第3章 图形的相似（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

第3章 图形的相似 教学目标 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方； 3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化； 教学重难点 1.重点 相似的判定及性质 2.难点 灵活运用相似的相关性质解决几何问题 知识点01成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点02比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点03黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点04平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 知识点05平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点06相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点07 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点08 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【即学即练】 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：B． 2．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似三角形的周长之比等于位似比，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心是点O，， ∵的周长与的周长之比为， ∵的周长为6， ∴的周长为3， 故选：D． 3．如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；因此此题可根据题意设，然后代入求解即可． 【详解】∵， ∴设， ∴． 故答案为：3． 4．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵AC=2，AE=5.5， ∴CE=3.5， AB∥CD∥EF， ， ， 故答案为. 5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，测得米，米，米，且，，求该古城墙的高度.    【答案】该古城墙的高度是5.4米. 【分析】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：由题意，得. ∵，， ∴. ∴. ∴，即， ∴（米）. 即该古城墙的高度是5.4米. 题型01 比例的性质 【典例1】把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 【变式1】．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式2】．已知，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质．利用内项之积等于外项之积进行判断． 【详解】解：A．由可得，与已知不符，不合题意； B．由可得，与已知不符，不合题意； C．由可得，与已知不符，不合题意； D．由可得，与已知相符，符合题意； 故选D． 【变式3】．已知（），则的值为（    ） A．5 B．2 C．8 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握设进行求解是解题的关键； 设，可得a、b、c关于k的关系式，然后把得到的关系式代入所求的式子计算即可． 【详解】∵且， ∴设， ． 故选：B． 题型02 成比例线段 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 【答案】A 【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意； B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意； C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意； D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意． 故选：A． 【变式1】．下列线段中，能成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2】．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段满足最小与最大的乘积等于中间两数的乘积，则它们成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，不符合题意； D、，能成比例，符合题意； 故选D． 【变式3】．已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例中项．根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：∵线段，，线段是a，b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）， ∴线段的长是3， 故选：D． 题型03 黄金分割 【典例1】已知点P是线段的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法进行解一元二次方程，黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，即 ，利用已知条件，结合线段关系 ，建立方程求解，即可作答． 【详解】解：设， 则， 依题意，， 即 ∴， 整理为 ， ∴， 解得， 得（舍去负根）， 故选：B． 【变式1】．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．直接利用黄金分割的定义计算出的长即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， 故选：C． 【变式2】．宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：如图： 设， 四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，则， ，而， ，又， ， 故选：A． 题型04 平行线分线段成比例 【典例1】．如图，直线、交于点O，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【变式1】．如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ，，，； 观察四个选项，选项C符合题意； 故选：C． 【变式2】．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 【变式3】．如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在菱形中，对角线和交于点，，， ,, , 是的中点， , , , , , 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， , 故选：A． 题型05 相似多边形 【典例1】．如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【变式1】．如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又， 四边形四边形． 故选：D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1 【答案】C 【分析】判断出四边形A1B1C1D1与四边形ABCD相似并求出相似比，再根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1， ∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1． 故选C． 【变式3】．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 题型06 位似 【典例1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 【变式2】．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 如图：过作轴于， 是等边三角形， ，， ， 与位似，位似中心是原点，位似比是， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：B． 题型07 相似综合性问题 【典例1】如图，，，与交于点，，是的中点，连结，，若是射线上的动点，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（        ） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ②正确； ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ③正确； 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ④正确； ∵， ∴， ∴无法证明， ①错误． 综上所述，正确的是②③④． 故选：D． 【变式1】．如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在矩形中， ， ， ， ∵是边的中点， ， ， ∴，故①正确； ∴，故④正确； ∵四边形是矩形， ， ， ，故②正确； ， ，且， ，且， ， ， ， ， ∴， ∴，故③错误． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 【变式2】．如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 【变式3】．如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，AB=3AG．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：是正方形， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在正方形中，，， ，， 在和中， ， ， ，即，故②正确； ，， ， ，即， ， ， ， ，， ，故③错误； 在和中， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点，是直角三角形， ，， 是直角三角形，为的中点， ， 的周长，故④正确． 故选：． 题型08 添加条件判定相似 【典例1】如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得，， 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．如图，在中，于点，若增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， 添加条件为：， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， ∴当或时或时，与相似． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，在中，D为边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 题型09 求位似中心 【典例1】如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是 ． 【答案】（-2，0） 【分析】利用如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而得出位似中心． 【详解】 解：如图所示：点P（-2，0）即为所求． 故答案为（-2，0）． 【点睛】本题考查位似变换，根据题意得出位似中心的位置是解题的关键． 【变式1】．如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点 ． 【答案】B 【分析】根据位似中心的含义，得位似图形对应点连线的交点是位似中心． 【详解】如图 ∵△EFH和△MNK是位似图形，连接FN，HK交于点B，故点B是位似中心. 【点睛】本题考查了位似图形的相关知识，解题的关键是知道位似图形对应点连线的交点是位似中心. 【变式2】．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，连接AG， ∵EO=1，DC=2， ∴△ACD与△GOE的位似比是2：1， ∴AD：OG=2：1， ∵△ADC是等腰直角三角形， ∴AD⊥x轴， ∴AD∥OG， ∴△OPG∽△DPA ∴PD：OP=2：1， ∵OD=2， ∴OP=， ∴位似中心P点的坐标是（，0）． 故答案为（，0）． 【变式3】．如图，△ABO与△A′B′O′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（6，0） 【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点的连线经过位似中心． 【详解】解：直线AA′与直线OO′的交点坐标为（6，0），所以位似中心的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 题型10 利用相似的性质求解 【典例1】 如图，在菱形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，为上一点，且、交于点， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 【变式1】．如图，为等边三角形，，点、都在上，满足．作点关于的对称点，联结、，与交于点，则 ． 【答案】 【详解】解：因为是等边三角形， 所以，， 又因为， 所以， 所以，， 因为Q、M关于对称， 所以，， 所以， 所以也是等边三角形， 根据外角和定理，，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，， 所以． 故答案为：． 【变式2】如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图：由题意共线，连接，， ∵，，是三个全等的等腰三角形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．延长，与的平分线交于点，交于点，当时，值为 ． 【答案】 【详解】解：过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， 则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ， 故答案为：． 题型11 最值问题 【典例1】．如图，在中，，，点是边上一个动点，点关于、的对称点分别为，，以，为邻边构造平行四边形，与交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵点，关于对称，， ∴，，点，，在同一条直线上，， ∴， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 设，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴当时，的值为最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式1】如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P、N、H三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，， ∴， 故答案为：2． 【变式2】已知正方形中，，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点E，点F是线段上靠近点B的三等分点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过F作，交于G，交于H，与交于点Q，如图： ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∵F是上靠近B的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型12 相似的证明 【典例1】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 【变式1】．如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【变式3】．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明： ； （2）解：， ， ，， ， ， ． 题型13 利用相似测量 【典例1】．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 【变式1】．初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 【变式2】．某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 【变式3】．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为， 题型14 动点问题 【典例1】．四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． (1)若点为对角线中点，如图，求线段的长． (2)若点为对角线延长线上的一点，，如图，则线段的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，为对角线中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ，， ，， ， 又， ， 即， ∴， ； （2）解：过点作，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ， ∴， 即， 【变式1】．如图，在矩形中，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值． (3)若点P在上，M为的中点，当t为何值时，以M，P，C为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，，当时，； (2)或； (3)或。 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点与点重合时，则，解得， 当点与点重合时，则， ∵当点到达点时，两点同时停止运动， ∴， ∴当时，， 当时，； （2）解：当时，如图，，则， ∴， ∴， 解得； 当时，如图，，则， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的值为或； （3）解：∵点为的中点，， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的值为或。 【变式2】．【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即； （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 【变式3】．【问题情境】 在矩形中，，点E是的中点，连接，点是射线上一动点，连接，交于点． 【探究证明】 （1）如图1，点在边上，连接，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，延长交的延长线于点，点在的延长线上，交于点，若与对应中线的比是，求的值． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①得：，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵与对应中线的比是， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的值为． 题型15 相似与一次函数综合 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C． (1)若点C与点B重合，求k的值． (2)若，在图中只用直尺作出点C． (3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式． 【答案】(1) (2)见详解 (3)．（或者．） 【详解】（1）解：若C与B重合，则， 把代入得， ， 解得． （2）解：如图所示，C点即为所求． （3）解：如图，过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点， 则， 又， ， ， 设， 则， 解得，， ， 把 代入中， 得， 解得，或． ∴k与m之间的关系式为（或）． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点，与正比例函数交于点C，点C的坐标为．    (1)求一次函数的表达式． (2)如图1，点P为直线上一动点，若，求点P的坐标． (3)如图2，点H为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E． ①当点落在y轴上时，求点的坐标． ②若为直角三角形，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：， 即点， ∴一次函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）当点P在延长线上时， 由一次函数的表达式知，点，过点P作轴交于点H，    设点，则点， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴点P的坐标为：； 当点P在线段上时，同理可得：点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为：或； （3）①设点的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为：； ②由①知，，设， 当时， ∴，则点， ∴，即， 解得：（舍去）或6， ∴点； 当时， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， ∴点H的坐标为：； 综上，点H的坐标为：或． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)点F的坐标为或或 (3)存在点P， 【详解】（1）解：把代入得， ∴ 设直线的函数表达式为， 将C点坐标，代入得： ， 解得 ， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，令得，令得， ∴， ∵ 当时，，则 可得， 设， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ 解得， ∴； ②为对角线， 则， 解得， ∴； ③为对角线， 则，， 解得； ∴； 综上所述，点F的坐标为或或； （3）解：存在点P，使得无论直线l如何运动始终有与相似，理由如下： 过P作于H，过H作轴，过D作于K，过P作于T，如图： ∵， ∴， ∴， ∵直线轴交于M，作直线交l于N， ∴， 由可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 设， ∵， ∴，， 解得， ∴ 【变式3】．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线交于点．    (1)直线的函数表达式为___________； (2)过点C作轴于点D．将沿射线平移得到的三角形记为，点A．C．D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线于点E，则线段的长为_______（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为_______； ③当时，m的值为_______． 【答案】(1) (2)①；②；③2或 【详解】（1）解：把坐标代入得： 解得：， ∴直线的函数表达式为； 故答案为：； （2）①在中，令得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 将沿射线平移得到，相当于将向左平移个单位，再向上平移个单位得到， ∴，由得直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∴， 故答案为：； ②当在直线上时， ， 解得， ∴当时，在直线下方，此时到的距离为， ∴； 故答案为：； ③当在直线下方时，， 解得或(舍去)； ∴的值为2； 当在上方时，设交轴于，如图： 根据平移性质可知， ∵轴， ∴， 即， ， 即 故答案为：2或．    一、单选题 1．若，与的面积比为，则与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴与的比是， 故选：A． 2．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：B． 3．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 通过证明，得出，即可解答． 【详解】解∶根据题意可得∶， ， ． ． ， 故选：C． 4．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解； 【详解】解：由图可知：， 若，或，则根据“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似‌”可判定， 故A、C正确，不符合题意； 若，即，则根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似‌” 可判定， 故D正确，不符合题意； 不可判定，故B错误，不符合题意； 故选：B 5．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H． 下列结论①；②；③；④ 正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④ 【答案】A 【分析】由旋转性质得，可得，即可判断①；由正方形性质得，由角平分线和三角形全等得，继而可得，即可判断②；先证明，可得，根据，可得，继而，即可判断③；先证明，得到，即可判断④． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， 故①正确； ∵正方形中， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线性质，相似三角形性质与判定，直角三角形性质，等腰三角形性质与判定． 二、填空题 6．若，则＝ ． 【答案】 【分析】设＝m，则有x＝3m，y＝4m，z＝5m，代入原式即可得出答案． 【详解】解：设＝m， ∴x＝3m，y＝4m，z＝5m， 代入原式得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了代数式求值和等比例的性质，掌握并灵活运用等比例性质是解答本题的关键. 7．如图，直线，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例定理得到，然后把，，，代入计算即可． 【详解】 解：， ，即， ． 故答案为：． 8．如图，在平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，面积为8，则平行四边形的面积是 ． 【答案】140 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．由，得到，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴，， ∴的面积是， ∴平行四边形的面积是， 故答案为：140． 9．如图，在中，，，.点P是边上一动点，过点P作交于点Q，D为线段的中点，当平分时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴，． 解得． ∵， ∴， 即． 解得． 10．如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交、于点、，当取最小值时，的长是 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得，过作于，证明△得，再将沿方向平移至，连接，当、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值，证明，对应边成比例求出，证明是等腰直角三角形，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：过作于，则，， 正方形的边长为2， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当、、三点共线时，的值最小， ，，， ， 是等腰直角三角形， 此时， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 三、解答题 11．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，延长至原来的2倍，找到点，顺次连接得到，根据坐标系即可得出点、的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由图可得，，． 13．某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， 由可得，所以，进而得到方程求解即可． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得， ， 答：甲、乙两名同学之间的距离为． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，．点P从点B开始沿边向终点A以的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若P，Q同时出发，运动时间为t（s）． (1)用含t的代数式分别表示线段和的长； (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理列式求出，再表示出和； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 点，点Q的运动速度都是， ∴当运动时，，； （2）①是直角时， ，， ∴， ， 即， 解得，舍去； ②是直角时， ，， ∴， ， 即， 解得， 综上所述，时，与相似． 15．【阅读解】如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，则，因为，可得． 【拓展应用】如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F 是边上一点，连接交于点G，． (1)试说明； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2) 【详解】（1）解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的相似 教学目标 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方； 3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化； 教学重难点 1.重点 相似的判定及性质 2.难点 灵活运用相似的相关性质解决几何问题 知识点01成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点02比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点03黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点04平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 知识点05平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点06相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点07 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点08 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【即学即练】 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 3．如果，那么 ． 4．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．    5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，测得米，米，米，且，，求该古城墙的高度.    题型01 比例的性质 【典例1】把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．已知（），则的值为（    ） A．5 B．2 C．8 D．3 题型02 成比例线段 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 【变式1】．下列线段中，能成比例的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 题型03 黄金分割 【典例1】已知点P是线段的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 题型04 平行线分线段成比例 【典例1】．如图，直线、交于点O，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型05 相似多边形 【典例1】．如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【变式1】．如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1 【变式3】．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 题型06 位似 【典例1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型07 相似综合性问题 【典例1】如图，，，与交于点，，是的中点，连结，，若是射线上的动点，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（        ） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 【变式1】．如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，AB=3AG．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 题型08 添加条件判定相似 【典例1】如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【变式1】．如图，在中，于点，若增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是 ． 【变式2】．如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 【变式3】如图，在中，D为边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件为 ． 题型09 求位似中心 【典例1】如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是 ． 【变式1】．如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点 ． 【变式2】．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是 ． 【变式3】．如图，△ABO与△A′B′O′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 题型10 利用相似的性质求解 【典例1】 如图，在菱形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则 ． 【变式1】．如图，为等边三角形，，点、都在上，满足．作点关于的对称点，联结、，与交于点，则 ． 【变式2】如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 【变式3】如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．延长，与的平分线交于点，交于点，当时，值为 ． 题型11 最值问题 【典例1】．如图，在中，，，点是边上一个动点，点关于、的对称点分别为，，以，为邻边构造平行四边形，与交于点，则的最小值为 ． 【变式1】如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 ． 【变式2】已知正方形中，，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点E，点F是线段上靠近点B的三等分点，连接，则的最小值为 ． 【变式3】如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 题型12 相似的证明 【典例1】如图，．求证：． 【变式1】．如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【变式2】如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型13 利用相似测量 【典例1】．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【变式1】．初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【变式2】．某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【变式3】．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 题型14 动点问题 【典例1】．四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． (1)若点为对角线中点，如图，求线段的长． (2)若点为对角线延长线上的一点，，如图，则线段的长为多少？ 【变式1】．如图，在矩形中，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值． (3)若点P在上，M为的中点，当t为何值时，以M，P，C为顶点的三角形与相似？ 【变式2】．【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 【变式3】．【问题情境】 在矩形中，，点E是的中点，连接，点是射线上一动点，连接，交于点． 【探究证明】 （1）如图1，点在边上，连接，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，延长交的延长线于点，点在的延长线上，交于点，若与对应中线的比是，求的值． 题型15 相似与一次函数综合 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C． (1)若点C与点B重合，求k的值． (2)若，在图中只用直尺作出点C． (3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点，与正比例函数交于点C，点C的坐标为．    (1)求一次函数的表达式． (2)如图1，点P为直线上一动点，若，求点P的坐标． (3)如图2，点H为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E． ①当点落在y轴上时，求点的坐标． ②若为直角三角形，直接写出点H的坐标． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【变式3】．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线交于点．    (1)直线的函数表达式为___________； (2)过点C作轴于点D．将沿射线平移得到的三角形记为，点A．C．D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线于点E，则线段的长为_______（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为_______； ③当时，m的值为_______． 一、单选题 1．若，与的面积比为，则与的比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H． 下列结论①；②；③；④ 正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④ 二、填空题 6．若，则＝ ． 7．如图，直线，，，，则的长为 ． 8．如图，在平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，面积为8，则平行四边形的面积是 ． 9．如图，在中，，，.点P是边上一动点，过点P作交于点Q，D为线段的中点，当平分时，的长度为 ． 10．如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交、于点、，当取最小值时，的长是 ． 三、解答题 11．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 13．某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，．点P从点B开始沿边向终点A以的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若P，Q同时出发，运动时间为t（s）． (1)用含t的代数式分别表示线段和的长； (2)当t为何值时，与相似？ 15．【阅读解】如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，则，因为，可得． 【拓展应用】如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F 是边上一点，连接交于点G，． (1)试说明； (2)若，求的值． 2 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