专题04 构造等腰（边）三角形七种常见模型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题04 构造等腰（边）三角形的七种常见模型 典例详解 类型一、利用角平分线、平行线构造等腰三角形 类型二、利用倍角转化构造等腰三角形 类型三、利用腰（底）、平行线构造等腰三角形 类型四、利用角平分线、垂线线构造等腰三角形 类型五、利用截长补短构造等腰三角形 类型六、利用含60°的角构造等边三角形 类型七、利用60°的角差构造等边三角形 压轴专练 类型一、利用角平分线、平行线构造等腰三角形 模型特点：在△ABC中,AD是∠BAC的平分线 （1） 过点D作 DE//AC,则△EAD是等腰三角形 （2） 过点C作CE/AD,则△AEC是等楼三角形 例1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 变式1-1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 变式1-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 类型二、利用倍角转化构造等腰三角形 模型特点：在△ABC中,∠B=2∠C （1） 作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰三角形 （2） 延长CB至点D,使BD=B4,连结AD,则△ADC是等腰三角形 例2．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，．下列四个结论：①；②是的平分线；③；④若，存在某一个的值使得．其中正确的是（） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，延长到点，使，连接，作于点，由得，由，得，再证明，则，所以，则，即可证明，可判断①错误；再证明，得，可判断②正确；由，，得，可判断③正确；假设存在某一个的值使得，则，所以，与已知条件相矛盾，可判断④错误，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点，则，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点于直线的距离为，则 故①不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴是的平分线，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 假设存在某一个的值使得，则， 在和中， ， ， ，即， 与已知条件相矛盾， ∴不存在某一个的值使得，故④不符合题意， 故选：B． 变式2-1．（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 从而， 又， ∴，从而， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式2-2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 变式2-3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点． (1)如图，连接，求证：是等腰三角形； (2)如图，当时，求证：； (3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是的中点，，则点在的垂直平分线上，然后根据垂直平分线性质可得，然后通过等腰三角形定义即可求证； （）过作于点，由角平分线性质可得，然后证明，所以，从而有，然后通过线段和差即可求证； （）设，交于点，过作，连接，由垂直平分线性质可得，则，然后证明，所以，然后证明 ，最后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：过作于点， ∵是等腰三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，设，交于点，过作，连接， 由垂直平分线性质可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，     ∴． 类型三、利用腰（底）、平行线构造等腰三角形 作腰的平行线 作底的平行线 例3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （）根据等腰直角三角形的概念得到，根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理证明结论； （）由得到，根据垂直的定义证明即可； （）根据线段垂直平分线的性质得到，根据得到，等量代换证明结论， 【详解】（1）证明: ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 变式3-1．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，是的平分线，且，过点C作，交的延长线于点E，过点C作，垂足为 (1)若，求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据等边对等角得，根据对顶角相等得，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可得出线段之间的数量关系． 【详解】（1）解：是的平分线，， ， ， ， ， ， ， ； （2）是的平分线， ， ， ，， ， ∴， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， 变式3-2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点F为延长线上点，点G为延长线上点，．D，E分别是上点，是线段的垂直平分线． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先利用等腰三角形的性质可得：，再利用线段垂直平分线的性质可得：，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答； （2）利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，最后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型四、利用角平分线、垂线线构造等腰三角形 模型特点：已知AD平分∠B4C,作角平分线的垂线,根据MN边上的高线与所对角的角平分线重合,可知△AMN是等腰三角形 例4．（24-25八年级上·北京顺义·期末）数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形． 小华说：如图1，任意作一个，过点B作的平分线，在射线上任取一点G（与点B不重合），过点G作的垂线分别交于点E，F，这样得到的为等腰三角形． (1)小华的作法__________（填“正确”或“不正确”）； (2)受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2，任意作一个，过点O作的平分线，在射线上任取一点K（与点O不重合），过点K作直线分别交于点M， N，使得，这样得到的为等腰三角形． 小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证明过程． 如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（___________________）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴_______________． ∴（___________________）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 【答案】(1)正确 (2)，全等三角形的对应边相等，，等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，证明三角形为等腰三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）延长到点T，使得，连接，证明，可得，，再由角平分线可得，从而得出，最后可得结论． 【详解】（1）解：在中，是的平分线，， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 所以小华的作法正确， 故答案为：正确； （2）证明：如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴． ∴（等角对等边）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 故答案为：，全等三角形的对应边相等，，等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等） 变式4-1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又 中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型五、利用截长补短构造等腰三角形 例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题原型】 有这样一道问题：如图①，在中，为边上的中线，且． 求证：为等边三角形． 小聪同学的解决办法是：延长至点E，使，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题． 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，解题关键是添加辅助线利用二倍角的条件构造等腰三角形；延长至点，使，连接，根据为边上的中线，且，可得出，再由，可得，，即可证明和全等，进而可证得结论． 【详解】解：如图②，延长至点，使，连接， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 变式5-1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，是边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． (1)如图1，“勤学”小组发现图中的，请你用全等三角形的知识证明这一结论； (2)如图2，“善思”小组将图1中的纸片过点沿平行于的直线减掉一部分，连接，并在上取一点，连接，，使得．求证：； (3)如图3，“智慧”小组将纸片沿剪开，然后保持不动，调整的位置至，延长，交于点，连接，取的中点，连接，．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用中点中点+平行模型证明三角形全等，从而转化线段关系是解题关键． （1）利用“”证明即可得，由此得出结论； （2）延长交于点；根据先对边对等角和等角得余角证明，继而可得，再由题意得，利用中点平行模型证明，即可得； （3）延长交于点，利用中点+平行模型证明可得，，再根据题意可得，进而证明，由（1）得结论． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长交于点， ∵， ∴， 由（1）， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：延长交于点， 由题意得， ∴，， 又∵， ∴ ∴，， 由题意可知： ， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 变式5-2．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 类型六、利用含60°的角构造等边三角形 等边三角形是一种特殊的三角形,它的三条边相等,三个角都等于60,这些性质为我们解几何题提供了新的途径,除了构造等腰三角形的几种方法外,当题目中出现有关60的角度成角度关系时,也可以尝试构适等边三角形 例6．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点，交于点，交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④若，则． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，由，得，而，，即可根据“”证明，得，，可判断①正确；再推导出，则，可判断②错误；作于点，于点，由，得，则，所以平分，可判断③正确；当时，则，所以，在上截取，连接，则是等边三角形，可证明，得，所以，可判断④正确，于是得到问题的答案．根据面积等式证明两条线段相等、等边三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：如图1，， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确； ， ， 故②错误； 作于点，于点， ，且，， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故③正确； 如图2，，则， ， 在上截取，连接，则是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确， 故选：D． 变式6-1．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，，F为线段上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接,证明是等边三角形，得到,再证明,推出,由此得到,当三点共线时，有最小值，即为线段的长. 【详解】解：连接, ，， , ， ， ,, ， , 是等边三角形, , ,,, , , ,即, 当三点共线时，有最小值，即为线段的长， 的最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，三角形的内角和等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 变式6-2．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）证明： ， ， 又 ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 类型七、利用60°的角差构造等边三角形 例7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点为内一点，，为延长线上的一点，且． (1)求证：平分； (2)请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）证明，得到，进而由三角形外角性质得，三角形内角和定理得，，即得，即可求证； （）在上截取点，使，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，从而得，，然后利用证出，得出，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：，理由如下： 在上截取点，使， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题关键． 变式7-1．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，过点D作交于点E，则 ；与的周长分别为11和9，则的长度为 ． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到，证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴, ∴, ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为11和9， ∴， ∴ ∴ 故答案为：， 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，点，分别是和上的点，连接，． 有以下条件： ①平分②③ (1)请从以上①②③中任选取两个作为条件，一个作为结论，并证明． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练运用这些性质进行角和边的转化． （1）三种情况任选其中一个情况，证明即可； （2）先根据三角形内角和定理求出与的度数，再结合（1）中的条件求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）情况一： 条件：①②     结论：③ 证明：∵平分， ， ， ， ， ； 情况二： 条件：①③    结论：② 证明：∵平分， ， ， ， ， ； 情况三： 条件：②③     结论：① 证明：∵， ， ， ， ， 平分； （2）解：在中，， ， ， ∵， ∴， 由（1）的条件，平分， ， ， 在中，， ， ． 的度数为． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知：在中，，点D在的延长线上，交的延长线于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，作的高，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点G，交于点H，连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的内角和解答即可； （3）过点G作交于M，得出，作于N，证明，再根据全等三角形的性质求出，，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设， ∵平分 ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点G作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的高，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键，在上截取，使得，连接．根据等腰三角形的判定得到，再根据等边对等角结合题意推出，得到，从而得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，使得，连接． 是的高，， 是的垂直平分线， ， ． ， ， ， ， ，即． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰中，，点D是线段AC上一点，过点D作交BC于点E，且，，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，根据等腰三角形性质，由三角形内角和定理得，则，再根据平行线性质得，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用三角形内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∵， ，， ， ， 是的外角， ， ， ， 6．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点分别在边上，连接，使． (1)求证：； (2)如图，在上取点，使，连接并延长至点，使，延长交延长线于点．求证：； (3)如图，在的条件下，连接，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据等边对等角可知、，根据三角形内角和可知，，所以可知，因为，等量代换可证结论成立； 方法一、在上取点，使，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形外角的性质可证，等量代换可得，根据同角的补角可证，从而可得，利用对顶角相等可证，根据同角的补角相等可证，根据等角对等边可证，等量代换可证结论成立； 方法二、延长，在的延长线上取一点使，根据三角形外角的性质可证，根据同角的补角相等可证，根据四边形内角和定理可得，从而可证，可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证结论成立； 方法三、过点作于点，过点作，交延长线于点，根据可证，根据全等三角形的性质可得：，根据三角形外角的性质可证，根据同角的补角相等可得，根据四边形内角和定理可证，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 方法四、延长，在的延长线上取一点，使，根据等边对等角可证，根据三角形外角的性质可证，根据同角的补角相等可证，根据四边形内角和为，可得，根据可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 方法一、在上取点，使，连接，根据三角形外角的性质可证，利用可证，根据全等等三角形的性质可得，，根据三角形外角的性质可证，从而可证是等边三角形，过点作于点，可求，因为，利用三角形的面积公式可求的面积； 方法二、延长交于点，利用三角形外角的性质可证，过点作于点，过点作于点，利用可证，根据全等三角形的性质可得，，再利用可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，利用等边三角形的性质可知，因为，利用三角形的面积公式可求的面积． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ，， ， ， ； （2）方法一： 证明：在上取点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 方法二： 证明：延长，在的延长线上取一点使， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 方法三： 证明：过点作于点，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ； 方法四： 证明：延长，在的延长线上取一点，使， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）方法一： 证明：在上取点，使，连接， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ； 方法二： 证明：延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， 过点作于点，过点作于点， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 8．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 （2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证； （3）先证明，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上取，连接， ∵于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 过作，交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴ ，，， 而， ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 即． 9．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【详解】（1）证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 10．（24-25八年级上·四川泸州·期末）是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解，②的周长10 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）延长交于点M，利用证明，则，结合等边三角形的性质得； （2）①由等边三角形和已知得到，，，可证明； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，由①知∶，，结合等边三角形的性质得和，，，进一步证明，有，即可证明，有，再次证明，即有，结合三角形周长计算即可． 【详解】（1）证明：延长交于点M，如图1， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）证明：①∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴，即， 则； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，如图， 由①知∶，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 则的周长 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 构造等腰（边）三角形的七种常见模型 典例详解 类型一、利用角平分线、平行线构造等腰三角形 类型二、利用倍角转化构造等腰三角形 类型三、利用腰（底）、平行线构造等腰三角形 类型四、利用角平分线、垂线线构造等腰三角形 类型五、利用截长补短构造等腰三角形 类型六、利用含60°的角构造等边三角形 类型七、利用60°的角差构造等边三角形 压轴专练 类型一、利用角平分线、平行线构造等腰三角形 模型特点：在△ABC中,AD是∠BAC的平分线 （1） 过点D作 DE//AC,则△EAD是等腰三角形 （2） 过点C作CE/AD,则△AEC是等楼三角形 例1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 变式1-1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 变式1-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 类型二、利用倍角转化构造等腰三角形 模型特点：在△ABC中,∠B=2∠C （1） 作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰三角形 （2） 延长CB至点D,使BD=B4,连结AD,则△ADC是等腰三角形 例2．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，．下列四个结论：①；②是的平分线；③；④若，存在某一个的值使得．其中正确的是（） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 变式2-1．（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ． 变式2-2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 变式2-3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点． (1)如图，连接，求证：是等腰三角形； (2)如图，当时，求证：； (3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明． 类型三、利用腰（底）、平行线构造等腰三角形 作腰的平行线 作底的平行线 例3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由. 变式3-1．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，是的平分线，且，过点C作，交的延长线于点E，过点C作，垂足为 (1)若，求的度数； (2)求证： 变式3-2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点F为延长线上点，点G为延长线上点，．D，E分别是上点，是线段的垂直平分线． (1)证明：； (2)证明：． 类型四、利用角平分线、垂线线构造等腰三角形 模型特点：已知AD平分∠B4C,作角平分线的垂线,根据MN边上的高线与所对角的角平分线重合,可知△AMN是等腰三角形 例4．（24-25八年级上·北京顺义·期末）数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形． 小华说：如图1，任意作一个，过点B作的平分线，在射线上任取一点G（与点B不重合），过点G作的垂线分别交于点E，F，这样得到的为等腰三角形． (1)小华的作法__________（填“正确”或“不正确”）； (2)受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2，任意作一个，过点O作的平分线，在射线上任取一点K（与点O不重合），过点K作直线分别交于点M， N，使得，这样得到的为等腰三角形． 小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证明过程． 如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（___________________）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴_______________． ∴（___________________）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 变式4-1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 类型五、利用截长补短构造等腰三角形 例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题原型】 有这样一道问题：如图①，在中，为边上的中线，且． 求证：为等边三角形． 小聪同学的解决办法是：延长至点E，使，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题． 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题． 变式5-1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，是边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． (1)如图1，“勤学”小组发现图中的，请你用全等三角形的知识证明这一结论； (2)如图2，“善思”小组将图1中的纸片过点沿平行于的直线减掉一部分，连接，并在上取一点，连接，，使得．求证：； (3)如图3，“智慧”小组将纸片沿剪开，然后保持不动，调整的位置至，延长，交于点，连接，取的中点，连接，．求证：． 变式5-2．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 类型六、利用含60°的角构造等边三角形 等边三角形是一种特殊的三角形,它的三条边相等,三个角都等于60,这些性质为我们解几何题提供了新的途径,除了构造等腰三角形的几种方法外,当题目中出现有关60的角度成角度关系时,也可以尝试构适等边三角形 例6．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点，交于点，交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④若，则． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 变式6-1．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，，F为线段上一动点，连接，，则的最小值为 ． 变式6-2．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 类型七、利用60°的角差构造等边三角形 例7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点为内一点，，为延长线上的一点，且． (1)求证：平分； (2)请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 变式7-1．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 1．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，过点D作交于点E，则 ；与的周长分别为11和9，则的长度为 ． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，点，分别是和上的点，连接，． 有以下条件： ①平分②③ (1)请从以上①②③中任选取两个作为条件，一个作为结论，并证明． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知：在中，，点D在的延长线上，交的延长线于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，作的高，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点G，交于点H，连接，若，，求三角形的面积． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的高，求证：． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰中，，点D是线段AC上一点，过点D作交BC于点E，且，，求的度数． 6．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点分别在边上，连接，使． (1)求证：； (2)如图，在上取点，使，连接并延长至点，使，延长交延长线于点．求证：； (3)如图，在的条件下，连接，若，，，求的面积． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 8．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 （2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 9．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 10．（24-25八年级上·四川泸州·期末）是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$