精品解析：山西省怀仁市第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考（8月）数学试题

怀仁一中2025~2026学年高二年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算两不等式，再求并集 【详解】，化简得，解得，故. ，解得，故. 所以. 故选：B． 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B. 在n次随机试验中，一个随机事件A发生频率具有确定性 C. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 4. 已知，，若，则实数的值是（　　） A. -1 B. 7 C. 1 D. 1或7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得 . ∴解得. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由，根据正弦定理得， 设， 可得， 故选：B. 6. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥ ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥ ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】对①，若m∥，m∥，则与平行或相交，①错误； 对②，若⊥，⊥，则与平行或相交，②错误； 对③，若m⊥，m⊥，则∥成立，③正确； 对④，若m∥，n⊥，则m⊥n，④错误； 故选：A. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的底面半径，高，母线长，再结合圆锥的轴截面构造等式即可求出. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，有， 可得， 圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为， 有，有，解得， 故该球的最大体积为． 故选：C. 8. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数除法求得，然后根据复数的概念、几何意义，复数的运算判断各选项． 【详解】的虚部为5，故A错误； 在复平面中对应的点在第三象限，故B正确； ，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：BC. 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC 11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 不等式的解集为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项． 【详解】对于A，由图知函数的最小正周期，所以， 所以，将点代入，得， 所以，解得， 又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，当时，， 当时，取得最小值，所以在区间上不单调递增，故C错误； 对于D，由，得，所以，， 解得，，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点：按比例抽样，即所占比例不变． 【详解】高二人数占总人数的比例为，高二抽取的人数为 故答案为：10． 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用两角和的正切公式变形即可得解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】因为平面，，平面，所以，， 又，，所以，又， 所以，因为，， 所以，所以，设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 16. 已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以. 【小问2详解】 ， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 17. 已知向量满足． （1）求向量的夹角； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解. （2）由（1）的信息，利用夹角公式及共线向量定理列式求解. 【小问1详解】 设向量的夹角为， 由，得，即， 由，得，即， 则有，又，解得，， 因此，所以向量的夹角为. 【小问2详解】 由（1）知，则 ， 由向量与夹角是钝角，得， 且向量与不共线，因此，解得且， 所以实数的取值范围为. 18. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． （1）若二面角的大小为，求DM的长； （2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直棱柱和底面是有角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可. （2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面的距离，再用距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解. 【小问1详解】 取中点P，过P点作，交于点Q，连接． 由直四棱柱，可得平面， 而平面，所以，即， 又因为，所以， 因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 即为二面角的平面角，所以． 在平面中，由，可得． 在中，，， 则，解得； 【小问2详解】 因为平面，所以， ． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 因为平面，所以． 在中，， ， 所以． 设N到平面的距离为d， 在中，，， 所以， 所以． 因为，所以，解得． 在中，由余弦定理得， 所以． 设与平面所成的角为． 所以． 令，则． 因，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀仁一中2025~2026学年高二年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B. 在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 4. 已知，，若，则实数的值是（　　） A. -1 B. 7 C. 1 D. 1或7 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥ ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥ ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 不等式的解集为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 13. _____． 14. 在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 16. 已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 17. 已知向量满足． （1）求向量的夹角； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 18. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． （1）若二面角大小为，求DM的长； （2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$