第6章 一元一次不等式（知识清单）数学新教材青岛版八年级上册

第6章 一元一次不等式 1.用“＞”、“≥”、“＜”或“≤”连接的式子，叫做__________，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。有些不等式中不含未知数，如“4＞3”. 2.不等式的两边都是_________，只含有_______________，并且_______________________的不等式叫作一元一次不等式。 3.与方程的解类似，能使______________________________，叫作不等式的解。 4.一般地，一个含有未知数的不等式的____________组成这个不等式的解集。 5.求不等式的解集的过程叫做______________。 6.不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些_____________；不等式的解集是______________，不等式的每一个解都在它的_________________。 7.不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，_______________________。 即：若a＞b，那么____________________； 8.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，_____________________________。 即：若a＞b，且m＞0，那么__________________________a； 9.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，____________________________。 即：若a＞b，且m＜0，那么________________________； 10.解一元一次不等式，就是根据不等式的_______________，将不等式逐步化为______________或__________________的形式。 11.解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②___________；③_________；④_________________；⑤化系数为1。 12.解一元一次不等式可以移项，移项后应______________。 13.一般地，由几个含有同一未知数的______________________________________________，叫作一元一次不等式组。 14.一般地，一元一次不等式组中各个不等式的____________________，叫作这个一元一次不等式组的解集。 15._____________________________________叫解不等式组。 16.：解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中___________________________，然后在同一条数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴___________________________，最后写出不等式组的解集。 17.解集的规律：同大取大；_____________；大小小大_________________；大大小小_______________。 易错点1 不等式的性质理解不清 错误：混淆概念，例如错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 注意：不等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 例题1 已知，则 ．（用适当的不等号连接） 易错点2 不等式组的解集求解错误 错误：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了” 的口诀，导致解集求解错误。 注意：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的 解集。 例题2 解不等式组：． 易错点3 解集的实际意义理解不清 错误：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 注意：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等， 并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 例题3 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？ 1．若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．应用不等式的性质，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若，比较与大小，并说明理由． 4．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 5．解不等式组：． 6．利用数轴求不等式组：的解集． 7．美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 8．学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的2倍，购买奖品的花费不得高于680元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 9．据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 10．今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一元一次不等式 1.用“＞”、“≥”、“＜”或“≤”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。有些不等式中不含未知数，如“4＞3”. 2.不等式的两边都是等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 3.与方程的解类似，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 4.一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 5.求不等式的解集的过程叫做解不等式。 6.不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些具体的值；不等式的解集是一个范围，不等式的每一个解都在它的解集的范围内。 7.不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 即：若a＞b，那么a±m＞b±m； 8.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； 9.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 10.解一元一次不等式，就是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x＜a(x≤a)或x＞a(x≥a)的形式。 11.解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1。 12.解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 13.一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组。 14.一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。 15.求不等式组解集的过程叫解不等式组。 16.：解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在同一条数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的公共部分，最后写出不等式组的解集。 17.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 易错点1 不等式的性质理解不清 错误：混淆概念，例如错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 注意：不等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 例题1 已知，则 ．（用适当的不等号连接） 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 易错点2 不等式组的解集求解错误 错误：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了” 的口诀，导致解集求解错误。 注意：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的 解集。 例题2 解不等式组：． 【答案】 【解析】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， 不等式组的解集为． 易错点3 解集的实际意义理解不清 错误：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 注意：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等， 并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 例题3 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价为元，足球的单价为元 (2)学校一共有三种购买方案：方案一：采购篮球个，采购足球个；方案二：采购篮球个，采购足球个；方案三：采购篮球个，采购足球个 【解析】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为元，足球的单价为元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， ∵要求篮球不少于个，且总费用不超过元， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的值可为，，， ∴共有三种购买方案， 方案一：采购篮球个，采购足球个； 方案二：采购篮球个，采购足球个； 方案三：采购篮球个，采购足球个． 1．若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴两边同时除以得，则A不符合题意； ∵， ∴两边同时加上得，则B不符合题意； ∵ ∴两边同时乘以得，则C符合题意； ∵ ∴两边同时乘以，得 再同时减去得，则D不符合题意； 故选：C． 2．应用不等式的性质，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】解：A．若，则，此选项符合题意； B．若，则，此选项不符合题意； C．若，当，则，此选项不合题意； D．若，则，此选项不合题意． 故选：A． 3．若，比较与大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】解：， （不等式性质3）， （不等式性质2）． 4．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 5．解不等式组：． 【答案】 【解析】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 6．利用数轴求不等式组：的解集． 【答案】 【解析】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为． 7．美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 【答案】(1)糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元 (2)糯米糍最多为箱 【解析】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元； （2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱， 由题意可得： 解得：， 为正整数， 糯米糍最多为箱． 8．学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的2倍，购买奖品的花费不得高于680元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元 (2)购买A奖品17个，购买B奖品8个，花费最少 【解析】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， ∵购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元， 购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元， 由题意，得：，解得：． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元． （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， ∵购买奖品的花费不得高于680元， 由题意，得：，解得：． ∵m为整数， ∴，则． ∴学校有两种购买方案， 方案一：购买A种奖品17个，则购买B种奖品8个， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， 此时花费元； 方案二：购买A种奖品18个，则购买B种奖品7个， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， 此时花费元； ∴时，花费最少， 即购买A奖品17个，购买B奖品8个，花费最少． 9．据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【解析】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 10．今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【解析】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$