专题07 勾股定理的性质与证明七种常见题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题07 勾股定理的性质与证明七种常见题型 典例详解 类型一、用勾股定理解直角三角形 类型二、用勾股定理在数轴上表示无理数 类型三、勾股数问题 类型四、用勾股定证明线段的平方关系 类型五、勾股定理的证明方法 类型六、以弦图为背景的计算题 类型七、用勾股定理逆定理解直角三角形 压轴专练 类型一、用勾股定理解直角三角形 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）中，，，高，则 变式1-1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 变式1-2．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 变式1-3．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 类型二、用勾股定理在数轴上表示无理数 核心原理 无理数与斜边的关联：多数无理数（如、、）可表示为 “两个正整数的平方和的算术平方根”，数轴与实数的对应：数轴上的点与实数（有理数 + 无理数）一一对应，只要能画出长度为无理数的线段，就能在数轴上找到对应的点。 例2．（北京市密云区2023-2024学年八年级下学期7月期末考试数学试卷）如图，点A，点是数轴上两点，A表示的数是1，表示的数是3．过点作，且．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A．2 B． C． D． 变式2-1．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 变式2-2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的边在数轴上，．若以A为圆心，以长为半径作弧交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 变式2-3．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ． 类型三、勾股数问题 一、勾股数的核心性质 正整数限定：勾股数必须是正整数（非整数的满足式，如 (1, 1, )，不算勾股数）。 倍数性质：若 (a, b, c)是勾股数，则其任意正整数倍(ka, kb, kc)也是勾股数（k 为正整数）。 奇偶性规律：本原勾股数（a、b、c 互质，即最大公因数为 1）中，必有一个直角边是偶数，另一个是奇数，斜边是奇数。 非本原勾股数（含公因数的勾股数）中，三个数可能全为偶数（如 (6, 8, 10)），但不可能全为奇数（奇数 ²+ 奇数 ²= 偶数，无法等于奇数 ²）。 二、常见勾股数分类（按 “本原 / 非本原”） 1. 本原勾股数（互质，高频考点） 这类勾股数是基础，需重点记忆，常见的有： 直角边a 直角边b 斜边c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 2. 非本原勾股数（本原勾股数的倍数） 由本原勾股数乘以正整数得到 例3．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 变式3-1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 变式3-2．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 类型四、用勾股定证明线段的平方关系 例4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 变式4-1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 变式4-2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 变式4-3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 类型五、勾股定理的证明方法 例5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 变式5-1．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    变式5-2．（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解： 我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明． 帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵， 即　　　 ∴． 变式5-3．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 类型六、以弦图为背景的计算题 例6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 变式6-1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 变式6-2．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 变式6-3．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 类型七、用勾股定理逆定理解直角三角形 例7．（16-17八年级下·江苏盐城·开学考试）计算图中四边形的面积． 变式7-1．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，，，，，求四边形的面积． 变式7-2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 变式7-3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求： (1)的度数． (2)四边形的面积．（结果保留根号） 1．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 3．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 4．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在数轴上作出表示实数的点．（不写作法，保留作图痕迹） 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … (1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； (2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； (3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 8．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若； (1)求证：平分； (2)求点D到直线的距离． 9．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，，，，，，该图形的面积等于多少？ 10．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 11．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 12．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 勾股定理的性质与证明七种常见题型 典例详解 类型一、用勾股定理解直角三角形 类型二、用勾股定理在数轴上表示无理数 类型三、勾股数问题 类型四、用勾股定证明线段的平方关系 类型五、勾股定理的证明方法 类型六、以弦图为背景的计算题 类型七、用勾股定理逆定理解直角三角形 压轴专练 类型一、用勾股定理解直角三角形 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）中，，，高，则 【答案】14或4 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 变式1-1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 变式1-2．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 变式1-3．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，．由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）由（1）知，再求得，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵，点E是的中点， ∴，． ∴． ∵点F是的中点， ∴． （2）解：由（1）知， 又∵， ∴． ∵，点F为的中点， ∴． ∵， ∴． 类型二、用勾股定理在数轴上表示无理数 核心原理 无理数与斜边的关联：多数无理数（如、、）可表示为 “两个正整数的平方和的算术平方根”，数轴与实数的对应：数轴上的点与实数（有理数 + 无理数）一一对应，只要能画出长度为无理数的线段，就能在数轴上找到对应的点。 例2．（北京市密云区2023-2024学年八年级下学期7月期末考试数学试卷）如图，点A，点是数轴上两点，A表示的数是1，表示的数是3．过点作，且．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及数轴的应用，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理． 先判断的形状，根据勾股定理求出的长度，再根据求出点表示的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形，． ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理， 将代入可得： ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴． ∵点表示的数是，点在数轴负半轴上， ∴点表示的数是． 故选：D． 变式2-1．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由勾股定理得：， 设点D表示的数为x， ∴， ， ， 或， 甲的说法错误， ， ， ， 乙的说法正确， 故选：D ． 变式2-2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的边在数轴上，．若以A为圆心，以长为半径作弧交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知，，根据勾股定理得到，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， 在中，， 点D表示的数与点A距离为5， 点D表示的数是或， 故答案为：4或． 变式2-3．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：由图知，， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴N点所表示的数为：． 故答案为：． 类型三、勾股数问题 一、勾股数的核心性质 正整数限定：勾股数必须是正整数（非整数的满足式，如 (1, 1, )，不算勾股数）。 倍数性质：若 (a, b, c)是勾股数，则其任意正整数倍(ka, kb, kc)也是勾股数（k 为正整数）。 奇偶性规律：本原勾股数（a、b、c 互质，即最大公因数为 1）中，必有一个直角边是偶数，另一个是奇数，斜边是奇数。 非本原勾股数（含公因数的勾股数）中，三个数可能全为偶数（如 (6, 8, 10)），但不可能全为奇数（奇数 ²+ 奇数 ²= 偶数，无法等于奇数 ²）。 二、常见勾股数分类（按 “本原 / 非本原”） 1. 本原勾股数（互质，高频考点） 这类勾股数是基础，需重点记忆，常见的有： 直角边a 直角边b 斜边c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 2. 非本原勾股数（本原勾股数的倍数） 由本原勾股数乘以正整数得到 例3．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案； （2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案； （3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 变式3-1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 【答案】(1) (2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析 (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。 （1）观察表格可知，（，且为整数），据此根据b的值求出m的值，进而求出a的值即可； （2）分别令的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可； （3）根据可知若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论． 【详解】（1）解：观察表格可知，（，且为整数）， ∴当时，则， ∴， ∴； （2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下： 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71； （3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下： 对于一组数：，，（，且为整数）．       ∵ ∴若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形． ∵当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数， ∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 变式3-2．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【答案】(1)12，16，20；，， (2)9，40，41；，， (3)10，24，26；，， 【分析】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． （1）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； （2）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； （3）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （2）解：由题意可得： 勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （3）解：由题意可得： 勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：，，．（，且n为正整数） 类型四、用勾股定证明线段的平方关系 例4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式4-1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 变式4-2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 变式4-3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 类型五、勾股定理的证明方法 例5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论． 【详解】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 变式5-1．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）可得， ∵， ∴， ∴或（舍去）； ②∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴．    变式5-2．（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解： 我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明． 帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵， 即　　　 ∴． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质，勾股定的证明，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意用两种方法表示出的面积，列等式求解即可． 【详解】证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴． ∵， 即 ∴ ∴ 即 ∴． 变式5-3．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型六、以弦图为背景的计算题 例6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可； （4）延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形，设，根据勾股定理得到，求得，，根据矩形的面积公式列方程得到，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是， 故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点， 则四边形是正方形， 设， ，， ， ， ，， 矩形的面积为 ， 解得：或， 或， 当时，， 当时，， ． 故答案为：． 变式6-1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 由赵爽弦图中四个直角三角形全等，可知，，从而可求，根据勾股定理可求； 利用勾股定理可以求出，，由可知，因为，不是直角三角形． 【详解】（1）解：四个直角三角形全等， ，， ， 在中，； （2）解：不是直角三角形， 理由如下： 如下图所示，连接、， 在中，，， ， 在中，，， ， 由可知， ， ， 不是直角三角形． 变式6-2．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 变式6-3．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 类型七、用勾股定理逆定理解直角三角形 例7．（16-17八年级下·江苏盐城·开学考试）计算图中四边形的面积． 【答案】四边形的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，由勾股定理得，然后通过勾股定理逆定理可得，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 变式7-1．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，勾股定理求得，进而证明是直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， 是直角三角形， ∴，， ∵，，，，即， 是直角三角形，， ∴， ， ， 四边形的面积为． 变式7-2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 【答案】12，150 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于 的面积与的面积之和求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为 ． ∴四边形的面积为150． 变式7-3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求： (1)的度数． (2)四边形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积． （1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数； （2）由（1）可知和是直角三角形，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知和是直角三角形， ∴ ． 1．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，熟练掌握公式变形以及弦图的几何意义是解题的关键． 根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． ∴大正方形的边长为． 故选D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 【详解】解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 3．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题的关键是通过勾股定理求出的长度，再利用逆定理判断 的形状，进而计算四边形的面积． （1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）是直角三角形． 理由：， ， ， 是直角三角形． （2）由（1）可知，， ． 4．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在数轴上作出表示实数的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了实数与数轴，作线段垂直平分线，勾股定理等；会作线段的垂直平分线，能用勾股定理求解是解题的关键．作表示的点和的点的连线段的垂直平分线，以表示的点为圆心，长为半径画弧，交垂线于，连接；由勾股定理得，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于，则，故点表示的数为，即可求解． 【详解】解：如图， 点表示的数为． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … (1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； (2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； (3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），，证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）观察所给数据，找出规律求解即可； （2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再逐一讨论即可； （3）猜想：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证． 【详解】（1）解：观察数据我们发现： 中，， 中，， 中，， 中，， 中，， ∴当时，； （2）解：∵为基本勾股数组， ∴，即， ∴， 已知，则， 设为正整数，且， 则， 解得， 又 ∵，且为正整数，与互素， 对 64 进行因数分解． ①当时，（舍去， 2 不是正整数）； ②当时，， ∵和 15 互素， ∴符合题意； ③当时，， ∵和 8 有公约数，不互素， ∴，不符合题意； ④当时，（舍去，不是正整数）； 综上，； （3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），． 证明：∵， ∴互素， ， ， 则 ， ， ． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若； (1)求证：平分； (2)求点D到直线的距离． 【答案】(1)证明见解答 (2)3 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质定理，关键是得到平分． （1）根据勾股定理的逆定理，结合等角的余角相等即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是三角形的高线， ， ， ， 平分； （2）解：过点作于， 平分， ， 设点到直线的距离是， 则， 解得． 故点到直线的距离是3． 9．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，，，，，，该图形的面积等于多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 10．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 12．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$