精品解析：河北省唐山市路北区唐山市第五十四中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025－2026学年度九年级数学第一学期假期学情检测 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案． 【详解】A、有意义的条件是，则，能使二次根式有意义，故此选项符合题意； B、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ±1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据是一元二次方程，则，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系内点的特点，根据题意求出菱形的边长是解题的关键． 根据点A、B的坐标，求出的长度，根据菱形的性质，得出，根据轴，即可得出点D的坐标． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，即轴， ∴点D的坐标为：， 故选：A． 4. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，随的增大而减小 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 7. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数是（ ） A. 3分 B. 3.55分 C. 4分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可 【详解】解：∵， ∴由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的，人数最多， 所以所打分数的众数为4分， 故选：C． 【点睛】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 8. 如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 9. 是下列哪个一元二次方程的根（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 10. 如图，直线交轴，轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为1.若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一次函数得到点，的坐标，即得到，，连接，，，利用平行线性质和轴对称的性质得到，设，则，根据建立等式求解，即可解题． 【详解】解：直线交轴，轴于点，， ，，即，， 连接，，， 点在第一象限内，且纵坐标为1， 轴， ， 点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上， ， ， ， 设，则， ， ，即，解得， 点的横坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、轴对称性质、平行线性质、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 二、填空题（共25分，每小题3分，18题每空2分） 11. 如果抛物线的顶点是它的最低点，那么的取值范围是_______． 【答案】； 【解析】 【分析】由于原点是抛物线的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定的范围． 【详解】∵原点是抛物线的最低点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点． 12. 抛物线的顶点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标的方法是解答本题的关键． 13. 如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组的解之间的联系． 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】∵直线和直线交点P的坐标为， ∴二元一次方程组 解得， ∴． 故答案为：3． 14. 关于x的一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 15. 已知代数式，则A的最小值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用； 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即A的最小值为， 故答案为：． 16. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：560（1-x）2=315， 故答案为560（1-x）2=315． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 17. 如图，是内一点，，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∴， ∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴，， ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=7， ∴四边形EFGH的周长=7+5=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，-2），点B（m，m+1），点C（6，2）． （1）线段AC的中点E的坐标为_____________； （2）对角线BD长的最小值为 ___________． 【答案】 ①. （1）（3，0） ②. （2）4 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求解即可得到答案； （2）先求出点B的运动轨迹，由垂线段最短可得到BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，即可求解. 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（6，2） ∴线段AC的中点E的坐标为（3，0） （2）∵点B（m，m+1）在直线y=x+1上运动 ∴直线y=x+1与x轴的交点F的坐标为（-1，0）且∠BFO=45° 如图，当BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值 此时EF=3-（-1）=4 ∵∠BFE=45°，∠EBF=90° ∴∠BFE=∠BEF ∴BE=BF， ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形，E是AC的中点 ∴E是BD的中点 ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，一次函数的性质，求出点B的运动轨迹是本题的关键. 三、解答题（共45分） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，关键是掌握运用公式法和提公因式法因式分解， （1）直接利用完全平方公式，计算即可得结果； （2）将移到等号左端，然后提公因式计算，即可得出结果． 【小问1详解】 解：原式： 利用完全平方因式分解得： 解得：； 【小问2详解】 原式： 移项得： 提公因式得： 解得：或． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 21. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动． （1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？ （2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】（1）同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；（2）不存在，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，用x表示出PC，CQ，根据勾股定理可列方程求解． （2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，进而即可得到结论． 【详解】解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得： ， 解得：x＝2或x＝， 答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米； （2）不存在． 理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得： ， y2−6y＋12＝0， ∵△＝36−4×12＜0， ∴方程无解，即：不存在． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理，和一元二次方程的判别式，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 22. 如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线的解析式为，把点，代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点，分别求出的坐标，根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质，图形几何分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：直线的解析表达式为：， ∴令时，；令时，； ∴， ∵直线的解析式为：， ∴令时，；令时，； ∴， 联立直线，得， ， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得，， ∵异于点的另一点，且， ∴，即； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下， 如图所示，，，， 根据题意，四边形，四边形，四边形为平行四边形， ∴的中点坐标的横坐标为，纵坐标为0， ∴设， ∴，， 解得，， ∴； ∵， ∴， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴； 同理，的横坐标为，纵坐标为， ∴； 综上所述，存在，点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，一次函数交点与二元一次方程组的运用，掌握一次函数图象，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级数学第一学期假期学情检测 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ±1 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 5. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，随的增大而减小 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 6. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数是（ ） A. 3分 B. 3.55分 C. 4分 D. 8. 如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 是下列哪个一元二次方程的根（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直线交轴，轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为1.若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共25分，每小题3分，18题每空2分） 11. 如果抛物线的顶点是它的最低点，那么的取值范围是_______． 12. 抛物线的顶点坐标是______. 13. 如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则__________． 14. 关于x的一元二次方程的解为________． 15. 已知代数式，则A的最小值为 _________． 16. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______． 17. 如图，是内一点，，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为__________． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，-2），点B（m，m+1），点C（6，2）． （1）线段AC的中点E的坐标为_____________； （2）对角线BD长的最小值为 ___________． 三、解答题（共45分） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动． （1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？ （2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 22. 如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $