一个无理数： （3）若27是一个数的立方根，则这个数是 3 （4）的相反数是 A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 5．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，这个正方体的体积是，且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海嘉定·期中） ．（比较大小） 7．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若4的算术平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若x,y是一个正数的两个不同的平方根，且4x-5y的立方根是3，则这个正数是 9．（24-25八年级上·上海松江·期中）校本课上同学们用彩泥制作作品现有一块长、宽、高分别为2cm，3cm，4cm的长方体彩泥材料，小文要取材料的制作一个立方体模型，则小文制作的模型棱长为 cm． 10．（24-25八年级上·上海长宁·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 11．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）利用平方根的定义或立方根的定义解方程． (1) (2) 12．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根．求（n﹣m）2008． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数m的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方． 14．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根．                               15．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 计算立方根的取值范围 题型六 含立方根的混合计算 题型七 立方根的实际应用 题型八 平方根与立方根的综合应用 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）若x3＝﹣，则x＝ ． 【答案】 【分析】直接利用立方根的定义计算得出答案． 【详解】解：∵x3＝﹣， ∴x＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念正确计算是解题关键． 知识点二、立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意； B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意； C：的立方根是，故此选项不合题意； D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意． 故选：B ． 2．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）（1）立方根等于本身的数为 ； （2）已知，则 ． 【答案】 0，1和 【分析】本题考查的是立方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1）立方根等于本身的数为0，1和； 故答案为：0，1和； （2）∵， ∴； 故答案为：． 知识点三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）计算：（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据求一个数的立方根的方法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中错误的是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据实数与数轴，无理数，绝对值，平方根，立方根，相反数等知识逐项判断即可． 【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，故①不正确； ②无理数是无限不循环小数，故②错误； ③负数也有立方根，故③错误； ④的平方根是，用式子表示是，故④错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，故⑤正确； 综上分析可知，错误的有：①②③④共4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数、无理数、绝对值、平方根及立方根，熟练掌握它们的定义等知识，是解答此题的关键． 2．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）若是225的算术平方根，则的立方根是 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根求出225的算术平方根15，利用算术平方根建立方程，再根据立方根的定义计算． 【详解】解：∵225的算术平方根是15， ∴， 解得， 的立方根是． 故答案为3． 【点睛】本题考查算术平方根，一元一次方程，立方根，掌握算术平方根，一元一次方程，立方根定义是解题关键． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知是算术平方根，是的立方根，求的值． 【答案】5 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到二元一次方程组，求出、的值，进而得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：是算术平方根，是的立方根， ，解得：， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的含义，二元一次方程组的解法，正确求出、的值是解题关键． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【答案】C 【分析】此题考查了立方根．根据已知等式，利用立方根的定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，求一个数的立方根，掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性和算术平方根的非负性可求出和的值，代入中，求出结果，最后求其立方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 4．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用立方根解方程； （1）利用立方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ， ， ． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：问题：59319是一个整数的立方，求这个整数？ 解答：因为：10＜＜100，所以：是两位整数； 因为：整数59319的末位上的数字是9，而整数0～9的立方中，只有93＝729的末位数字是9， 所以：的末位数字是9；又因为划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， 所以的十位数字是3；因此＝39． 应用：已知2（2x﹣2）3+221184＝0，其中x是整数．则x的值为 ． 【答案】-23 【分析】先确定的值，再依据上述例题的解题过程确定的值，即可求出x. 【详解】解：2（2x﹣2）3+221184＝0， （2x﹣2）3＝﹣110592， 因为：10＜＜100，所以：两位整数； 因为：整数110592的末位上的数字是2，而整数0～9的立方中，只有83＝512， 的末位数字是8，所以：的末位数字是8； 又因为划去110592的后面三位592得到110，而4＜＜5， 所以的十位数字是4； 因此＝48 ∴2x﹣2＝﹣48， 解得x＝﹣23 故答案为﹣23 【点睛】本题是求立方根的新定义模仿解题题型，正确理解例题的解题思路是关键. 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）（1）一个长方体的体积为.它的长、宽、高之比为.求这个长方体的表面积； （2）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设这个长方体的长、宽、高分别为，， ，根据这个长方体的体积为列方程得，求得，则可得这个长方体的长、宽、高分别为，， ，进而可求出这个长方体的表面积； （2）根据平方根的性质可得，求得．根据立方根的定义可得，求得，再代入中，求得，再根据平方根的定义即可得解． 本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 【详解】(1)解：设这个长方体的长、宽、高分别为，， ， 则， ， ， ， ∴，， ∴这个长方体的长、宽、高分别为，， ， ∴这个长方体的表面积为． （2）解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， 解得． ∵的立方根为， ， 解得， ， 2的平方根为， ∴的平方根为． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 3．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 【经典例题五 估计立方根的取值范围】 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，则a的取值范围是一切实数， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴； 故选C． 【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）要使成立，那么的取值范围是 ． 【答案】全体实数 【分析】由于任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围． 【详解】解：任意一个实数都有立方根， 的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． 【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是掌握立方根的被开方数可以是任意实数． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ,有意义，则x的取值范围是 . 【答案】 一切实数 【分析】根据平方根和立方根的意义进行分析解答即可. 【详解】（1）∵代数式有意义， ∴，解得：； （2）∵代数式有意义， ∴为任意实数， ∴可为一切实数. 故答案为（1）；（2）一切实数. 【点睛】熟知“（1）只有非负数才有平方根；（2）任意实数都有立方根”是解答本题的关键. 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 【答案】（1），3；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的混合运算，估算无理数的大小，理解题意并熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）利用夹逼法估算各数的大小即可； （2）利用夹逼法估算的大小后求得x，y的值，将其代入中计算即可． （3）设，其中，利用完全平方公式展开并确定m的取值范围后解得m的值，进而得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的小数部分是， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴； （3）， ， 设，其中， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则， 故答案为：． 【经典例题六 含立方根的混合计算】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是零指数幂的运算、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算、求一个数的立方根，解题关键是熟练掌握相关运算． 根据零指数幂的运算、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算、求一个数的立方根对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，，计算正确，符合题意，选项正确； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知，那么的值为（   ） A．0.06 B．0.07 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】本题考查立方根，根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】0或2或6 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， ∴或或， 故答案为：0或2或6． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质，根据立方根的性质，被开方数的小数点每向右移动三位，立方根小数点就向右移动一位，由此计算即可得解，熟练掌握立方根的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题七 立方根的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·上海崇明·期中）一个棱长为的正方体的体积为，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键． 根据正方体的体积等于棱长的立方，即求216的立方根即可． 【详解】正方体的体积为 它的棱长为． 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 3．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求： (1)这个长方体的底面边长； (2)这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了长方体的体积，表面积，立方根的应用，熟练掌握长方体的体积和表面积的计算公式是解决问题的关键． （1）设这个长方体的底面边长为，则高为，然后根据正方体的体积公式列出方程，解此方程求出x即可； （2）根据长方体表面积的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这个长方体的底面边长为，则高为， 依题意得：， ∴， ∴． ∴这个长方体的底面边长为； （2）解：∵， ∴， ∴这个长方体的长为，宽为，高为， ∴这个长方体的表面积为：． 【经典例题八 平方根与立方根的综合应用】 【例8】 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 2．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】±4 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4， ∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵c是的整数部分， ∴c＝3， ∴ ∴的平方根是±4． 故答案为：±4． 【点睛】本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）若是的算术平方根，为的立方根，试求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出、，再代入、求出结果，进而得到的平方根． 【详解】解：由题意得： ，， 的平方根是． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）利用立方根的定义求解即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ， 或 解得：或； （3）解： ， 解得：； （4）解： ， ， 解得：． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴， 解得：． （2）解：当时，，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的定义等知识点，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知方程的解为，，、互为负倒数，、的绝对值相等且，为最大的负整数，求：的值． 【答案】 【分析】首先根据方程解的定义，得出，解出得到，再把代入，再结合立方根的定义，得出，再根据倒数的定义，得出，再根据绝对值和相反数的意义，得出，再根据最大的负整数为，得出，然后把所得的值代入所求的代数式中，计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解为， ∴把代入， 可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵、互为负倒数， ∴， ∵，的绝对值相等且， ∴、互为相反数， ∴， ∵为最大的负整数， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了方程解的定义、立方根、倒数、绝对值和相反数、代数式求值，解本题的关键在熟练掌握相关的定义和运算法则． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题中所给规律可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 【答案】正方体的棱长约为 【分析】本题考查立方根的实际应用、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，，即， ∵， ∴； 答：正方体的棱长约为． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用，熟练掌握开平方和开立方是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方，可得答案； （2）根据，其中是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴（负值舍）， 答：这场雷雨大约能持续； （2）解：， 把代入， 得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据立方根小数点的移动规律解答即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数， 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）有两个正整数，一个大于，一个大于，则两数之和的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意分别估算出和的最小值，然后相加即可得出两数之和的最小值． 【详解】解：∵9＜11＜16， ∴3＜＜4， ∴第一个数的最小值为4， ∵8＜9＜27， ∴2＜＜3， ∴第二个数的最小值为3， ∴两数之和的最小值是3＋4＝7． 故选：B． 【点睛】本题考查实数的估算，熟练掌握平方根和立方根的估算方法是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图是嘉琪同学做的练习题，他的得分是（    ） 姓名：嘉琪  得分： ？ 填空（每道题10分） （1）1的平方根是 1 （2）写出一个无理数： （3）若27是一个数的立方根，则这个数是 3 （4）的相反数是 A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【答案】B 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的求法，结合无理数和相反数的意义分别判断即可． 【详解】解：（1）1的平方根是，故错误； （2）写出一个无理数：，故正确； （3）若27是一个数的立方根，则这个数是，故错误；    （4）的相反数是，故正确； ∴正确的有2个，得分为20分， 故选B． 【点睛】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，无理数和相反数，掌握相应的概念是解题的关键，同时注意区别． 5．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，这个正方体的体积是，且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【详解】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海嘉定·期中） ．（比较大小） 【答案】= 【分析】根据立方根的性质比较即可． 【详解】解：=，=， ∴=， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根的性质． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若4的算术平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确根据算术平方根和立方根的定义求出、的值是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义求出、的值即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是， ，， ， 故答案为：7． 8．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若x,y是一个正数的两个不同的平方根，且4x-5y的立方根是3，则这个正数是 【答案】9． 【分析】直接利用平方根和立方根的定义得出 ，进而求出x、y的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得： ， 则这个正数是：32=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查平方根、立方根，正确把握平方根、立方根的定义是解题关键． 9．（24-25八年级上·上海松江·期中）校本课上同学们用彩泥制作作品现有一块长、宽、高分别为2cm，3cm，4cm的长方体彩泥材料，小文要取材料的制作一个立方体模型，则小文制作的模型棱长为 cm． 【答案】2． 【分析】根据长方体的体积公式求出长方体彩泥材料的体积，进而得出立方体模型的体积，再根据正方体的体积公式计算即可． 【详解】长方体彩泥材料的体积为：2×3×4=24(cm3)， 立方体模型的体积为：(cm3)， 小文制作的模型棱长为：(cm)． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了长方体与立方体的体积，熟知公式是解答本题的关键． 10．（24-25八年级上·上海长宁·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 11．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）利用平方根的定义或立方根的定义解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根的意义解方程，掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）等式两边开平方即可求解； （2）等式两边开立方即可． 【详解】（1）解：， 根据平方根的定义，得：． （2）解：， 两边开立方，得：， 12．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根．求（n﹣m）2008． 【答案】 【分析】由M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，建立方程组：，解方程组可得答案． 【详解】解： M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根． 即： 解得：， 【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数m的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可得出、的值，根据立方根的定义即可得出的值，估算出，即可得出的值； （2）先求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵一个数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴， ∴的平方为． 14．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 15．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 学科网（北京）股份有限公司 $$